Seja f:ℝ⇒ℝ definida por f(x) = 10^x. Entre as funções seguintes, determine aquela(s) cujo gráfico não intersecta o gráfico de f. Explique:
a) y = 2x
b) y = - x
c) y = x^2 - 4x - 12
d) y = - x^2 - 3x - 5
e) y = (1/10)^x
f) y = - 2*|x|
g) y = x^2
Gabarito: d e f; observe que o conjunto imagem de f é o conjunto dos reais positivos. Para a função dada em d, não existe x pertencente aos reais tal que y seja maior que zero, o mesmo ocorrendo para a função dada em f.
Ensino Médio ⇒ Função Exponencial Tópico resolvido
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LostWalker 
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Jan 2022
22
15:15
Re: Função Exponencial
Dinamismo
Pensando num cenário de vestibular, com sete equações para se tratar, dar um trabalho especial (igualar os dois gráficos) pode-se tomar muito tempo, então, pense que você apenas precisa encontrar alguma exemplo que prove alguma intersecção. Inicialmente, cogite o gráfico da função [tex3]f(x)[/tex3] a seguir:
Os pontos que daremos mais atenção é [tex3]f(0)=1,\,\,\,f(1)=10,\,\,\,f(2)=100[/tex3] . As que não possuem interseção estarão marcadas em azul.
Tomadas Imediatas
Perceba que, [tex3]\boxed{x<0\,\,\,\rightarrow \,\,\,0< f(x)<1}[/tex3] , ou seja, qualquer gráfico que possua algum valor [tex3]>1[/tex3] tendo um [tex3]x[/tex3] negativo e um valor [tex3]<100[/tex3] com um [tex3]x\geq 2[/tex3] , faz interseção com o gráfico.
b) [tex3]y=-x[/tex3]
Melhor exemplo do que dito acima.
c) [tex3]y = x^2-4x-12[/tex3]
Note que, para [tex3]x=0[/tex3] , [tex3]y=-12[/tex3] , já temos um valor que está abaixo do gráfico. Agora, perceba que, sendo uma parábola com concavidade para baixo, logo, [tex3]\boxed{x\rightarrow-\infty\,\,\,|\,\,\,y\rightarrow\infty}[/tex3] , indicando que há sim uma interseção em algum momento.
f) [tex3]-2|x|[/tex3]
Como temos [tex3]x[/tex3] em módulo, significa que [tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in\mathbb{Z}^+}[/tex3] e isso implica que:
[tex3]\boxed{|x|\in\mathbb{Z}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in\mathbb{Z}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in\mathbb{Z}^-}[/tex3]
Como sabemos, todos os valores [tex3]f(x)>0[/tex3]
Para [tex3]\boxed{x=0}[/tex3] e [tex3]\boxed{f(x)=1}[/tex3]
e) [tex3]\(\frac{1}{10}\)^x[/tex3]
Funções do tipo [tex3]a^x[/tex3] tem sempre que (para [tex3]a\neq0[/tex3] ): [tex3]\boxed{a^0=1}[/tex3] , logo, podemos descartar essa por [tex3]\boxed{{\color{Blue}\(\frac{1}{10}\)}^{\color{green}x}={\color{Blue}a}^{\color{green}x}}[/tex3]
g) [tex3]y=x^2[/tex3]
Por outro lado, sempre, também temos um caso especial aqui, é facilmente encontrável, que [tex3]\boxed{x=1\,\,|\,\, y=x^2=1}[/tex3] , e como dito acima, esse também é um valor de [tex3]f(x)[/tex3] .
Equações detalhadas
a) [tex3]y=2x[/tex3]
Note que, para [tex3]\boxed{x<0\,\,\,\rightarrow\,\,\,y<0}[/tex3] , sendo valores que estão obrigatoriamente abaixo de [tex3]f(x)[/tex3] , vamos agora situar 2 pontos:
[tex3]x=0[/tex3]
[tex3]f(x)=1[/tex3]
[tex3]2(0)=0[/tex3]
*[tex3]y[/tex3] está abaixo de [tex3]f(x)[/tex3]
[tex3]x=0.3[/tex3]
[tex3]f(x)\approx2[/tex3]
[tex3]2(0.3)=0.6[/tex3]
*[tex3]y[/tex3] ainda está abaixo abaixo de [tex3]f(x)[/tex3] . Tenha em mente que esse é um log conhecido. Veja que a distância entre os pontos já está aumentando, de modo que, [tex3]\boxed{\nexists \,x\,\,|\,\,f(x)=y}[/tex3] .
Nota: Apenas dizer "a distância entre os pontos já está aumentando" não sustenta, o que da o suporte à isso é que, para [tex3]\boxed{x=0.3}[/tex3] , temos que [tex3]\boxed{2(0.3)< f(1)}[/tex3] . Caso não fosse assim, não poderíamos afirmar a não intersecção.
d) [tex3]-x^2-3x-5[/tex3]
Ao menos eu, não sei dizer uma forma rápida de solucionar apenas a vendo, mas note que:
[tex3]\Delta= (-3)^2-4(-1)(-5)\\\Delta=9-20\\\Delta=-11\\\boxed{\Delta<0}[/tex3]
Ou seja, sendo ainda a concavidade da parábola para cima, e sendo o [tex3]\Delta<0[/tex3] , todos os valores dessa função são negativos, logo, não há interseção;
Pensando num cenário de vestibular, com sete equações para se tratar, dar um trabalho especial (igualar os dois gráficos) pode-se tomar muito tempo, então, pense que você apenas precisa encontrar alguma exemplo que prove alguma intersecção. Inicialmente, cogite o gráfico da função [tex3]f(x)[/tex3] a seguir:
- Gráfico exponêncial.png (12.31 KiB) Exibido 543 vezes
Os pontos que daremos mais atenção é [tex3]f(0)=1,\,\,\,f(1)=10,\,\,\,f(2)=100[/tex3] . As que não possuem interseção estarão marcadas em azul.
Tomadas Imediatas
Perceba que, [tex3]\boxed{x<0\,\,\,\rightarrow \,\,\,0< f(x)<1}[/tex3] , ou seja, qualquer gráfico que possua algum valor [tex3]>1[/tex3] tendo um [tex3]x[/tex3] negativo e um valor [tex3]<100[/tex3] com um [tex3]x\geq 2[/tex3] , faz interseção com o gráfico.
b) [tex3]y=-x[/tex3]
Melhor exemplo do que dito acima.
c) [tex3]y = x^2-4x-12[/tex3]
Note que, para [tex3]x=0[/tex3] , [tex3]y=-12[/tex3] , já temos um valor que está abaixo do gráfico. Agora, perceba que, sendo uma parábola com concavidade para baixo, logo, [tex3]\boxed{x\rightarrow-\infty\,\,\,|\,\,\,y\rightarrow\infty}[/tex3] , indicando que há sim uma interseção em algum momento.
f) [tex3]-2|x|[/tex3]
Como temos [tex3]x[/tex3] em módulo, significa que [tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in\mathbb{Z}^+}[/tex3] e isso implica que:
[tex3]\boxed{|x|\in\mathbb{Z}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in\mathbb{Z}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in\mathbb{Z}^-}[/tex3]
Como sabemos, todos os valores [tex3]f(x)>0[/tex3]
Para [tex3]\boxed{x=0}[/tex3] e [tex3]\boxed{f(x)=1}[/tex3]
e) [tex3]\(\frac{1}{10}\)^x[/tex3]
Funções do tipo [tex3]a^x[/tex3] tem sempre que (para [tex3]a\neq0[/tex3] ): [tex3]\boxed{a^0=1}[/tex3] , logo, podemos descartar essa por [tex3]\boxed{{\color{Blue}\(\frac{1}{10}\)}^{\color{green}x}={\color{Blue}a}^{\color{green}x}}[/tex3]
g) [tex3]y=x^2[/tex3]
Por outro lado, sempre, também temos um caso especial aqui, é facilmente encontrável, que [tex3]\boxed{x=1\,\,|\,\, y=x^2=1}[/tex3] , e como dito acima, esse também é um valor de [tex3]f(x)[/tex3] .
Equações detalhadas
a) [tex3]y=2x[/tex3]
Note que, para [tex3]\boxed{x<0\,\,\,\rightarrow\,\,\,y<0}[/tex3] , sendo valores que estão obrigatoriamente abaixo de [tex3]f(x)[/tex3] , vamos agora situar 2 pontos:
[tex3]x=0[/tex3]
[tex3]f(x)=1[/tex3]
[tex3]2(0)=0[/tex3]
*[tex3]y[/tex3] está abaixo de [tex3]f(x)[/tex3]
[tex3]x=0.3[/tex3]
[tex3]f(x)\approx2[/tex3]
[tex3]2(0.3)=0.6[/tex3]
*[tex3]y[/tex3] ainda está abaixo abaixo de [tex3]f(x)[/tex3] . Tenha em mente que esse é um log conhecido. Veja que a distância entre os pontos já está aumentando, de modo que, [tex3]\boxed{\nexists \,x\,\,|\,\,f(x)=y}[/tex3] .
Nota: Apenas dizer "a distância entre os pontos já está aumentando" não sustenta, o que da o suporte à isso é que, para [tex3]\boxed{x=0.3}[/tex3] , temos que [tex3]\boxed{2(0.3)< f(1)}[/tex3] . Caso não fosse assim, não poderíamos afirmar a não intersecção.
d) [tex3]-x^2-3x-5[/tex3]
Ao menos eu, não sei dizer uma forma rápida de solucionar apenas a vendo, mas note que:
[tex3]\Delta= (-3)^2-4(-1)(-5)\\\Delta=9-20\\\Delta=-11\\\boxed{\Delta<0}[/tex3]
Ou seja, sendo ainda a concavidade da parábola para cima, e sendo o [tex3]\Delta<0[/tex3] , todos os valores dessa função são negativos, logo, não há interseção;
Última edição: LostWalker (Sáb 22 Jan, 2022 15:30). Total de 3 vezes.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
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15:24
Re: Função Exponencial
Errata
Em f), apenas acabei trocando o conjunto a que se pertence
[tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^-}[/tex3]
[tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in\mathbb{R}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in\mathbb{R}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in\mathbb{R}^-}[/tex3]
Em f), apenas acabei trocando o conjunto a que se pertence
[tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in{\color{Red}\mathbb{Z}}^-}[/tex3]
[tex3]\boxed{x\in\mathbb{R}\,\,\rightarrow\,\,|x|\in\mathbb{R}^+\,\,\rightarrow\,\,2|x|\in\mathbb{R}^+\,\,\rightarrow\,\,-2|x|\in\mathbb{R}^-}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
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