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Gabi123
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Função

Mensagem não lida por Gabi123 »

Seja f(x) uma função real de variável real. Se para todo x no domínio de f temos f(x) = f(-x), dizemos que a função é par; no entanto, se temos f(x) = - f(-x), dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função abaixo, podemos afirmar que:
Capturar.JPG
Capturar.JPG (10.95 KiB) Exibido 348 vezes
a) Está definida apenas para x [tex3]\geq 0[/tex3]
b) É uma função que não é par nem ímpar
c) É uma função par
d) É uma função ímpar
e) n.d.a




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AnthonyC
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Re: Função

Mensagem não lida por AnthonyC »

Sabemos que um logaritmo apenas pode ser calculado se o logaritmando for positivo. Assim, devemos ter:
[tex3]\sen(x)+\sqrt{1+\sen^2(x)}>0[/tex3]
Sabemos que [tex3]a^2\geq0[/tex3] , logo:
[tex3]\sen^2(x)\geq0[/tex3]
[tex3]1+\sen^2(x)\geq1[/tex3]
[tex3]\sqrt{1+\sen^2(x)}\geq1[/tex3]
Como [tex3]\sen(x)\geq -1[/tex3] , então:
[tex3]\sen(x)+\sqrt{1+\sen^2(x)}\geq-1+1=0[/tex3]
[tex3]\sen(x)+\sqrt{1+\sen^2(x)}\geq 0[/tex3]
Neste caso, a função não está definida apenas quando [tex3]\sen(x)=-1[/tex3] .
Assim, considerando os valores do domínio, temos:
[tex3]f(-x)=\ln\(\sen(-x)+\sqrt{1+\sen^2(-x)}\)[/tex3]
[tex3]f(-x)=\ln\(-\sen(x)+\sqrt{1+\sen^2(x)}\)[/tex3]
Assim, a função não é par nem ímpar.
[tex3]f(-x)=\ln\(-\sen(x)+\sqrt{1+\sen^2(x)}\)[/tex3]



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

rcompany
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Re: Função

Mensagem não lida por rcompany »

AnthonyC escreveu:
Sex 15 Out, 2021 18:48

Neste caso, a função não está definida apenas quando [tex3]\sen(x)=-1[/tex3]
[tex3]
\sin x=-1\implies \sin x+\sqrt{1+\sin^2x}=-1+\sqrt{2}>0\implies g\left(\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right)\text{ existe}\\
\text{alias não tem valor de }x\text{ que anule }\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}:\\[12pt]
\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}=0\implies \sin^2x=1+\sin^2x\implies 0=1\\[12pt]
(\forall x \in\mathbb{R}, \sin x+\sqrt{1+\sin^2x}>0)\implies\mathcal{D}_g=\mathbb{R}
[/tex3]



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AnthonyC
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Re: Função

Mensagem não lida por AnthonyC »

Verdade, não considerei esse detalhe durante a resolução. Fiz o argumento sem perceber que os valores de [tex3]x[/tex3] que tornam a raiz igual a 1 não são os mesmos que fazem seno ser igual a -1. Obrigado por pontuar isto rcompany.

No caso, percebi agora que o resto da resolução não está certa também (me perdoem, foi um dia difícil)

Temos que:
[tex3]\sen(-x)+\sqrt{1+\sen^2(-x)}={\sqrt{1+\sen^2(x)}-\sen(x)}[/tex3]
[tex3]\sen(-x)+\sqrt{1+\sen^2(-x)}=\[{\sqrt{1+\sen^2(x)}-\sen(x)}\]\[{\sqrt{1+\sen^2(x)}+\sen(x)}\over {\sqrt{1+\sen^2(x)}+\sen(x)}\][/tex3]
[tex3]\sen(-x)+\sqrt{1+\sen^2(-x)}={1+\sen^2(x)-\sen^2(-x)\over \sqrt{1+\sen^2(x)}+\sen(x)}[/tex3]
[tex3]\sen(-x)+\sqrt{1+\sen^2(-x)}={1\over \sen(x)+ \sqrt{1+\sen^2(x)}}[/tex3]
[tex3]\ln\[\sen(-x)+\sqrt{1+\sen^2(-x)}\]=\ln\[{1\over \sen(x)+ \sqrt{1+\sen^2(x)}}\][/tex3]
[tex3]f(-x)=\ln\[\({ \sen(x)+ \sqrt{1+\sen^2(x)}}\)^{-1}\][/tex3]
[tex3]f(-x)=-\ln\[{ \sen(x)+ \sqrt{1+\sen^2(x)}}\][/tex3]
[tex3]f(-x)=-f(x)[/tex3]
Portanto, a função é ímpar.
Última edição: AnthonyC (Dom 17 Out, 2021 21:07). Total de 1 vez.


[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

rcompany
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Re: Função

Mensagem não lida por rcompany »

[tex3]
\text{Mais simplesmente:}\\[12pt]
\begin{align}
f(x)+f(-x)&=\ln(u+\sqrt{1+u^2})+\ln(-u+\sqrt{1+u^2})\quad\text{com }u=\sin x\\
&=\ln\left[(u+\sqrt{1+u^2})\cdot (-u+\sqrt{1+u^2})\right]\\
&=\ln(1+u^2-u^2)=\ln(1)=0
\end{align}\\
f\text{ impar}
[/tex3]




Movido de Pré-Vestibular para Ensino Médio em Seg 18 Out, 2021 13:37 por ALDRIN

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