Pré-Vestibular(FUVEST) Sistema Linear

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lndrj1
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(FUVEST) Sistema Linear

Mensagem não lida por lndrj1 »

Para quais os valores de a o sistema linear, admite solução.

{x + y + z = 1
{2x + 3y + 4z = a
{......-y - 2z = a²


os pontinhos foram apenas para deixa certinho o sistema

Gabarito: a=1 ou a=-2

Última edição: ALDRIN (Dom 10 Fev, 2013 12:53). Total de 2 vezes.
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danjr5
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Re: (FUVEST) Sistema Linear

Mensagem não lida por danjr5 »

Basta trocar uma coluna de coeficiente (qualquer) pela coluna do termo independente - sistema.

\\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 3 & 4 \\ a^2 & - 1 & - 2 \end{bmatrix} = \\\\\\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 1 \\ a & 3 & 4 & | & a & 3 \\ a^2 & - 1 & - 2 & | & a^2 & - 1 \end{bmatrix} = \\\\\\ - 6 + 4a^2 - a - 3a^2 + 4 + 2a = 0 \\ a^2 + a - 2 = 0 \\ (a + 2)(a - 1) = 0 \\ \boxed{a = - 2} \\ \boxed{a = 1}

Última edição: danjr5 (Dom 10 Fev, 2013 19:01). Total de 1 vez.


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Jhonatan
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Re: (FUVEST) Sistema Linear

Mensagem não lida por Jhonatan »

Alguém poderia me explicar um detalhe nessa questão ? Eu fiz o determinante da matriz principal e obtive 0, logo, o sistema só pode ser possível e indeterminado (já que a questão quer que haja solução).
Porém, por qual razão eu deve considerar que o determinante da matriz obtida substituindo uma coluna dos coeficientes de alguma incógnita (supondo x) pela dos termos independentes também deve ser 0 pra haver spi ? isto é, por que Dx = 0 ?
Dx --> determinante da matriz substituindo os coeficientes da coluna X pelos termos independentes (1, a e a²)



danjr5
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Re: (FUVEST) Sistema Linear

Mensagem não lida por danjr5 »

Olá Jhonatan!
Jhonatan escreveu:
Qui 13 Mai, 2021 00:11
Alguém poderia me explicar um detalhe nessa questão ? Eu fiz o determinante da matriz principal e obtive 0, logo, o sistema só pode ser possível e indeterminado (já que a questão quer que haja solução).
Porém, por qual razão eu deve considerar que o determinante da matriz obtida substituindo uma coluna dos coeficientes de alguma incógnita (supondo x) pela dos termos independentes também deve ser 0 pra haver spi ? isto é, por que Dx = 0 ?
Dx --> determinante da matriz substituindo os coeficientes da coluna X pelos termos independentes (1, a e a²)
Quanto à solução de um sistema de equações, temos duas possibilidades: a de existir ou não. Quando existe solução dizemos que o sistema é possível; quando não, impossível. Ademais, temos que o sistema possível poderá ser determinado ou indeterminado.

Você calculou o determinante da matriz principal e encontrou zero, ou seja, [tex3]\mathbf{\Delta = 0}[/tex3] . Diante disso, podemos tirar que o sistema poderá ser possível e indeterminado e, também, impossível!

Substituindo a primeira coluna da matriz principal (coeficientes de x), por exemplo, pelos termos independentes, obtemos [tex3]\mathbf{\Delta_x}[/tex3] . Sabe-se que [tex3]\displaystyle \boxed{\mathbf{x = \frac{\Delta_x}{\Delta}}}[/tex3] .

Uma vez que [tex3]\mathbf{\Delta = 0}[/tex3] , o sistema poderá ser possível (e indeterminado) ou impossível. Dependerá de [tex3]\mathbf{\Delta_x}[/tex3] .

[tex3]\bullet[/tex3] Supondo [tex3]\mathtt{\Delta_x = 0}[/tex3] , então o sistema será possível (e indeterminado);

[tex3]\bullet[/tex3] Supondo [tex3]\mathtt{\Delta_x \neq 0}[/tex3] , então o sistema será impossível.

De acordo com enunciado, devemos determinar o(s) valor(es) de [tex3]\mathbf{a}[/tex3] para que o sistema admita solução, isto é, seja possível.

Diante do exposto, se [tex3]\mathbf{\Delta_x}[/tex3] tiver qualquer outro valor diferente de zero, então o sistema não será possível. Será impossível! Tomemos como exemplo a equação [tex3]\mathsf{0y = 5}[/tex3] . Sabemos que ela não tem solução, pois [tex3]\mathbf{\nexists \, y}[/tex3] ... Veja:

[tex3]\\ \mathsf{0 \cdot y = 5} \\\\ \mathsf{y = \frac{5}{0}}[/tex3]



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