Pré-Vestibular ⇒ (PUC) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[milasb]

Em um triângulo retângulo como representado na figura, a altura, os catetos e a hipotenusa estão em progressão geométrica. A razão desta progressão é:

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a) [tex3]q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}[/tex3]

b) [tex3]q=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q=3[/tex3]

c) [tex3]q=\sqrt{\frac{2-\sqrt{5}}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q=\sqrt{\frac{2-\sqrt{5}}{2}}[/tex3]

d) [tex3]q=\pm\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q=\pm\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}[/tex3]

e) [tex3]q=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]

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[tex3]q=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Resposta

---

a

[petras]

milasb,
Se os lados do triângulo retângulo estão em P.G, então

h= Altura = h = [tex3]\frac{x}{q}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{q}[/tex3]

C = Cateto maior = x
c = cateto menor = xq
H = hipotenusa = xq²

por Pitágoras:

[tex3]\mathsf{(xq^2)^2 =( xq)^2 + (x )^2\rightarrow x^2q^4 - x^2q^2 -x ^2=0\rightarrow x^2(q^4-q^2-1) = 0\\
\text{Resolvendo a equação biquadrada:}~ q^4-q^2-1 = 0\\
\text{Desprezamos as duas raizes complexas e a raiz negativa pois a PG é crescente, restará}
\\q = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}=\boxed{\mathsf{\color{Red}\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}}}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{(xq^2)^2 =( xq)^2 + (x )^2\rightarrow x^2q^4 - x^2q^2 -x ^2=0\rightarrow x^2(q^4-q^2-1) = 0\\
\text{Resolvendo a equação biquadrada:}~ q^4-q^2-1 = 0\\
\text{Desprezamos as duas raizes complexas e a raiz negativa pois a PG é crescente, restará}
\\q = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}=\boxed{\mathsf{\color{Red}\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}}}
[/tex3]

[milasb]

Muito obrigada!!! entendii