Ensino Superior ⇒ Projeção ortogonal sobre subespaço ortogonal Tópico resolvido

[Pinh3iro]

Sendo F = [(1,1,-1)], a projeção ortogonal de (2,4,1) sobre o subespaço ortogonal de F é:

[baltuilhe]

Boa noite!

O subespaço ortogonal ao vetor F dado é o que contém vetores que são todos ortogonais a F.
Portanto, chamando:
[tex3]\vec{G}=(2,4,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{G}=(2,4,1)[/tex3]

Projetando na direção de F:
[tex3]\text{proj}_{F}\vec{G}=\dfrac{\vec{G}\cdot\vec{F}}{\|\vec{F}\|^2}\vec{F}\\
\text{proj}_{F}\vec{G}=\dfrac{(2,4,1)\cdot(1,1,-1)}{(1)^2+(1)^2+(-1)^2}(1,1,-1)\\
\text{proj}_{F}\vec{G}=\dfrac{2\cdot 1+4\cdot 1+1\cdot -1}{3}(1,1,-1)\\
\text{proj}_{F}\vec{G}=\dfrac{5}{3}(1,1,-1)=\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3},\dfrac{-5}{3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{proj}_{F}\vec{G}=\dfrac{\vec{G}\cdot\vec{F}}{\|\vec{F}\|^2}\vec{F}\\
\text{proj}_{F}\vec{G}=\dfrac{(2,4,1)\cdot(1,1,-1)}{(1)^2+(1)^2+(-1)^2}(1,1,-1)\\
\text{proj}_{F}\vec{G}=\dfrac{2\cdot 1+4\cdot 1+1\cdot -1}{3}(1,1,-1)\\
\text{proj}_{F}\vec{G}=\dfrac{5}{3}(1,1,-1)=\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3},\dfrac{-5}{3}\right)[/tex3]

Mas este vetor não está no conjunto subespaço ortogonal de F. Então
[tex3]\vec{G}-\text{proj}_{\vec{F}}\vec{G}=(2,4,1)-\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3},\dfrac{-5}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{7}{3},\dfrac{8}{3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{G}-\text{proj}_{\vec{F}}\vec{G}=(2,4,1)-\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3},\dfrac{-5}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{7}{3},\dfrac{8}{3}\right)[/tex3]

Espero ter ajudado!