Pré-Vestibular(FUVEST-2001) Elipse e Função Afim Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Planck
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Fev 2019 19 20:49

(FUVEST-2001) Elipse e Função Afim

Mensagem não lida por Planck »

A elipse [tex3]x^2 + \frac{y^{2}}{2}=\frac{9}{4}[/tex3] e a reta [tex3]y=2x+1[/tex3] , do plano cartesiano, se interceptam nos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] . Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3] é:

a)[tex3]\left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)[/tex3]
b)[tex3]\left(\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}\right)[/tex3]
c)[tex3]\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}\right)[/tex3]
d)[tex3]\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)[/tex3]
e)[tex3]\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)[/tex3]

Resposta

D




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MateusQqMD
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Re: (FUVEST-2001) Elipse e Função Afim

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Planck, uma ideia é a gente substituir [tex3]y=2x+1[/tex3] na equação da elipse e descobrir as coordenadas dos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3]

[tex3]x^2 + \frac{y^{2}}{2}=\frac{9}{4}[/tex3]

Substituindo [tex3]y=2x+1[/tex3] , temos

[tex3]x^2 + \frac{(2x+1)^{2}}{2}=\frac{9}{4}[/tex3]

[tex3]x^2 + \frac{4x^2 + 4x +1}{2} = \frac{9}{4}[/tex3]

Multiplicando ambos os lados da igualdade por 4, obtemos

[tex3]4x^2 + 8x^2 + 8x + 2 = 9[/tex3]

[tex3]12x^2 +8x -7 = 0 [/tex3]

De onde tiramos que as soluções são [tex3]x = -\frac{7}{6} [/tex3] e [tex3]x = \frac{1}{2}[/tex3]

Se [tex3]x = -\frac{7}{6} [/tex3] , então [tex3]y = 2\(-\frac{7}{6}\)+1 = \frac{-4}{3}[/tex3]

Se [tex3]x = \frac{1}{2}[/tex3] , então [tex3]y = 2\(\frac{1}{2}\)+1 = 2[/tex3]

Segue, daí, que o ponto médio será dado por

[tex3]x_\text{m} = \frac{-\frac{7}{6} +\frac{1}{2} }{2} = \frac{-1}{3}[/tex3]

e

[tex3]y_{\text{m}} = \frac{\frac{-4}{3} + 2}{2} = \frac{1}{3}[/tex3]




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