Ensino Médio ⇒ Fatoração algébricas Tópico resolvido

[Fovestão]

a) Se x + [tex3]\frac{1}{x} = \frac{2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x} = \frac{2}{3}[/tex3]

, determine x² + [tex3]\frac{1}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2}[/tex3]

+ ....

b) Se x² + x +1 = 0, então o valor de (x + [tex3]\frac{1}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x}[/tex3]

)² + (x² + [tex3]\frac{1}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2}[/tex3]

)² + ... + (x²⁷ + [tex3]\frac{1}{x^{27}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^{27}}[/tex3]

)² é ?

Só tenho a resposta da B, que é 54.

[MateusQqMD]

a) Não sei o que significa " ... "

b) Eu não irei fazer todas as contas, mas vou deixar uma ideia

É suficiente sabermos três resultados para esse item:

[tex3]x^2 + x +1 = 0 \,\, \Rightarrow \,\, x + \frac{1}{x} = -1\,\,\, \text{(I)}[/tex3]

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[tex3]x^2 + x +1 = 0 \,\, \Rightarrow \,\, x + \frac{1}{x} = -1\,\,\, \text{(I)}[/tex3]

Elevando [tex3]\text{(I)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{(I)}[/tex3]

ao quadrado, temos

[tex3]x^2 + \frac{1}{x^2} = -1 \,\,\, \text{(II)}[/tex3]

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[tex3]x^2 + \frac{1}{x^2} = -1 \,\,\, \text{(II)}[/tex3]

Por fim,

[tex3]x^2 + x +1 = 0 \,\, \Rightarrow \,\, (x^2 + x +1)(x-1) = 0 \,\, \Rightarrow \,\, x^3 - 1 = 0 \,\, \Rightarrow \,\, x^3 = 1 \,\,\, \text{(III)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 + x +1 = 0 \,\, \Rightarrow \,\, (x^2 + x +1)(x-1) = 0 \,\, \Rightarrow \,\, x^3 - 1 = 0 \,\, \Rightarrow \,\, x^3 = 1 \,\,\, \text{(III)}[/tex3]

Aí você vai quebrar essa soma do enunciado. Para os primeiros casos, já temos os resultados acima, para os seguintes:

[tex3]x^4 + \frac{1}{x^4} = x^3 \cdot x + \frac{1}{ x^3 \cdot x} = x + \frac{1}{x} = -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4 + \frac{1}{x^4} = x^3 \cdot x + \frac{1}{ x^3 \cdot x} = x + \frac{1}{x} = -1[/tex3]

[tex3]x^5 + \frac{1}{x^5} = x^3 \cdot x^2 + \frac{1}{ x^3 \cdot x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = -1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^5 + \frac{1}{x^5} = x^3 \cdot x^2 + \frac{1}{ x^3 \cdot x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = -1 [/tex3]

[tex3]x^6 + \frac{1}{x^6} = (x^3)^2 + \frac{1}{ \(x^3\)^2} = 2[/tex3]

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[tex3]x^6 + \frac{1}{x^6} = (x^3)^2 + \frac{1}{ \(x^3\)^2} = 2[/tex3]

Etc.

[Fovestão]

Vc tem foto das contas completas? N to entendendo muito bem.

[MateusQqMD]

Vc tem foto das contas completas? N to entendendo muito bem.

Eu não cheguei a pegar em papel, mas o que você precisa ver é o resto do expoente por 3 de cada termo da sequência. Percebendo isso, a gente consegue visualizar um padrão a cada três termos.

Vamos analisar os três primeiros, por exemplo

[tex3](x + \frac{1}{x})^2 = (-1)^2 = 1 [/tex3]

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[tex3](x + \frac{1}{x})^2 = (-1)^2 = 1 [/tex3]

[tex3](x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = (-1)^2 = 1 [/tex3]

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[tex3](x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = (-1)^2 = 1 [/tex3]

[tex3](x^3 + \frac{1}{x^3})^2 = (1 + \frac{1}{1})^2 = 4 [/tex3]

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[tex3](x^3 + \frac{1}{x^3})^2 = (1 + \frac{1}{1})^2 = 4 [/tex3]

Que resulta em [tex3]1 + 1 + 4 = 6[/tex3]

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[tex3]1 + 1 + 4 = 6[/tex3]

Para os três seguintes, teremos o mesmo resultado, observe

[tex3](x^4 + \frac{1}{x^4})^2 = (x^3\cdot x + \frac{1}{x^3\cdot x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = (-1)^2 = 1 [/tex3]

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[tex3](x^4 + \frac{1}{x^4})^2 = (x^3\cdot x + \frac{1}{x^3\cdot x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = (-1)^2 = 1 [/tex3]

[tex3](x^5 + \frac{1}{x^5})^2 = (x^3\cdot x^2 + \frac{1}{x^3\cdot x^2})^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = (-1)^2 = 1 [/tex3]

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[tex3](x^5 + \frac{1}{x^5})^2 = (x^3\cdot x^2 + \frac{1}{x^3\cdot x^2})^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = (-1)^2 = 1 [/tex3]

[tex3](x^6 + \frac{1}{x^6})^2 = (x^3\cdot x^3 + \frac{1}{x^3\cdot x^3})^2 = (1 + \frac{1}{1})^2 = (2)^2 = 4 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^6 + \frac{1}{x^6})^2 = (x^3\cdot x^3 + \frac{1}{x^3\cdot x^3})^2 = (1 + \frac{1}{1})^2 = (2)^2 = 4 [/tex3]

Que, novamente, resulta em [tex3]1 + 1 + 4 = 6[/tex3]

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[tex3]1 + 1 + 4 = 6[/tex3]

Para chegarmos em 54 sem ser necessário escrever todos os casos, basta observar que nós temos 9 dessas sequência, daí [tex3]9 \cdot 6 = 54[/tex3]

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[tex3]9 \cdot 6 = 54[/tex3]

[MateusQqMD]

Fovestão, eu fiz uma edição da minha última mensagem no intuito de melhorar a redação da resolução, veja se fica melhor de entender agora.

[Fovestão]

Ficou sim! Obrigado!