Ensino Fundamental ⇒ Semelhança de Triângulos Tópico resolvido

[vanderson]

Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e sua altura AH. Considere três circunferências inscrita aos triângulos ABC, HBA e HAC repectivamente com os raios r1,r2 e r3. Então temos:

Imagem dos triângulos

IMG-4828.jpg (51.31 KiB) Exibido 983 vezes

a) r2 = (r1 + r3)/2
b)r2 = [tex3]\sqrt{r1 . r3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{r1 . r3}[/tex3]

c) r2 = r1 . r3/r1 + r3
d)r2 = 2r1 . r3/r1 + r3
e) [tex3]r1^{2} = r2^{2} + r3^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r1^{2} = r2^{2} + r3^{2}[/tex3]

Resposta: e

Obrigado

[jvmago]

Façamos duas semelhanças

[tex3]\frac{r_1}{r}=\frac{AB}{BC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{r_1}{r}=\frac{AB}{BC}[/tex3]

e [tex3]\frac{r_2}{r}=\frac{AC}{BC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{r_2}{r}=\frac{AC}{BC}[/tex3]

elevando as duas ao quadrado e somando as equações
[tex3]\frac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}[/tex3]

por pitágoras [tex3]BC^2=AC^2+AB^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BC^2=AC^2+AB^2[/tex3]

então:

[tex3]r_1^2+r_2^2=r^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1^2+r_2^2=r^2[/tex3]

[Killin]

Como é essa semelhança? Pode ilustrar no paint ou algo do tipo por favor?

[jvmago]

Como é essa semelhança? Pode ilustrar no paint ou algo do tipo por favor?

Se dois triângulos forem semelhantes, os raios de suas circunferências inscritas respeitarão a mesma razão de proporção e é essa a idéia!!

Aí vc relaciona os raios com os catetos para fazer aquele siateminha ali