(PUC-RJ) A figura mostra um triângulo equilátero de lado 1, um círculo inscrito e um segundo círculo tangente a dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo.
a) Encontre o raio do maior círculo.
b) Encontre o raio do menor círculo.
c) Encontre a área da região sombreada, limitada por um lado do triângulo e pelos dois círculos.
gab1234,
Como o triângulo é equilátero, ligando um dos vértices do triângulo ao centro círculo, a reta formada será bissetriz, altura e mediana. Assim, vale que
[tex3]\frac{R}{\frac12}=\tg30°=\frac{\sqrt3}3\implies R=\frac{\sqrt3}6\tag*{}[/tex3]
Para achar r, ligue o centro do círculo menor a um dos pontos de tangência com os lados do triângulo. Agora, ligue o vértice de cima do triângulo ao centro do círculo menor. Teremos um triângulo retângulo, cuja hipotenusa vale [tex3]\frac{\sqrt3}6-r[/tex3]
e o cateto oposto ao ângulo de 30° vale r, assim, podemos fazer que
[tex3]r=\(\frac{\sqrt3}{6}-r\)\sen30°=\frac{\sqrt3}{12}-\frac r2\implies r=\frac{\sqrt3}{18}\tag*{}[/tex3]
Para achar a área pedida, ligue o centro do círculo maior ao lado esquerdo do triângulo. Teremos um triângulo retângulo, que subtraído da área de um setor de 60° do círculo menor e da metade da área do círculo menor e de uma áreazinha lá em cima vai dar a área pedida.
Como os ângulos desse triângulo são 30° e 60°, dá para gente achar todos os lados, assim, a área dele vai ser dada pelo produto dos catetos dividido por 2, ou seja, [tex3]\frac{\frac{\sqrt3}{6}\cdot\frac12}2=\frac{\sqrt3}{24}[/tex3]
Agora, resta achar a areazinha lá em cima.
Note que ela equivale à área do triângulo retângulo que usamos para calcular r subtraída de um setor de 60° do círculo menor, ou seja, ela vale [tex3]\frac{\sqrt3}{216}-\frac{π}{648}[/tex3]
Finalmente, essa bendita área vale
[tex3]\frac{\sqrt3}{24}-\frac{π}{72}-\fracπ{216}-\(\frac{\sqrt3}{216}-\frac{π}{648}\)=\frac{\sqrt3}{27}-\frac{11π}{648}[/tex3]
No gráfico de pizza – supondo-se a diferença percentual entre
o número de voluntários com curso médio completo e curso
superior incompleto igual a 12% e o raio da circunferência igual
a 5√2 cm – a...
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Sendo o médio completo MC e superior incompleto SI, temos o sistema de equações:
\begin{cases}
MC+SI=38 \\
MC-SI=12
\end{cases}
A figura acima ilustra uma arena, que foi construída para um megashow de música popular e tem a forma de um setor circular ABC, de raio AB = 240 m e comprimento do arco da circunferência, BC = 360 m....
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legislacao ,
O Ângulo de 1,5 rad é comum aos dois setores. O raio do setor menor foi utilizado para calcular a área do setor do palco. Eu tinha omitido esse cálculo mas já revisei e inclui ele.
