Fazendo a construção como se pede, teremos o seguinte esquema:

Nota-se aqui que, devido à circunferência e ao retângulo, há alta simetria a ser explorada. Primeiramente, devido aos ângulos retos...

R = raio do círculo
r = raio do setor
\mathsf{

S_{set} = \frac{\pi r^2}{6}=24 \therefore r = \frac{12\sqrt \pi}{\pi}\\
sen30^o =\frac{R}{r-R}\implies...

\mathsf{
\triangle AFD(equilátero)\implies S_{AFD} = \frac{l^2\sqrt3}{4} =\sqrt3\\
S_{setorABF} = S_{setorFCD} = \frac{\pi r^2}{12} =\frac{\pi}{3}\\
S_{ABCD} = 2^2 = 4\\
S_{\triangle AED} =...

\mathsf{\triangle ABH: (AB)^2 = (2n)^2+(2h)^2 \implies AB = 2\sqrt{(n^2+h^2)}\\
I+S_{ABC} = 40(i)\\
II+10 = \frac{\pi r^2}{2}(ii)\\
I+II+S_{ABC}=\frac{\pi R^2}{2}(iii)\\
(i)+(ii) = I+II+S_{ABC} =...

S = área procurada
\mathsf{AO=BO=R\\
\overset{\LARGE{\frown}}{AOB} = 270^o\implies \angle AMB(inscrito) = 135^o\\
Traçar:AB\\
T.Pit~- \triangle AOB: R^2+R^2 = AB^2 \implies AB = R\sqrt2\\
L....

\mathsf{
S_{ABC} =\frac{1}{2}.sen30^o.AC.CB = 32\sqrt3\\
cos30^o = \frac{BC}{AC} \implies BC = AC\frac{\sqrt3}{2}\\
\therefore 32\sqrt3 = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt3}{2}.AC^2\implies AC =...

\mathsf{
∠AQB=90^∘ \\
Se~ ∠BQE=2\theta , ∠AEQ=∠EAQ=45^∘+\theta, (AQ=QE)\\
∠OFE=∠AEQ=45^∘+\theta \implies ∠FOE=90^∘−2\theta. \\
Como ∠AQF=∠FOE: AOFQ ~é ~cíclico\\
\therefore ∠AFO=∠AQO=∠45^∘ \\
mas~...

\mathsf{
OP=OQ = 6\\
OK \perp PQ \implies OK = 3\\
\triangle PKQ:cos 30^o =\frac{PK}{6}\implies PK = 3\sqrt3\\
A_X = S_{setAED} - S_{\triangle POQ} = \frac{\pi6^2}{3}-\frac{6\sqrt3}{2} =...

\mathsf{
A_I(vermelho) = S_{setor60^o}-S1-S2-\pi r^2(I)\\
\triangle OCF(retângulo):sen30^o = \frac{r}{R-r}\implies r = \frac{R}{3}\\
Em(I): A_I = \frac{\pi R^2}{18}-12(II)\\
S_x=A_{II}-A_I(III)\\
tg...

Seja O centro do semicírculo de raio R
S = área sombreada
\mathsf{
OG=\frac{a}{2}+b\\
OD=OA=\frac{a}{2}.\\
T.Pit:\triangle OFG~ e~ \triangle OCD:\
(\frac{a^2}{2}+b)^2+b^2=R^2 ~e ~R^2=\frac{5}{4}a^2...

Por simetria no centro O BR=PQ=6

Pede-se 2X=π(R²-r²)

Por potencia de ponto

6*(10)=(R-r)(R+r)
R²-r²=60
Usando lá em cima
2x=60π
X=30π

PIMBADA

\mathsf{OP = PB \implies AP=PB=OP=2\\
\text{OP é tangente a circunferencia} \\
\angle QAP=2a \therefore \angle AQO=45−2a\\
\angle QPO=a\\
\angle AQO=135^o+a\\
T.senos \triangle AOQ :...

Seja O' o centro do círculo de cima, o triângulo OO'P é equilátero.
Como o círculo de cima é tangente a AB por O então OO' perpendicular a AB
então o ângulo BOP = 30º então BAP = 15º e o ângulo APO'...

\mathsf{
Q(centro) \therefore \angle COA=45^o = \angle QCO\\
\angle COA=2\angle OCB ~ (\text{áreas compreendidas por ângulos iguais = 45o}) \therefore \\
S_1 \sim S_2 \implies \text{Teorema das áreas...

\mathsf{
\triangle APH: \frac{2\sqrt10}{5}^2+\frac{\sqrt10}{5}^2 = AP^2 \implies \boxed{AP = \sqrt2}\\
\triangle APB: \frac{\sqrt10}{5}^2 =\frac{2\sqrt10}{5}. HB \implies...

\mathsf{x = AM ~e ~y = BC\\
\angle ABC = 90º \\
T. Pit:~\triangle ABC\\
(2x)^2+y^2=(2r)^2 \\
4x^2+y^2=3x^2+(x^2+y^2)=48(I)\\
T,PIt~\triangle BMC: x^2+y^2 = 21(II)\\
\\
De(I) e(II) x = 3\\
y =...

Sejam R1 e R2 e R3 os raios das semi-círcunferências da menor para a maior que estão sobre a hipotenusa AC.

Pelo Teorema de Burlet:
=(2R_1)\cdot(2R_2)\cdot\cotg\left(\frac{90^{\circ}}{2}\right)\\...

Outra solução: sousóeu -

Sejam C e E os dois outros pontos que tocam no circulo pelas retas BD e AD.
\mathsf{ \frac{\overset{\LARGE{\frown}}{BC}+\overset{\LARGE{\frown}} {AE}}{2}=45^o (ângulo~excêntrico~interno)
\\...

\mathsf{
QH=2a,\\
PH=2b\\
HR=2c\\
(Por ~métrica) 4a^2=4bc\\
a^2=bc\\
Circunferência:r= a:\\
A+B+C+M+N=\pi a^2\\
Semi circunferências menores:\\
2(T+B)=\pi b^2\\
2(C+L)=\pi c^2\\
\text{Para...

As semicircunferências são semelhantes
\mathsf{
\angle ATC=90^o\\
\frac{S1}{S3}=\frac{9}{4}=\frac{r_1^2}{r_3^2}\implies r_1 = 3k, r_3 =2k\\
\triangle ATC: (7k)^2= (3k)^2+(2r_2)^2 \implies r_2 =...

O = centro semicircunfeência FG
\mathsf{
FO =GO=r\\
FI = 2a\\
GJ= 2b\\
Traçar~OD\implies OD = AO=OB=r\\
T,bases~médias: r = \frac{2(a+b)}{2}=a+b\\...

Propriedade utilizada

\mathsf{
T.PIt: (2R−r)^2+R^2=(R+r)^2⇒5R^2−4Rr+r^2=R^2+2Rr+r^2\\
r=23Rr=23R\\
\therefore S1=\frac{2}{9}πR^2\\
S2=\frac{1}{2}πR^2\\
\frac{S1}{S2}=\frac{4}{9}\\

}
(Solução:NIgrumCibum -

R = raio circunferência maior
O = centro da circunferência maior
\mathsf{AC=BC^* \implies ∆ABC : isósceles.\\
\overset{\LARGE{\frown}}{ AEB} =240^o, então ∠ACB=120^o\\
∠BAC=∠ABC=30^o⟹\\...

\mathsf{\triangle ABO1:2^2+1^2=BO1^2 \implies BO1 =\sqrt5\\
(triângulo~notável: (1, 2) \implies \angle O1BO2 = 37^o\\

S= \frac{37 \pi \sqrt5^2}{360} - \frac{37 \pi 2^2}{360} =...

Sejam α, β e θ as cricunferências de centro O,O′,O′.

Trace o diâmetro MN, onde M está sobre α, da circunferência β, una os centros OO′, trace a reta MO′ que resultará em um ΔOO′M equilátero de lado...

Seja x = \angle ACE , então \angle EOA = 3x \implies \angle OEC = 3x-x=2x

como \triangle EOD é isósceles, então \angle EDO = 2x \implies \angle EOD = 180^{\circ} - 4x \implies \angle DOC = x ....

Lado do quadrado l
Raio da circunferência menor r
Ponto de tangência da circunferência menor com a diagonal do AC do quadrado P
Centro da circunferência menor: O
Área sombreada menor : S1
Área...