\mathsf{EF \perp AB ~e~CD\\
S_1+x+S_2 = \frac{a.h_1}{2}(I)\\
y+S_2=\frac{ah_2}{2}(II)\\
(I)+(II): S_1+S_2+S_3+x+y = \frac{a}{2}(h_1+h_2)(III)\\
x+S_4+y=\frac{a}{2}(h_1+h_2)(IV)\\
(III)=(IV):...

Um quadrilátero bicêntrico é aquele que pode ser inscritivel e circunscritivel, por teorem sua área será S=\sqrt{abcd}

supondo que esse trapézio seja isosceles por pítot, 2l=13 então:...

\mathsf{
S_{MBC}=\frac{BC.BM}{2}=\frac{BC.AM}{2}=\frac{18}{2}9\implies S1+S3=9(I)\\
S_{BCD} = \frac{BC.AB}{2}=\frac{BC.2AM}{2}=\frac{36}{2} = 18 \implies S4 + S3 = 18(II)\\
(II)-(I): S4-S1=9...

AC = 5 = \sqrt{3^2+4^2} .

BT = R é a altura do \triangle ABC , logo BT \cdot 5 = 3 \cdot 4 \iff R = \frac{12}5

A área pedida é:

\frac{3 \cdot 4}2 - \frac{12^2}{50} = 6 - \frac{72}{25} =...

\mathsf{S_{OAB}=S_{OBC}=S_{OCD}=S_{ODA} =\frac{64}{4}=16\\
\frac{S_{POS}}{S_{AOD}}=\frac{PO.OS}{OA.OD}=\frac{1}{4}\therefore S_{POS}=\frac{S_{AOD}}{4}=\frac{16}{4}=4\\...

= \frac{a \cdot 3b \cdot sen(180^o-w)}{2} = \frac{3absen(w)}{2}\\
= \frac{a \cdot 3b \cdot sen(180^o-w)}{2} = \frac{3absen(w)}{2} \\
\therefore = = \implies\boxed{\color{red}x=y}
(Solução:Ittalo25 -

G é baricentro do triângulo ABD. (As diagonais de um romboide se cruzam ao meio)

\therefore: S_{GND}=\frac{40}{6}=\frac{20}{3}

Os segmentos 2q,q,2k,k foram marcados nessa proporção porque são...

Trace ~BM\\\therefore S_{△BNH}=\frac{1}{2}BH⋅MH \\
S_{ABNH}=S_{△ABH}+S_{△BNH}=\frac{1}{2}BH⋅(AH+HM)=\frac{1}{2}\triangle S_{ABC}\therefore \boxed{\color{red}S_{△ABC}=9m^2}
(Solução:MathLover)

\mathsf{A = S(AJKF)\\
S(ADG)= \frac{S(ABDC)}{2}\\
S(FDC)=\frac{(CDEF)}{2}\\
\therefore S(ADCF)=\frac{S(ABEF)}{2}\implies:\\
A1 + A + A3= \frac{S(ABEF)}{2} ... (1)\\
S(GEF)=\frac{S(ABEF)}{2}\\...

\mathsf{△AOD \sim △BOC \therefore BC:AD=3:4\\
\frac{ △AOD}{{△BOC } }= \frac{16}{9}\\
h_{OAD} = h\\
h_{OBC}= 3hh. \\
h_{EAD} = h1, \implies h_{EBC} = \frac{7h}{4}\\
\therefore...

\mathsf{ \triangle BCL \sim \triangle CMD\\\frac{CL}{CD} = \frac{BC}{CM}\\ \frac{\sqrt{41}}{CD} = \frac{4}{\sqrt{160}}\\CD = \sqrt{410}\\
T.PIt \triangle CLD:\\
410=41+DL^2 \implies DL=3\sqrt{41}\\...

Vou dar uma traduzida na resposta do jvmago deste link daqui .

O Teorema de Burlet no \triangle RBS garante que:

S_{RBS} = r_1r_2 \cotg (\frac{90^{\circ}}2) = r_1r_2

a prova é bem simples: seja...

Seja M' \in AB tal que MM' \parallel BC . Então, é fácil ver que \triangle AM'M \cong \triangle AMD e que o retângulo AM'MD tem metade da área do retângulo ABCD , então a área de ABCD é 16 m².

Sejam...

Traçar MD
\mathsf{S_{MND} = A\\
S_{DEN}=A_x\\
AD(mediana)\implies {S_{AMD}} = A+ A_X\\
MDEC\implies A = S_{CNE}(propriedade)\\
S_{AMD} = \frac{l^2}{2}\implies S_{ABM}+S_{MCD}=S_{AMD} \\
\therefore...

como MR \perp AB a área do AMBR é 2 \cdot (\frac{ b \cdot \frac a2}2) = \frac{ab}2 .

A área do quadrado é naturalmente \frac{a^2}2 , logo a razão é \frac ab

Solução :

Usando as propriedade 1 , temos:

Pela propriedade 2 : \begin{cases} = =5\implies =3\\ = =5\implies =2\end{cases}\iff =2+3+5+2+3=15

Portanto, a área do paralelogramo é o dobro da área...

\mathsf{\\
S_{ABT}=4S_{AMR}\\
MN = QP = \frac{AC}{2}\\
NP = MQ = \frac{BD}{2} = \frac{AC}{2}\\
BD \cap MN = X\\
\triangle BXM \cong \triangle AMR \implies S_{ABT}= 4.4=16~e~S-{MXRT}=16-8=8\\...

Como AE e CF são alturas entao por propriedade FBEK É INSCRITIVEL

fica facil notar que os triangulos AFB e BCF são egipcios daí acabou !!

pelo enunciado

208CF=2*80
CF=8

pela primeira...

Seja E tal que AECD seja um retângulo.

E é o simétrico de D em relação ao centro da circunferência desenhada

\mathsf{ Pot B:BE⋅BC=3⋅4=12=PB⋅BD=2⋅BD\\
\therefore BD=6\\
T.Pit~ \triangle BCD:...

Área do paralelogramo = S = {AD.h}
\mathsf{S_{AOD}+S_{BOC}=\frac{S}{2}\\
(\frac{AD.h1}{2} + \frac{BC.h2}{2} \implies AD = BC \therefore \frac{AD(h1+h2)}{2} = \frac{AD.h}{2}=\frac{S}{2})\\...

\mathsf{BPFM ~e~FNQD~são~paralelogramos\\
ML = LP, QT=TN\\
\therefore S_{RBM}=S_{RBP}\\
S_{RNF}=S_{RNF}\\
20+A+C+2B =S+A+C+2B\\
\therefore \boxed{\color{red}S = 20}}
(Solução:encontrada por...

CE=CD = 5\\
△AOE∼△DCE \implies DE=2AE.\\
T. Pit △ADE: AE^2+(2AE)^2=5^2⟹AE=\sqrt5\\
\frac{AH}{AE}=\frac{AE}{AD}⟹AH=1\\
S△AEB=\frac{1}{2}⋅AH⋅AB=\frac{5}{2}\\...

\mathsf{

\angle{NOB}=\angle{NMB}=\alpha\\\angle{MNP}=\angle{MNO}=\angle{MBO}=\beta\\\angle{AON=\angle{}ALN=\gamma}\\\angle{OAP=\angle{OAL=\angle{ONL}=\theta }}\\
AO = PO...

\mathsf{
Trace ~BD\\
∠QCB=∠DBC=45^∘ \therefore QC \parallel\ BD \implies BQCD~ é~trapézio\\
S_{BQE}=S_{ECD}(propriedade)\\
Analogamente ~BPAD=PAD ~é ~trapézio \implies S_{PFB}=S_{FAD}\\
\therefore...

E é ´baricentro triÂngulo ABD
\mathsf{
S_{AMD}=\frac{S_{ABD}}{2}=\frac{\frac{60}{2}}{2}=15\\
S_{EDN}=S_{EAN}=S_{EMA} = \frac{15}{3}=5\\
S_{BFN} =\frac{60}{20}(propriedade)=3 \implies S_{EFN} = 5-3 =...

Fazendo a construção correta do que está sendo pedido no enunciado, teremos a seguite figura:

Nela, os segmentos \mathsf{x,y,z,w} compõem as diagonais do trapezoide, que fazem ângulos \alpha,...

\angle BEG = 90^{\circ} \implies \triangle BEA \sim \triangle EGD :

\frac{DG}{AE} = \frac{DE}{AB} \iff DG = 6 \cdot \frac{4}{8} = 3 .

Pronto: \frac{(3+8) \cdot 10}{2} = 55