\mathsf{\frac{S} {3S}=\frac{x^2}{12^2}\implies\\
x=\sqrt{\frac{144}{3}}\therefore \boxed{\color{red}x = 4\sqrt3}}

Por~ propriedade\\
\mathsf{ \frac{S_{APR}}{8}= \frac{3b.2c}{bc}=48\\
\frac{S_{BPQ}}{8}= \frac{c.3a}{ac}=24\\
\frac{S_{BCQ}}{8}= \frac{4b.2a}{ab}=64\\
\therefore S_{PQR} = 8+48+24+64 =...

Seja S a área do \triangle ABC :

Propriedade entre área de triângulos ( se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas bases ):
\frac{ }{...

Solução :

Teorema de Menelaus no ∆BMC (Secante NA ):
\frac{AM}{AC}\cdot\frac{CN}{NB}\cdot\frac{BP}{PM}=1\\
\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{BP}{PM}=1\\
\boxed{\frac{BP}{PM}=4}

De =100 \ m^2 e M...

\mathsf{\frac{S_{AGN}}{S_{GNM}}=\frac{AG}{GM}\\
mas~AG = 2GM(G=baricentro)\\
S_{AGN}=\frac{S_{ABC}}{6} = \frac{12}{6}=2\\
\therefore \frac{2}{S_{GNM}}=2 \implies \boxed{\color{red}S_{GNM}=1m^2}

}

\mathsf{A_1+A_2 = A_3 = \frac{24}{2}=12(I)\\
\frac{A_1}{12+A_2}=\frac{6}{10}(propriedade)\implies 5A_1-3A_2=36(II)\\
DE(I)e(II): A_1=3A_2\therefore \boxed{\color{red}A_2=3m^2}
}

\mathsf{\triangle ABC\sim DBE \\
\text {Se a 3 regiões sombreadas tem a mesma área, ambos os triângulos tem áreas na razão} \frac{2}{3}\\
\therefore seus ~lados~ estão na ~razão: \sqrt\frac{2}{3}...

Se dois triângulos têm ângulos iguais ou suplementares, a proporção de suas áreas será igual à proporção dos produtos dos lados que compõem esses ângulos.

\mathsf{S_{ABC} =...

\mathsf{\angle DOB+\angle AOC = 180^o\implies
\frac{S_{AOC}}{S_{DOC}}=\frac{R.R}{R.R}=\frac{24}{S_{DOC}}\\
\therefore \boxed{\color{red}S_{DOC} = 24m^2}}

\mathsf{
S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(7)(8)(6)} = 84\\
\therefore S_{ABM} = \frac{84}{2} = 42 (AM=mediana)\\
\frac{13}{AE} = \frac{7}{ME}\\ \frac{AM}{ME}=\frac{6}{7}\\
\therefore...

Por propriedade
\mathsf{
\frac{S_{ABC}}{S_{MCN}}=\frac{BC.AC}{CM.CN}\implies \frac{60}{S_{MCN}}=\frac{\frac{5MC}{2}.\frac{8NC}{5}}{CM.CN}=\frac{8}{3} \therefore S_{MCN} = 15\\...

\mathsf{

Do ~ladder ~theorem:\\
\frac{1}{X+Y+Z+S}+{1}{X}=\frac{1}{Y+X}+\frac{1}{X+Z}\\
\frac{1}{12+4+6+S}+\frac{1}{12}=\frac{1}{16}+\frac{1}{18}\\
\frac{1}{22+S}+\frac{1}{12}=\frac{34}{288}...

Por propriedade:
\mathsf{
\sqrt{S_{\triangle_{{ABC}}}} = \sqrt{S_{\triangle_{BMN}}}+\sqrt{S_{\triangle_{PNC}}}\implies \\
S_{\triangle_{ABC}} = (\sqrt16+\sqrt9 )^2 \therefore...

\mathsf{S_{BDM} = \frac{S_{ABC}}{6}\\
D(baricentro)\implies DN = \frac{a}{3}, BD = \frac{2b}{3}\\
S_{BDM} = \frac{a.2b}{3.3}.\frac{1}{2} =\frac{ab}{9}\\
\therefore \boxed{\color{red}S_{ABC}...

\mathsf{
MN \parallel AC \implies \triangle POR \sim \triangle ABC\\
PQ \parallel AB \implies \triangle OQN \sim \triangle ABC\\
TR \parallel BC \implies \triangle TOM \sim \triangle ABC\\...

Interessante! Será que teria como resolver sem usar esse teorema de Menelaus?

Traçando as outras 2 medianas (BN é também altura) e sabendo que AO = 2AM/3.
Temos o triângulo retângulo notável de lados 5,4,3 com área 6u².
Como O é baricentro, divide o triângulo ABC em 6...

\mathsf {\frac{100}{S_{BMN}}=\frac{AB.BC}{BM.BN}\\
sen30^o = \frac{BM}{BC} \implies BC = 2BM\\
sen30^o=\frac{BN}{AB}\implies AB = 2BN\\
Substituindo: \frac{100}S_{BMN} = \frac{2BN.2BM}{BM.BN}\\...

\mathsf{S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt3}{4}
\\a_1=lado \triangle_{A_1B_1C_1}\\
cos30 = \frac{a_1}{AC_1}\implies AC_1 = \frac{2a_1\sqrt3}{3}\\
tg30 = \frac{AA_1}{a_1}\implies AA_1=\frac{a_1\sqrt3}{3}\\...

Note que \triangle OKT é isósceles, logo OK = KT = \frac R{\sqrt2} , logo a área pedida é \frac12 \cdot \frac{R^2}2 = \frac{R^2}4

\mathsf{
AH=p-a=6\\
HC=p-c=8 \implies\\
AC = b = 14\\
r=4\\
S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)p(-b)(p-c)}=pr\implies p^2r^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)\\
16p = 6.(p-14)8\rightarrow 2p=6p-84\implies p =21\\
\therefore...

Sendo z o raio da circunferência maior e r o raio da circunferência menor
\mathsf{
OO'=z−r\\
O'R=r\\
OR^2=(z−r)^2−r^2\implies
OR=\sqrt{z^2−2zr}\\
O'A^2=(OA−O'R)^2+OR^2\implies O'A^2=2z^2−4zr+r^2\\...

A área buscada ser 2 vezes a área APM

Aplicando a lei dos cossenos em ACM temos

\mathsf{(\frac{l\sqrt2}{2})^2=l^2+(l√2)^2−2l^2\sqrt2cos\theta\\
cos \theta=\frac{5\sqrt2}{8} \\
\triangle APM:...

P1: Se dois triângulo possuem a mesma altura, então a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas bases.

P2: A mediana divide um triângulo em dois triângulos de áreas equivalentes (iguais)....

\frac{ }{ }=\frac{ }{ - }=\\
\frac{AE \cdot AC \cdot senA }{AC \cdot AB \cdot senA -AD \cdot AB \cdot senA}=\\
\frac{AE \cdot AC }{AC \cdot AB -AD \cdot AB}=\\
\frac{AE \cdot AC }{AC \cdot AB...

Seja SΔMFG a área procurada
Traçamos as duas diagonais: BD e AC

G será o baricentro do ΔBCD pois é o encontro das medianas AC com BN. N é ponto médio de DC e O é ponto médio de AC
As medianas...

\mathsf{

T.Menelaus ~\triangle _{BQC}: b.3a.QS =b.2a.SB\implies \frac{QS}{SB}=\frac{2}{3} \\
T.Menelaus ~\triangle _{BQP}: 3x.2a.PR = 2x.a.RB\implies \frac{PR}{RB}=\frac{1}{3} \\
\frac{S_{ABC}}{3} =...

área total do triangulo é T
área do quadrilátero em branco no centro do triangulo é Q
sendo h1 a altura relativa ao lado que mede 5a e h2 a altura relativa ao lado que mede 5b:...

Seja R o ponto medio de NB portanto os triángulos ADN e APR são semelhantes
\mathsf{ \therefore \frac{PA}{PD}=\frac{RA}{RN}=5\\(RA=RN+NA=RN+2BN=RN+4RN.)\\...