Para um polígono regular cujo número de lados é
um potência de 2 temos :
\mathsf{
l_{2^k}=R\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2}+\sqrt2+\sqrt2+...}}_{=k-1~radicais}\\
\therefore 32 = 2^5 \implies...

Por propriedade:
\mathsf{6\theta = 120-2\theta\implies \theta=15^o\\
\therefore BD=l_{12}\\(a_c=\frac{360^o}{n}\rightarrow 30^o =\frac{360}{n}\therefore n =12)\\
\triangle BCD(isósceles)\implies BD...

\mathsf{\triangle ADE: AE = \frac{R\sqrt2}{2}:AD = R \implies ED = R\\
\therefore \angle ADE = 45^o \implies \triangle~ADC(retângulo)\implies \angle ABC = 45^o\\
l_4 = R\sqrt2 = \sqrt{12}-2 =...

Olá, petras .

H=a_4+a_3 = \frac{R\sqrt2}{2}+\frac{R}{2}=\frac{R(\sqrt2+1)}{2}=(\sqrt2-1)\frac{(\sqrt2+1)}{{2}}\\
\therefore \boxed{\color{red}H =\frac{1}{2} }

* Problema com dados inconsistentes
Sendo a = lado do pentágono
PC = x
T,Ptolomeu - PCDE: \displaystyle 11 a + a \cdot x = 12 \cdot \frac{ (1 + \sqrt 5) a}{2} = (6 + 6 \sqrt 5) a\\
~x+11=6+6\sqrt5...

\mathsf{d^2 = (\frac{l_8}{2})^2+2a_8}=(\frac{R\sqrt{2-\sqrt2}}{2})^2+(R\sqrt{2+\sqrt2})^2=\\
{(2-\sqrt2)}+4(2+\sqrt2)=10+3\sqrt2\\
\boxed{\color{red} d=\sqrt{10+3\sqrt2}}

\mathsf{AM =l_6=R = 2\sqrt7\\
\triangle AMC: AC^2+AM^2 = (2R)^2\\
AC^2 +28 = 112 \therefore AC = \sqrt{84}\\
\triangle AMN: MN^2 = AM^2+(\frac{AC}{2})^2=28+21 = 49 \therefore MN = 7\\
T.Cordas(LAMC):...

Sabemos que a medida do ângulo interno do eneágono regular é igual a Ai=180∘(9−2)9=140∘∘.
Considere agora o pentágono ABCDE, como indicado na figura abaixo. A soma de seus ângulos internos é 540∘....

\mathsf{PC=4\\
BC=PC (∠BPC=∠PBC). \\
Analogamente: AE=PE=PC. \therefore PCDE(losango): PD⊥CE\\
M = PD \cap CE \\
T.Pit~ △PEM: PD=2PM=2\sqrt{PE^2−\frac{CE^2}{4}}(I)\\
d = l_5.\frac{2}{\sqrt5 -...

\mathsf{\triangle OCE: CE^2 = 2R^2 \therefore CE = R\sqrt2\\
\triangle APE(retângulo): (4\sqrt2)^2+PA^2 = (2R)^2 \implies\\ \boxed{PA = \sqrt{4R^2 -32}=2\sqrt{R^2-8} }\\
PCEA: PC.AE+CE.PA = PE.CA...

\mathsf{ T.Ptolomeu:DAGF: DF.x+AD.x = AF.DG\implies AC.x+AD.x=AC.AD\\
x(AC+AD) = AC.AD = \frac{AC.AD}{AC+AD} \therefore x = \frac{AC.AD}{AC+AD }\implies \\
\frac{1}{x} =...

\mathsf{l_{12} =R\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{6-3\sqrt3}=\sqrt{3(2-\sqrt3}=\sqrt3\sqrt{2-\sqrt3}\\
\implies R = \sqrt3\\
AE = l_3 = R\sqrt3 \therefore \boxed{\color{red}AE = \sqrt3 . \sqrt3 = 3}}
(Solução:...

\mathsf{ABCD ~é~inscritível \implies \angle BCA = 17^o \therefore \angle DOB =72^o\\\triangle DOB( elemental) \implies BD = \frac{R}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5}) \\\therefore \sqrt{10+2\sqrt5} =...

\mathsf{l_5 = x\\
d = AC = CE=AD=φ.x\\

T.Ptolomeu:\\

ABCH→HA⋅x+HC⋅x=HB⋅φx\implies HA+HC=HB⋅φ(1)\\

EDCH→HE+HC=HD⋅φ(2)\\

HBCD→HB+HD=HC⋅φ(3)\\

AHED→HA+HE⋅φ=HD\implies HD−HA=HE⋅φ(4)\\...

Em um pentágono regular ABCDE,
l_5= d\frac{\sqrt5-1}{2} , l_5=1 \implies d = \frac{1+\sqrt5}{2}\\
△ABD: AD=BD=\frac{1+\sqrt5}{2} : ∠ADB=36^o\\

Agora na figura:
\mathsf{Prolongar~ AD ~e~...

Seja O o centro do semicírculo e sejam X e Y os pontos de contato do semicírculo com AB e BC respectivamente.

O enunciado nos diz que o \triangle ABC é B- isósceles, logo \angle BAC = \angle BCA =...

\mathsf{l_5 =l = \frac{R}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5})\\
\triangle AEN: l^2 = 2R.AM\\
\triangle ADN: d^2=2R.AF\\
{\frac{1}{AF}+\frac{1}{AM}}=2R(\frac{1}{d^2}+\frac{1}{l^2})\implies \frac{1}{2R} =...

\mathsf{AB = \frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt5} = l_5\\\therefore \angle OBA = 54^o\\
\frac{R}{2}\sqrt{6-2\sqrt5} = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{6+4}{2}}-\sqrt{\frac{6-4}{2}}=\\
\frac{R}{2}( \sqrt5-1)\implies...

Seja C o vértice em comum aos dois hexágonos, I o vértice no hexágono menor contido na reta MP, X encontro dos circuncírculos dos hexágonos (esse encontro existe pois C é um dos encontros, só há um...

\mathsf{\triangle BID: PI = l_{10} \implies \angle BID = 36^o\\
\triangle AFN(elemental): \boxed{\color{red}AN = \frac{3}{2}\sqrt{10+2\sqrt5}}}
(Solução:Encontrada por geobson)

\mathsf{HE = 2a+a\sqrt2=3+3\sqrt2\implies 2a-3=3\sqrt2-a\sqrt2 (elevando~ ao ~quadrado)\\
\therefore a\sqrt2=3}\\
\triangle PLE: Triângulo~elemental:
x = a\sqrt2 \therefore \boxed{\color{red}x = 3}...

\mathsf{l_6=R\\R=2\sqrt3k\implies k = R\frac{\sqrt3}{6}\\x=12k=12.R\frac{\sqrt3}{6} \\
\therefore \boxed{\color{red}x =2\sqrt3R }}
(Solução:encontrada por geobson)

\mathsf{\triangle ECD:elemental:\implies \frac{a}{2}(\sqrt5+1) = 4\therefore a = 2(\sqrt5-1)\\
\triangle AQB: elemental: \frac{x}{2} = \sqrt5+1 = a\therefore x = (\frac{\sqrt5-1}{2})a \\
\therefore...

\mathsf{\triangle PBQ(elemental)\implies PQ = BP\sqrt{2-\sqrt2}\\
BP = l_8\sqrt2=R(\sqrt{2-\sqrt2})\sqrt2=(\sqrt2+1).(\sqrt{2-\sqrt2}).\sqrt2\\
PQ =...

\mathsf{\triangle PON:elemental \implies 2x = 2-x(\sqrt{2-\sqrt2})\\
\therefore \boxed{\color{red}x= \frac{2\sqrt{2-\sqrt2}}{2+\sqrt{2-\sqrt2}}} }
(Solução:encontrada por geobson)

\mathsf{DN=AN = l_4=R\sqrt2\\T.Incentro \triangle ANC:\\
\frac{IN}{IO}=\frac{DN+AN}{AD}\implies\\
\frac{R-x}{x}=\frac{R\sqrt2+R\sqrt2}{2R}\rightarrow R-x = \sqrt2x\\
x(\sqrt2+1) = R \rightarrow...

A,O e O1 são collineares
Como A,O e T são collineares, A,O,T e O 1 devem ser collineares.
\mathsf{< O_1AL=60^∘\\
O_ 1A=O_1L=R \implies △O_1AL (equilátero).\\...

\mathsf{k = \frac{R}{2}(10-\sqrt{2-\sqrt5})\\
NIELS:l_5 = \frac{R}{2}(10-\sqrt{2-\sqrt5}\\
\triangle EPD(equilátero)\\
\overset{\LARGE{\frown}}{BC} = \frac{360}{5} = 72^o \implies \angle CDB =...

\mathsf{ABCU ~é~ cíclico\therefore \angle AUC =72^o\implies \angle AIC = 144^o\\

\triangle COA(elemental) AC = \frac{R}{2}(\sqrt{10+2\sqrt5})(I)\\
\triangle CUA(elemental):AC =...