\mathsf{T.Euler: AB^2+BC^2+CD^2+AD^2 = 4MN^2+AC^2+BD^2\implies\\
AB^2+BC^2+CD^2+AD^2 = 4MN+164(I)\\
\triangle BAC: AC^2 = AB^2+BC^2 \implies AB^2+BC^2 =100\\
\triangle DAC: AC^2 = AD^2+CD^2\implies...

OS dados não permitem a resolução desse problema. Não há como traçar a perpendicular de P a C com BP = 4.

\mathsf{ MD=x. M ~é~ incentro ~do~ △ABC\\

T.Incentro: \frac{BM}{MD}=\frac{a+c}{b}⟹\frac{6}{x}=\frac{a+c}{b}(I)\\
CD=\frac{ab}{a+c}\\
△ADE∼△BDC ~e~ AE=ME^*\\
\frac{AE}{DE}=\frac{BC}{CD}\implies...

Como \angle AMQ = 90^{\circ} , então AQ é diâmetro (teorema de Tales), logo A, O e Q são alinhados.
Analogamente, B, O 1 e Q e também são colineares.
Raios dos círculos são iguais, uma vez que um...

Considere o triângulo ABC com os lados a, b(maior lado) e c opostos aos vértices A, B e C respectivamente.
Deixe as alturas de cada vértice para o lado oposto serem ha, hb e hc.
Se a área do...

prova da propriedade na terceira resposta:

\mathsf{T.Poncelet: 2r + ED = AE+AD\implies r = \frac{DE + AE - AD}{2}(I)\\
\triangle DEA \sim \triangle ABM ~são~ notáveis(k, 2k,k\sqrt5)
\\therefore: AE = \frac{ED}2, AD = DE\sqrt5\\
Em(I):2 = DE(1...

\mathsf{a+b=12, ab=24 ~e~ a^2+b^2=96\\
Lei ~dos~ cossenos:
c^2=\underbrace{a^2+b^2}_{=96}-2\underbrace{ab}_{=24}cos 120^o \rightarrow c^2 = \sqrt{120}\therefore c = 2\sqrt30\\...

P \mathsf{r=\frac{l}{2}=\frac{2}{2}=1(Por ~propriedade)\\
AT-2, OT=1, AO\sqrt2\\
\angle TAO = \theta\\
Lei~dos ~cossenos~ \triangle ATO:\\
1=2+4-2*2\sqrt{2}cos\theta \implies cos \theta...

\mathsf{p = \frac{5+6+7}{2} = 9\\
F.Heron: BH = \frac{2}{AC}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{2}{6}\sqrt{216}\implies BH = 2\sqrt6\\
\triangle BHC: CH^2 = 7^2 - (2\sqrt6)^2 \implies CH = 5\\...

Por teorema:
\mathsf{\triangle ABC: BC^2=AB^2+AC^2 - 2AC.AM \implies BC^2 = AB^2+25-10AM(I)\\
\triangle ADC: AD^2 = CD^2 +AC^2 -AC.CN \implies AD^2 = CD^2 +25-10CN(II)\\
(I)+(II)...

O raio máximo do círculo vermelho acontecerá quando a circunferência vermelha estiver exatamente no meio de B e F.

Como BF é uma corda tanto da circunferência azul quanto da circunferência verde,...

BAsta aplicar o Teorema da Mediana
\mathsf{ BE=EF=FC = \frac{9}{3}\\\triangle AFB: 7^2+AF^2 = 2AE^2+\frac{6^2}{2}\implies 31 + AF^2 = 2AE^2\\
\triangle AEC: AE^2+8^2 = 2AF^2+\frac{6^2}{2} \implies...

\mathsf{
\triangle HAM ~é~ retângulo, \implies cos(γ)=\frac{8}{73}\\
Lei~ dos~ cossenos \triangle AHC: CH^2=256+1168−2∗16∗\frac{8}{73}=1424 - 1024 = 400\\
∴\boxed{\color{red}CH=20}

}
(Solução:...

\mathsf{BD = x\\
Traçar~ AD\perp BC(D \in BC)\\
T.Pit: \triangle ABD ~e ~\triangle ADC:\\
AD^2 = 7^2 - x^2~e ~AD^2 = 9^2−(8−x)^2
\therefore 7^2 - x^2~ = 9^2−(8−x)^2 ⟹x=2\\

\therefore AD=\sqrt35\\....

Seja r o raio da circunferência de centro O3 ,
pitágoras em △OO2O3 :
(r+2\sqrt{3})^2=(2\sqrt{3})^2+(4\sqrt3-r)^2→r=\frac{4\sqrt3}{3}

Seja θ o ângulo ∠OO3O2=∠OO3O1, por trigonometria temos...

\mathsf{\overline{AB}=p,\overline{BC}=q,\overline{AC}=x,\overline{AD}=y ~e ~\overline{CD}=z\\
ΔABC ~e~ ΔACD (t.retângulos):\\
x^2=p^2+q^2\\
y^2=x^2+z^2 \\
\therefore y^2=x^2+z^2\\
y^2=p^2+q^2+z^2\\...

\mathsf{AF.CF = 49\\
AD.CD=43\\
T,Bissetriz~ Interna
\triangle ABC:\\
BD^2=AB.BC-AD.CD\implies \boxed{BD^2 = AB.BC - 43}(I)\\
T.Bissetriz~externa\triangle ABF:\\
BF^2 = AC.CF-BC.AB \implies...

Distribuindo os ângulos:
\mathsf{\triangle BEF \sim \triangle BAM\implies \frac{9}{13}=\frac{EF}{AM}\implies EF=\frac{9AM}{13}\\
\triangle BMC \sim \triangle BFD \implies \frac{9}{13} =...

P. Q e T são pontos de tangência.
Como os arcos BM e CM são iguais os ãngulos ∠BAM e ∠CAM (ângulos com vértice sobre a circunferência olhando para arcos equivalentes).
Isso significa que AM contém a...

\mathsf{T.Stweart :\triangle ABC ~e~\triangle DBC
\\AB^2⋅CP+AC^2⋅3CP=4CP⋅(AP^2+3CP^2)\\
Como ~ AB=BC ~e~ BC=4CP,\\
BC^2+3AC^2=4(AP^2+\frac{3BC^2}{16})\\
BC^2+12AC^2=16AP^2(I)\\
Analogamente,\\...

\triangle FOB: (R+r)^2 = R^2+(2R-2r)^2\\R^2+2Rr+r^2=R^2+4R^2-4Rr+4r^2\\6Rr-3r^2 = 4Rr\\6R-3r=4R \implies \boxed{r = \frac{2R}{3}}\\

T.Descartes: \\...

petras ,
Seja AB=x, MI=y, BI=z, AI=k
Além disso, seja H a projeção de I em AB tal que IH=h
Temos, assim, que
x-y=2\\
x^2+y^2+z^2=10\\
\(\frac{x}{2}-y\)^2+h^2=z^2\\
\(\frac{x}{2}+y\)^2+h^2=k^2...

ele quer OG
onde O = circuncentro
G = baricentro
mas do livro do Rufino, vol 2, temos que
OG² = R² -
substituindo
10 - 1
OG = 3

segue a demonstração sugerida no próprio livro

: Ligar os pontos AEF e FB, temos um triângulo retângulo
2º Observar que o quadrilátero EFHB é inscritível, então aplicamos o teorema da secante, AF . AE = 12 . 16
3º Ligar o ponto A ao ponto N...

\mathsf{CE \perp OD ~e~CH \perp AB.\\
OH=CE=\sqrt{OC^2−OE^2}\\
OC=R−r,\\
OE=\frac{R}{2} (OC=CD=R−r).\\
OH = \sqrt{R^2-2Rr+r^2-\frac{R^2}{4}}\implies OH =...

Aplicando T.Euclides ns triângulos OO 1 O 3 e OO 2 O 4 :
\mathsf{(R-r)^2=(r_1+r)^2+r_2^2-2(r_1-r)r_2
\\R^2-2Rr+\cancel{r^2} = r_1^2+2r_1r+\cancel{r^2}+r_2^2-2r_1r_2+2rr_2\\
\boxed{R^2-2Rr =...

Trace uma perpendicular de A ao prolongamento de CP encontrando X,

∠AIC = ∠APC=127^∘⟹∠APX=53^∘. \therefore \triangle APX \rightarrow notável(3:4:5)\implies AX=8,PX=6\\...