\mathsf{
AO(x)+OB(y) = \frac{70}{2}=35\\
(x+y)^2 = 35^2\implies x^2+y^2+2xy = 1225\\
Por~ métrica: x^2+y^2 = AB(a)^2\\
a.h = x.y\implies 12a = xy\\
Equacionando: a^2+24a-1225 = 0\\
\therefore...

Teorema-Jalom: Em todo trapézio retângulo circunscritível,
a altura é média harmônica entre as bases.

\mathsf{
h = 2r = \frac{2xy}{x+y} = \frac{2.2.3}{2+3} =\frac{12}{5}\\
\therefore...

\mathsf{
\triangle DFA: (R-5)^2 = (R-9).R \implies \cancel{R^2}-10R+25 = \cancel{R^2}-9R\\
\therefore \boxed{\color{red}R=25}

}

Trapézio é isósceles: diagonais mesmo tamanho e é inscritível
AD = y e lados = x
\mathsf{\overline{AC}=\overline{BD}=20\\ T.Pitag:20^2+x^2=y^2\Rightarrow x^2=y^2-400(I) \\...

Por propriedade:
\mathsf{AB = 2\sqrt{r_1.r_2}\\
BC = 2\sqrt{r_2.r_3}\\
AB = 2BC \implies AB = 2\sqrt{r_1.r_2}=4\sqrt{r_2.r_3}\rightarrow\frac{\sqrt{r_2.r_3}}{\sqrt{r_1.r_2}}=\frac{1}{2}\\
\therefore...

\mathsf{Marcar ~R ~ponto ~médio ~de~ AC \implies R ~é ~~ circuncentro △ABC.\\
\therefore AR=RC=BR.\\
S ~é~ ponto ~médio~ de~ BC \implies R,S ~e ~O~ são~ colineares\\
\angle BOR=\angle APB ~e~ \angle...

Teorema de Pitágoras no ∆ABN :
\boxed{4^2+BN^2=AB^2}......(I)

Teorema de Pitágoras no ∆ACN :
\boxed{4^2+NC^2=AC^2}........(II)\\

Fazendo (I)+(II) :
32+BN^2+NC^2=AB^2+AC^2\\...

Há um problema no enunciado pois o ponto N ficou livre sem amarração e portanto será considerado que NC é perpendicular a NB.

\mathsf{∠BNC=90^∘ \rightarrow PN=BP=\frac{B}{2}\\
\text{Prolongar AB e...

d = distancia entre os pontos de tangência T1 e T2;
R = raio da circunferencia tangente às outras duas
x = a distância entre os pontos de tangência T3 e T2.

\mathsf{\triangle AEB(retângulo)...

Na verdade CB=CA

- BHM são colineares, já que HM é perpendicular à AC.
- AHF são colineares, já que - -

petras , de onde sai a fração \frac{AC}{AB} na sua semelhança?

Problema inconsistente pois não foi especificado quem é F e nem a corda AM pode interceptar a corda AC

AD =x.

\triangle ABC \sim \triangle ADH \implies \overline{AB}=\frac{18}{8}x

Dessa forma, achamos a medida do segmento BD....

Trace as bissetrizes por A e C e deixe elas se encontrarem em I.
Seja E o centro do círculo mais à esquerda e D o centro do circulo mais à direita.
Seja R o raio da inscrita de ABC e r o raio das...

\mathsf{a+b+c = 2\sqrt{10} + 5\\
b= 10m\\h^2 = m.n = 9m^2 \therefore h = 3m\\c^2 = m(m+n) =m(10m) = 10 m^2 \therefore c =m\sqrt{10}\\a^2 = n(m+n) = 9m(10m) = 90m^2 \therefore a = 3\sqrt{10} m
\\...

ACFD e ABFE são cíclcios
\mathsf{CF⋅CB=AC⋅CE=108\\
BF⋅CB=BD⋅BA=88\\
BC^2=BF⋅CB+CF⋅CB=88+108=196\\
\therefore \boxed{\color{red} BC=14}}
(Solução:Aqua)

\mathsf{BDEC ~é~cíclico \implies...

Teorema de Sarrus:
\mathsf{
90+3\theta = 3\theta+\theta+2\theta \implies \theta =30^o\\
\therefore \boxed{\color{red}90 -\theta = 60^o}

}

H é ponto médio de H' , pois o centro G do círculo está sobre GH que é perpendicular a H',
logo GH deve ser necessariamente a mediatriz de H', pois ambas passam por G e são paralelas.
Seja R o raio...

O ortocentro e o circuncentro são conjugados isogonais por isso Mas QO é mediana relativa à hipotenusa do triângulo PQS, ou seja
\mathsf{OQ=OS, \implies \angle SQO = \angle OSQ.\\...

Primeiramente, note que \angle OAC = 90^{\circ} - \angle ABC , pois \triangle AOC é O- isósceles e \angle AOC = 2 \angle ABC := 2 \angle B , pois \angle ABC é inscrito no círculo (ABC) e enxerga o...

r o raio da menor circunferência, 2r o raio da intermediária e
3r o raio da maior.
O o centro das circunferências
P é o ponto de tangencia do segmento AB com a circunferência intermediária
Portanto...

\mathsf{\angle OBC = 75^o, e \angle OCB = 15^o \implies \triangle OBC (retângulo)\\
\triangle OFC(isósceles) \implies \angle OFC = 150^o \therefore EFO = 30^o \\
\triangle EFO: sen30 =...

\mathsf{Seja~FJ = x (J=AB\cap FE) \\
\triangle AFJ:R^2= (\frac{R}{2}+x)^2+x^2\implies 8x^2+4Rx-3R^2=0\\
x=\frac{\sqrt7-1}{4} \therefore \boxed{\color{red}2x=\frac{\sqrt7-1}{2}}}

(Outra solução: -

O é o centro da circunferência
\mathsf{\triangle ADF: BD^2 = AB.BF \implies 4^2 = 8.BF\\
\therefore BF = 2\\
\triangle OBF:OE^2 =BE^2+BO^2 \implies10^2 =(2+EF)^2+6^2 \rightarrow \\
64 = (2+EF)^2...

Vou considerar que N e M são pontos de tangência e que a circunferência que passa por N e M é tangente em T o arco AB e denotando O1 o centro da circunferência de raio r e R o raio do quadrante.

Por...

Traçar BE e BP
\mathsf{\triangle ABP: AP^2 = AD.12(I)\\
\triangle APD \sim \triangle CEB \implies \frac{AP}{16} = \frac{AD}{6}\therefore AD = \frac{3AP}{8}(II)\\
(I)e(II): AP^2 = 12 . \frac{3AP}{8}...

Temos que o triângulo APD é equilátero, logo \angle PAD = 60^o . Logo,

(180^{\circ}-2\alpha) +(180^{\circ}-2\beta)=60^{\circ}\,\,\Rightarrow\,\,\alpha+\beta=150^{\circ}\,\,\therefore\,\,\boxed{\cos...

\mathsf{BC=CE=x\\
AH \perp CE. \therefore ABCH (retângulo)\implies\\ EH=CE−AB=x−2\\
AH=BC=x\\
△AHE: (x−2)^2+x^2=100 \implies x=8\\
∴\boxed{\color{red}BE=x\sqrt2=8\sqrt2}}
Solução:MathLover)

(Outra...

\mathsf{\triangle PCL(retângulo-isósceles) \implies \boxed{PC=LP=\frac{b\sqrt2}{2}}(I)\\
\triangle ADP: AL (bissetriz)\implies \frac{LP}{AP}=\frac{DL}{AD}\\
\therefore \boxed{AD...

\mathsf{∠EBF=180^o−2(∠DCF+∠CDE)\\

\text{Utilizando qualquer ponto X da circunferência menor acima da linha EF}: ∠EXF=∠DCF+∠CDE ~de~ onde\\

∠EAF=2(∠DCF+∠CDE)\\

como ∠EBF=180^o−∠EAF \implies \text{o...