AD = DE = CE\\
CM = BM\\T. Menelao: \triangle CAM-DB:\\
\underbrace{CD}_{2AD} \cdot AT \cdot BM = AD \cdot MT.\cdot \underbrace{CB}_{2BM}\implies \boxed{AT = MT}\\
\therefore AT = MT = \frac{10}{2}=...

\frac{CD}{BC} = \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB} =3\\
\therefore \triangle ABC \sim ACD (L.L.L.)\implies \angle DAC = \angle BAC\implies \angle BAD = 2 \angle BAC\\
\therefore \boxed{\color{red}\angle BAC...

\triangle BPQ \sim \triangle BAC \implies \frac{BP}{BA} =\frac{BQ}{BC} =\frac{PQ}{b}=\frac{k}{2p_{BAC}}(I)\\
∠PIA=∠IAC=\frac{A}{2}=∠IAC\therefore △API (isósceles) \implies PA=PI\\
De ~maneira...

O = AH \cap MF

Potência de O em relação ao círculo: OA \cdot OB = OF^2\\
\Delta BNO \approx \Delta OHF \approx \Delta OMA

OA = OB \frac{AM}{BN} = 4 OB \implies OF^2 = 4OB^2 \iff OF = 2OB...

Teorema de Johnson: No triângulo ABC, onde a mediatriz do lado AC
intercepta o lado BC no ponto P e o prolongamento do lado AB no ponto Q e sendo O o circuncentro do triângulo
e R seu circunraio,...

Traçando a perpendicular OF, F em AC teremos por propriedade:
\angle AOC = 120^o\\
\triangle AOC -é ~isósceles
(FO~é~mediatriz)\\
\triangle OFC ~é~ notável (30:60 \implies a:a\sqrt3:2a) \therefore...

T.Bissetriz:\triangle ABC-PC:\\

\frac{BP}{PA}=\frac{BC}{AC}⟹\frac{3}{2}=\frac{4+QC}{AC}\\

T.Bissetriz:\triangle ABC-AQ:\\

\frac{BQ}{QC}=\frac{AB}{AC}⟹\frac{4}{QC}=\frac{5}{AC}\implies AC =...

X é o centro da circunferência de raio x
O b o centro da circunferência de raio b
O a o centro da de raio a
A,X e O b são alinhados, pois tanto X quanto O b pertencem à bissetriz das retas AB e AD...

Problema repetido no mesmo capítulo

Olá!

Uma solução:

Seja ES = x, pelo enunciado, podemos escrever:

(i) \frac{ES}{BC} = \frac{RS}{AC} \rightarrow \frac{x}{6} = \frac{RS}{7}

(ii) Usando Tales, pois PR//QS//BC:

\frac{PQ}{RS} =...

∠DEC=∠DAC=45^∘\\
EN~ é ~bissetriz ∠AEC \implies\frac{AE}{CE} = \frac{AN}{CN}\\
△AEC∼△AOM\\
\therefore: \frac{AN}{NC}=\frac{AE}{EC}=\frac{AO}{OM}=2 \implies\\
AN=2NC⟹NC=8 \therefore...

CL = KA = h_1: BF = h_2\\

2h_1+h_2=30(1)\\

A = S_{ △ABC},

a=c=\frac{2A}{h_1},b=\frac{2A}{h_2}\\

S=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{Area △OAC}\\

S=12...

\triangle APJ \sim \triangle CPB \implies \frac{\underbrace{AJ}_{=2BC}}{BC} = \frac{AP}{CP} \therefore CP:AP = 1:2\\
AP = 2CP\\\triangle APE \sim ACK\\
\frac{PE}{AP} = \frac{CK}{AC}\implies:\\...

\triangle DEM \sim \triangle CMB \implies \frac{CM}{DM}=\frac{BC}{DE} \\
\therefore \frac{4}{12} = \frac{BC}{DE}\implies BC = \frac{DE}{3}(I)\\
\triangle BCD \sim \triangle DBC \implies \frac{CD}{DE}...

AQ = AD (tangentes)\\\therefore AQ = AD = a\\De~modo~análogo; AP = AQ = a\\\\EQ⊥AQ,ED=EQ,AD=AQ.\\
\therefore △DAE∼△QAE ~e~ ∠DAE=∠QAE=α.\\

∠PAI=2α−45^∘\\

PQ=2PI=2APsin(2α−45^∘) Aplicando ~sen(a-b)...

T. Menelao:
\frac{AC}{CD}⋅\frac{DN}{NB}\frac{⋅BE}{EA} \implies EA=3BE\\
EM+MA=3BM−3EM.
\\Como ~BM=MA, BM=2EM \implies E ~é~ponto~médio ~de~ BM.\\
Como~ CE ~é~bissetriz, BC= CM =–\sqrt3 ~e~ CE \perp...

\mathsf{\triangle ABC \sim \triangle MBA\implies \frac{AB}{4}=\frac{9}{AB}\therefore AB = 6\\
\frac{AC}{5}=\frac{AB}{4} \implies AC =\frac{15}{2}\\
T.Bissetriz - \triangle ABC:\frac{AP}{PC} =...

Por propriedade:
Portanto R=r1+r2+r3 =3+2+1 = \boxed{\color{red}R=6}

S é ponto médio AH, x = CD = BD e BH = t.

△AEC∼△ABH⟹\frac{16}{2r}=\frac{x+3}{t}\\
△BCD∼△BHS⟹\frac{5}{t}=\frac{x}{r}\\
Equacionando: \frac{t}{r}=\frac{5}{x}=\frac{x+3}{8}⟹x^2+3x−40=0 \implies x=5\\...

O ponto P é o ponto de Fermat (

I ~e~ I_1 ~são ~incentros △APB ~e ~ △BPC\\

Como ~ MI \parallel BP, I ~é ~incentro \implies \frac{BM}{MX}=\frac{PI}{IX}=\frac{BP}{BX}\\

similarmente...

Os ângulos DCF e DAF são congruentes, pois os dois subtem o arco FD.
Os Ângulos BDC e AFB são congruentes pois o arco AB e BC são iguais.
Os Ângulos AFB e MFC são complementares: MFC= 90-AFB .
Os...

Problema repeiido no capítulo

trace ~ BP \parallel AD ~com~ P \in DC\\
seja~X = BP \cap MN\\ \Delta BXN \approx \Delta BPC\\
\frac{MN-a}{b-a} = \frac{BN}{BC}\\
\Delta ABN \approx \Delta MNC\\
\frac{NC}{BN} = \frac{MN}{a} \iff...

∠PHQ=90^∘,\text{HE é sua bissetriz e o incentro (I) de △PHQ deve estar no segmento HE}\\
PM=MH=r_1, QN=NH=r_2 \implies PH=r_1\sqrt2, ~QH=r_2\sqrt2.\\
△AHB∼△BHC(t.retângulos), \text{seus inraios devem...

Por geometria plana, aqui aplicamos a famosa ideia de encaixar um triângulo no outro.
Perceba o seguinte: se encaixarmos o triângulo ABP do lado do triângulo PBC, formaremos o quadrilátero PBP'C....

Perpendicular ~a~BC~por ~D: cos \alpha = \frac{\frac{BC}{2}} x \implies BC = 2x.\cos(\alpha)\\
De ~modo~similar: AC=2y.\cos\alpha\\
\frac{AC}{BC}=\frac{2y.\cos\alpha}{2x.\cos\alpha}=\frac{y}{x}\\...

∠HAC=90^∘−\angle C. \\
∠ONM=90^∘−\angle C. \\
\angle MNO = \angle CAH\\
\angle OMN=90^o - \angle A = \angle HCA\implies
△AHC∼△NOM\\ \therefore \boxed{\color{red}\frac{HP}{OL}=\frac{AC}{NM}=2}...

T. Bissetriz: \triangle ABC - BD:\\\frac{6}{9} =\frac{AB}{BC}\implies \frac{2}{3} = \frac{AB}{BC} \\\angle A = 90^o-c = \angle DQC\\\therefore \angle PQH = 90-c = \angle A \implies\\\triangle PQH...

AG e GF são quaisquer. Em particular, tome AG sobre AB e GF será paralelo a BC. É fácil ver que a extensão de BG irá interceptar a extensão de CF em A, de modo que x é metade do ângulo do quadrado:...

Prolongando NM até interceptar PA em D. D é ponto médio de PA.
No triângulo PAN, temos as cevianas ND, PO,e AR que são concorrentes em M.
Aplicando o Teorema de Ceva no △PAN, teremos:...