\triangle ABC (isósceles)\\
AM (mediana)\\
P (baricentro)\\
\therefore AP =2PM = 2\sqrt2\\
\triangle APH: cos45^o = \frac{PH}{AP}\rightarrow \frac{2\sqrt2}{2}=\frac{PH}{\sqrt2}\therefore PH = 2...

\triangle ABC: ∠ABC=120^∘ \\
H(ortocentro): ∠AHC=180^∘−∠ABC=60^∘(^*)
\therefore AOCH(cíclico\rightarrow∠AHC+∠AOC=180^∘).\\
\therefore ∠CHO=∠CAO=30^∘\\
\boxed{\color{red}∠CEO=∠CHO+∠HCE=60^o}\\
^*...

\measuredangle EIC + \measuredangle IEC +90^o-\theta +\theta = 180^o \implies\boxed{ \measuredangle EIC + \measuredangle IEC = 90^o}\\\begin{cases}\measuredangle EIC + \measuredangle IEC = 90^o \\...

traçando BO e AO, são formados os triângulos isósceles BOC, AOC e BOA.

Mas o ângulo
Portanto o segmento vermelho, que é a...

∠AHC=180^∘−∠B~e~ ∠AOC=2∠B\\mas \measuredangle AHC = \measuredangle AOC
\therefore ∠B=60^ o\\
∠AIC=180^o−(\frac{∠A}{2}+\frac{∠C}{2})=90^∘+∠\frac{B}{2}\therefore \boxed{\color{red}\measuredangle AIC =...

Prolongamos AD e BC formando triângulo isósceles AEB
Triángulo ABE: M = baricentro pois divide la mediana AC(1: 2)
POrtnto \boxed{\color{red}CD~ é~ base~ média =\frac{18}{2}=9}

Se a bisssetriz externa é paralela a base do triÂngulo correspondente então este triãngulo será isósceles.
E=excentro
I=incentro
O = ortocentro
Portanto:
\triangle ABC(isóscele):\measuredangle DAB =...

\triangle MDC \sim \triangle CNB \implies \measuredangle NBC = \measuredangle MDC ~e ~CD = CB \therefore \triangle CDB (isosceles)\\
\triangle ACN(notável - 1:2) \therefore \measuredangle CAN= 30^o...

\measuredangle EAC = \theta\\
\measuredangle BIA = 180^o -(\alpha+\theta)\implies \measuredangle AIE \\
\therefore \triangle AIE (isóscels) AE = EI \implies EI = 4\\
\therefore \boxed{\color{red}BI =...

Traçar ~BD \perp AC(D~em~AC) \\
\text{BD passa por O =ortocentro}
\\\measuredangle AFC(a.inscrito) = 180^o -108^o =72^o\implies \measuredangle AOC = 2\measuredangle AFC = 144^o\\
\triangle...

Prolongue os lados CB e CD e trace a paralela por A encontrando CB e AD em F e G respectivamente,
encontrando os triângulos FBA e ADG.
Completando os ângulos encontramos

BA ~e~ DA são bisstrizes...

\overset{\LARGE{\frown}}{AB} = 2.50^o =100^o\\\overset{\LARGE{\frown}}{BC} = 2.20^o =40^o\\\implies\measuredangle AOC = 140^0 \\
\triangle OAC(Isósceles) \implies \measuredangle OAC = 20^o\\...

\text{Construa triângulo equilátero ABE} \rightarrow AEB=2∠BCA, E~é~circumcentro ~de~ ABC.\\
\therefore , AB=FC=CE=BE=AE.\\

∠EAF=60^∘−24^∘=36^∘,\\
∠AEC=180^∘−72^∘=108^∘\\
,∠BEC=108^∘−60^∘=48^∘, \\...

Seja G o ponto médio de AB and BE a altura de ΔABC.

Como~ AG=GE=GB, BE=EM0 e\\
GE=EM ( GM\parallel BC, ~∡GMA=∡C ~e~ ∡GEA=∡A=2∡C ) \rightarrow\\
EB=EM=EG=\frac{AB}{2}\implies \triangle ABE(1:2)...

\triangle CNE\sim\triangle AME\implies \frac{CE}{AE}=\frac{EN}{ME}\\
EN=MD ~e ~ME=DN\\
\therefore \frac{CE}{AE}=\frac{MD}{DN}⟹△AEC∼△NDM\\
\therefore \boxed {\color {red}x=∠CAE=25^o}
(Solução: ACB}

Se refletirmos H em AB e AC, teremos dois novos pontos F e G.
Uma vez que BE e CD são bissetrizes* para ∠DEH e ∠HDE, vemos que D, E, F e G são colineares.
MN é a linha média no triângulo HGF em...

Traçar~ OE \perp AB (E∈ AB)\\
\overset{\LARGE{\frown}}{BC}=40^o\\\overset{\LARGE{\frown}}{AC}=80^o\\
\therefore \measuredangle AOB =120^0 ~e ~\measuredangle EOA = 60^o \implies OAE = 30^o\\...

Pela propiedade do excentro \measuredangle AEG=\frac{120}{2}=60^o \implies \measuredangle ICE = 90^0\\

∠OAE=∠30^∘+∠CAE=∠30^∘+(180^o-90^0-60^0-\frac{\angle C}{2}) =30^o+\frac{1}{2}(60^∘−∠C)\\...

Outra solução:(Ignacio Larrossa)

\measuredangle AOC = 2(\alpha +\theta)(pr propriedade) \\
\triangle AOB ,~\triangle BOC~e~ \triangle AOC~são ~isósceles\\
\measuredangle DAO = 90^o -(\alpha+\theta)=\theta\implies \measuredangle A...

M é o centro do círculo de 9 pontos que passa pelos pontos médios dos lados do triÂngulo.
Portanto MN= raio do círculo = \frac{OC}{2} ⋅(Circumraio of △ABC )
OG=2BH(anexo) \rightarrow 16 = 2BH...

Ortocentro H de △ABC é incentro do △LMN, portanto △LMN é o triângulo órtico de △ABC.(propriedade do triângulo órtico)
Prolongar NM e baixar uma perpendicular de B até P (P em MN)
△DMH≅△PBM (L-A-L)...

\text{Seja O o circumcentre de △ABC} \therefore △OBC ~é ~equilátero\\

⇒AE=BC=AO\\

△AOE ~é~ isósceles \rightarrow , ∠BOE=∠COE=30^∘ \\
BE=EC ~and~ ∠BEA=40^∘\\.
\text{Seja P o circuncentro do △ABE}...

Seja r o incentro e R o circuncentro de ABC.

Pelo Teorema de Poncelet : BA+BC = AC+2r

Como ABC é retângulo, então: R = \frac{AC}{2}

Teorema da bissetriz interna em ABD:...

2α=\angle A~e~ 2γ=θ=\angle C\rightarrow 90^∘=2(α+γ)\therefore α+γ=45^∘\\
\triangle ABH \sim \triangle BCH \therefore \angle ABH = 2γ ~e~ \angle HBC = 2\alpha

Traçar a s bissetrizes dos 3...

Points M,N,K,Q são concíclicos pois pertencem a círculo de 9 pontos.
MKQN é cíclico portanto \angle MNQ = \angle MKQ\\
\angle BAK = \angle BCL = 10^o\\

M é circuncentro do triÂngulo BKA portanto:...

ΔBCD, ∠BI_{BCD}C = 90° + \frac{∠BDC}{2}\\
Do ~mesmo ~modo: ΔABC\rightarrow ∠BI_{ABC}C = 90° + \frac{∠BAC}{2}
ABCD ~é ~cícilico: ∠BDC = ∠BAC. \\
\therefore ∠BI_{BCD}C = ∠BI_{ABC}C.\\
BI_{ABC}I_{BCD}C...

Uma demonstração do poder da geometria . De uma resolução trabalhosa anterior(e bem realizada) por trigonometria temos uma resolução limpa e sintética.
Refletindo H por AB e AC teremos J e I.

AH e...

Traçar perpendicular CH, H em AB..

\triangle ABC \sim \triangle FBC \implies BC = 15\sqrt2\implies BH = CH = 15\\
sen\theta =\frac{HC}{AC}=\frac{15}{25} = \frac{3}{5} \implies...

Por propriedade : DO = \frac{HB}{2} =\frac{6}{2} = 3\\
OB=OC = R \therefore OC=5 \implies \triangle DOC : DC = 4(T.Pit.)\\
mas ~OAC(isósceles): OD~é~altura \implies AD = 4 \\
\therefore...