MBNG\rightarrow BN+MG=BM+GN (Teorema Pitot)\\
AB = a, BC = c, AN=d,CM=e, \implies MG=\frac{e}{3},GN=\frac{d}{3} \\
\therefore...

\triangle ABC: p = AE+EC+BG\\
\triangle CJL: CE - a+a+f+CP-f=CE+CP(I)\\ \triangle AHI: AE - b+b+c+AG-c = AE+AG(II) \\triangle NBM: BG - d+d+e+BP-e=BG+BP(III)\\
mas~CE = CP, AE = AG, BG = BP\\...

∠GBF=180^∘−∠ABC ~e~BG=BF, ∠AGH=\frac{∠B}{2}\\
\therefore ∠OHG=∠AGH+∠GAH=\frac{∠A+∠B}{2}=90^o−\frac{∠C}{2}\\

△AOG\cong △AOM (L-A-L). \\
OA ~é~bissetriz ∠GOM ~e~ OG=OM, \text{todo ponto em OA é...

AM ~é~bissetriz \angle A \implies AB = BM\\
BP + AS = AB + PS\\
PQ + SR = PS + QR\\
QC + RD = QR + CD\\
Somando: \underbrace{BP+PQ+QC}_{BC}+\underbrace{AS+SR+RD}_{AD}=AB+CD+2(PS+QR)\\
\therefore AD +...

Unir FO
\measuredangle OFC =\measuredangle OCF = \theta\implies ABFO~é~inscritível\\
\\\therefore \boxed{\color{red}\measuredangle AFO = \measuredangle ABO = 90^o}

MN = 10 - 4 = 6\\
\triangle MHN (isosceles) \implies HE~é~mediana \therefore ME = \frac{6}{2} = 3\\
Como~ Raio=5 = HM \rightarrow \triangle HME(t.egípicio) \implies HE = 4\\
\therefore...

Repare que CQ \parallel BH , pois seja Q' o reflexo de H em relação ao ponto M, então BHCQ' é paralelogramo (pois suas diagonais se cruzam no ponto médio de ambas, M), logo \angle BQ'C = \angle BHC =...

Meus problemas com o enunciado

Essa questão conseguiu. Tirou meu sono, tirou minha paciência, muita coisa. Errei o desenho duas vezes o que me tomou muito tempo. Anyway, depois de um tempo eu...

Seja R = r
\mathsf{
AS =a\\
AD = a+r\\
DT = r\\
AP = a\implies PH = 2r\\
B, O1, D\rightarrow colineares\\
\triangle O_1LO_2(notável-45^o)\therefore O_1O_2=2r\sqrt2\\
\triangle O_1DO_2(notável -...

20 = \frac{\overset{\LARGE{\frown}}{MP}-\overset{\LARGE{\frown}}{ND}}{2}(ângulo~excêntrico~exterior)\\
20 = \frac{90 - \overset{\LARGE{\frown}}{ND}}{2}\implies \overset{\LARGE{\frown}}{ND}=50^0\\...

T.Poncelet: C+2r= a+b\\
C-a-b=-2r\\
mas ~MN=\frac{c-a-b+16}{2}_{(Demonstração~abaixo)} = \frac{16-2r}{2} = \frac{16-2.3}{2}\rightarrow\\
\therefore \boxed{\color{red}MN = 5}
(Solução: Jvmago e...

ABCD: \alpha+\beta = 45^o\\
Traçar~AL = x\implies \triangle BAL\cong \triangle BCN(L.A.L.)\\
\triangle BLM: \measuredangle LBM = \alpha+\beta = 45^o \implies \cong \triangle BNM(L.A.L)\\
\therefore...

ET = AB ~e ~CQ = HW \implies ET + HW =21\\PD = IJ = 10\\T.Pitot:\cancel{a}+ET+\cancel{d}+\cancel{b}+HW+\cancel{c} = \cancel{a}+FG+\cancel{b}+\cancel{d}+JI+\cancel{c} \rightarrow\\21 = FG+10 \implies...

\mathsf{∠PLM=36∘\\
PotÊncia~Ponto~ M,: MA^2=MF⋅ML=PM^2\\
⟹\frac{PM}{FM}=\frac{ML}{PM}\\
∠PML ~é ~comum \therefore \
△PLM∼△FPM (L.A.L)\\
\implies ∠FPM=∠PLM=36∘}
(Solução: MathLover)

Como o quadrilátero é circunscritível, AD+BC=AB+DC, então AB=16. AO é bissetriz, assim:
tg(\frac{37}{2})=\frac{r}{16-r} \rightarrow \frac{sen(37)}{1+cos(37)}=\frac{r}{16-r} \rightarrow...

ABCD: CB+AB+AD+DM+MC = 38\\
MC = x = CM\\
AD = AM = y\\
2(x+y) + 12 = 38\rightarrow 2(x+y) =26 \therefore \boxed{\color{red}(x+y)=CD = 13}

F ~é~baricentro(encontro~medianas) \implies FB =2FH \rightarrow 6 = 2FH \therefore FH =3\\
\triangle FHC: HC^2+3^2 = 6^2 \implies HC = 3\sqrt3\\
\therefore \boxed{\color{red}AC = 2HC = 6\sqrt3}

Traçar~IT ~e~JQ \implies ABIT, JBCQ \rightarrow inscritíveis(\measuredangle TBI\cong \measuredangle IAT)\\\therefore BJQ ~e~BIT = 90^o\\\triangle ATQ: QJ~e~IT~são~alturas\implies...

Vale notar que a solução por área é menos injusta. ### só para eu lembrar de voltar aqui

Segue a figura com as indicações do jvmago....

Usando T. Poncelet: GH = R e EF = r
\triangle ADC: 2R+ AD = CA+CD \rightarrow R = \frac{CA+CD-AD}{2}(I)\\
\triangle ABC: 2r + AC = AB + BC\rightarrow r = \frac{AB+BC-AC}{2}(II)\\
I+II+AD = 8...

Da homotetia entre os dois círculos pelo ponto de contato o encontro da reta PT com o circuncírculo do \triangle ABC é o ponto médio(J) do arco AB .
(conforme demonstrado no tópico do Incírculo...

\triangle ACD(retângulo): CD = a, AC =2a. ~e~AD = a\sqrt3\\
T.Pitot: 1+ a\sqrt3 = 7+a\rightarrow \boxed{a\sqrt3 -a = 6}(I)}\\
T.Poncelet: 2r+2a=a\sqrt3 +a\implies\boxed{ r =...

AC = b, CB = a,~eAB = c\\\triangle ABC: 2r = a+c-b\\
EF=b - \underbrace{AE}_{=AH} - \underbrace{FC}_{=CG} =b - (\underbrace{AP}_{c-r}-r_1)-(\underbrace{CN}_{a-r}-r_2)\\...

\triangle ABC: AC^2 = AB^2+AC^2 \rightarrow AC = \sqrt{12^2+5^2}=13\\
T.Poncelet:2R + AC = AB+BC \implies 2R =4 \therefore R=2\\
mas AN = 2R \therefore \boxed{\color{red}AN = 4}