FelipeMartin ,
Pela definição todo quadrado é um retângulo e um losango e um paralelogramo..mas não seria um trapézio.
Acho que aqui ele queria o nome da figura específica que surge e não a classe...

Outra resoluçao:
110^{\circ}=\measuredangle GDA=\measuredangle MDA+\measuredangle MDG (I)\\
mas ~\measuredangle MDG=90^{\circ}-\measuredangle DMG=90^{\circ}-\frac{1}{2}\measuredangle...

Eu pensei assim

\triangle EDC \sim \triangle BFC (A.A.) \implies \measuredangle D = \measuredangle B\\
\measuredangle DCE =\measuredangle FCB = 90^\circ-\alpha\\
\measuredangle A = 2\theta\\...

MU (base ~~ média): MU = \frac{16+2}{2} = 9\\
BM + MG = \frac{2}{3}BU(propriedade ~baricentro)\\
BU = BM +MU = 3+9 = 12\\
\therefore BM +MG = \frac{2}{3}.12\rightarrow 3 + MG = 8\\
\therefore...

Traçar~bissetriz ~CE\\
\measuredangle OCB = 90^\circ -\alpha \implies COB = 90^\circ\\
ABCE ~é ~paralelogramo \implies \\\measuredangle AEC = 180^\circ -(90^\circ -\alpha) =90^\circ +\alpha\\...

ΔQBP(retÂngulo) Traçar BO:, O ponto médio de PQ
∠DAP = x
Portanto ∠BPO=∠PBO=x,
BO=PQ/2=10 e ∠BOQ=2x \rightarrow ΔABO is isosceles.
\therefore \boxed{\color{red}AB=BO=10}
(Solução: Кряжев Арсений)

\measuredangle BEC = \measuredangle ABE(alternos~internos)\\

Por propriedade \alpha = \beta\\
2\theta+ 2\alpha = 90^\circ\implies \alpha +\theta = 45^\circ = \measuredangle ABR\\
\therefore...

OM=?\\a+x+2a+x+x+2a+x++x+a+x = 18\\
6a+6x=18 \implies a+x = 3\\
mas~\boxed{\color{red}OM = a+x = 3}

AB + 2BC = 18\\
FG = \frac{BC+AD}{2}(I)\\
Por~ propriedade: AB+BC =AD(II)\\
(I)em(II):FG = \frac{BC+AB+BC}{2}=\frac{AB+2BC}{2}=\frac{18}{2}\\
\therefore \boxed{\color{red}FG = 9}

JK =? \\
\triangle JOI(retâmgulo~ isóceles) \rightarrow \measuredangle OJI = 45^\circ \\
tg45^\circ=\frac{CE}{EJ}\implies EJ=4\\
Modo~ análogo: FK = 4\\
\therefore \boxed{\color{red}JK = 4+ 6+4 = 14 }

Por propriedade:
\measuredangle NEA = 90^\circ

Aplicação do teorema da base média

\triangle ABD: NQ = \frac{AB}{2} =\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\\
\triangle BCD: PN = \frac{CD}{2} =\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\\
\triangle ADC: MQ = \frac{CD}{2}...

Por propriedade:
Sendo l o lado do losango
ED = 1
AF = 9
\boxed{\color{red}l = \frac{9+1}{2}=5}

Por propriedade

AP = PQ = QC = \frac{18}{3}\\
\therefore \boxed {\color{red}PQ = 6}

Por ser mediana dos trapézios
LSBA: LA + SB = 2MK\rightarrow 7+SB = 2.9\therefore SB = 11\\
SBCQ: SB+CQ = 2NG \rightarrow 11+CD = 2.6 \therefore CD = 1\\
ALCQ: AL+CQ = 2PO \rightarrow 7+1 = 2.PO...

\measuredangle A = 2\measuredangle \implies CD = AD+AB(por~propriedade)\\
CD = 10+AB\\
EF (mediana~euler)= \frac{CD-AB}{2}=\frac{10+AB -AB}{2}\\
\therefore \boxed{\color{red}EF = 5}

Sendo AE = CH = x

AD = \frac{8CH}{3}=\frac{8x}{3}\\\triangle AEB \sim \triangle CHD\\
BE = CD\\
BE ~é ~ bissetriz\\
\frac{x}{AB}=\frac{5x}{3BD}(T.Bissetriz)\implies BD = \frac{5AB}{3}\\
\triangle...

Problema com 'vício pois podemos ter inúmeros trapézios com as paralelas se interceptando na mediana.
Sendo assim poderemos ter diversas bases com diferentes tamanhos.
Faltou algum dado para...

\triangle NBM \sim NCO (L.A.L.)\\
MN=NO\\ \measuredangle MNB = \measuredangle CNO\\
\measuredangle MNO =90^\circ\\
De forma análoga para os outros triângulos teremos 4 ângulos retos com os 4 lados...

Por analítica:
A (0, 0), B (4, 0), C (4, 4) e D (0, 4). portanto P (2, 4) e a reta AE: y = 2x. F é (0, 2) e a reta BF: y= -x/2+ 2

As duas retas se interceptam em 2x= -\frac{x}{2}+ 2 \therefore x=...

\triangle TAN\cong\triangle QGL\cong\triangle ZHI\cong \triangle WOR(A.L.A)\\
VH = VT = 4\implies ZH +VH = 5+4=9 = ZN\\
QG=ZN = 9 \therefore VG = 3\\
mas ~ VG = x \therefore \boxed{\color{red}x = 3}

F = meio ~OP\rightarrow BF = mediana~ \triangle OBP(retângulo)\\ \therefore ∠BPF=∠PBF=x\\
BF=\frac{PO}{2}=CD =AB \therefore \triangle ABF(isosceles) \\
\measuredangle BFO=2x \therefore \measuredangle...

Por propriedade: JPI =90^\circ=IQJ \therefore PIQJ = quadrado
\triangle AFD:AF^2=DF^2+AD^2\rightarrow AF^2 = (\frac{\sqrt10}{2})^2+(\sqrt10)^2\therefore AF=\frac{5\sqrt2}{2} \\
a.h=b.c\rightarrow...

\measuredangle PAQ=\measuredangle BAD, AP=AB, AQ=AD\\\therefore \triangle PAQ\cong \triangle BAD\\ \measuredangle AQP = \measuredangle ADB\\De ~modo~análogo:\triangle RDQ\cong \triangle CDA\\...

\begin{aligned}
EA&=BC &(\because AD=BC, \text{ lados opostos do paralelogramo})\\
AB&=CF & (\because CD=AB, \text{ lados opostos do paralelogramo)}\\
\angle EAB&=\angle BCF=y & (\because 90°-\angle...

\text{P : ponto médio AC e Q ponto médio de BD}\\
\triangle GQD = \alpha = 180^o-75-\theta = 105^o-\theta \\\theta +15^o+\beta (ângulo ~externo) = 75^o+\theta (\triangle QBD)\\
\measuredangle PGA =...

Traçar~BE \parallel CD \implies \measuredangle BEA = \theta\\
Traçar ~BF \measuredangle FBE = \theta \therefore \measuredangle ABF = 2\theta ~e~\measuredangle AFB = 2\theta\\
\triangle ABF~\triangle...

G,L ~e~ H ~ são ~pontos ~médios~de △ABC\\
∠PGB=∠BHQ \\
GLHB~é~paralelogramo \implies GL=BH=HQ,GB=LH=PG ~e~∠BGL=∠BHL ~e~ ∠PGL=∠QHL\\
\therefore △PGL \cong △QHL \therefore \boxed{\color{red} PL=QL=12}...

\\
∠ABC=θ \rightarrow ∠ABE=60^∘ + θ~ ∠BAE = ∠BEA = 60^∘ − \frac{θ}{2} ~∠AEC= \frac{θ}{2}\\

∠BCT=2∠BAE=120^∘−θ,∠ECT=180^∘−θ\\

\therefore ∠CTE=\frac{θ}{2} ~e~△ECT(isósceles)~e~ CT=EC=CD.\\...

Gabarito errado do livro: b) 18.5 o
Gabarito correto: e) 26,5 o

Construir os quadrados ECMN e EMDP

\mathsf{
\therefore \text{DC é diagona de DPCN}\\
\angle BAO \cong DOA \implies \angle EAD...