Somando os ângulos do triângulo ABC: \alpha+3\alpha+90^\circ=180^\circ\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\alpha=22,5^\circ}

Como DP é mediatriz, ou seja, D é ponto médio, temos CPA que é triângulo...

\angle MCB = \varphi como BM = MC = AM, portanto, \angle MBC = \varphi .

por angulo externo
olhando...

O encontro das mediatrizes de um triângulo é o centro do círculo circunscrito.
Pela propriedade de ângulos inscritos em uma circunferência, podemos concluir que o ângulo exterior BTC vale o dobro de...

\angle ABM + \angle CBM = 60^{\circ} e \angle CBN + \angle CBM = 60^{\circ} , então:

\angle ABM = \angle CBN e, portanto, \triangle ABM \cong \triangle CBN por L-A-L em B .

Logo \angle BAM =...

\triangle ABC: \frac{y}{18+x}=\frac{AM}{MB}\rightarrow \frac{y}{18+x}={1}{2} \therefore 2y =18+x\\
\triangle MCA: \frac{x}{y}=\frac{CN}{MN}\rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{2} \therefore 2x =y\\...

\triangle ABC, Traçar ~MD \parallel AC\rightarrow Base~média\\
\therefore MD = \frac{AC}{2}\\
\triangle BPC, TraçarDN\parallel BH\rightarrow Base~média\\
\therefore DN = \frac{BP}{2}=\frac{AC}{2}\\...

D~ é~ excentro \therefore AD\rightarrow bissetriz~ interna ~ \triangle ABC\\
\angle ADB = 90^0 - \cfrac{\angle B}{2} - \cfrac{\angle A}{2} = \cfrac{\angle C}{2}\\
De~maneira~análoga: \angle ADC =...

\mathsf{
Traçar ~PN \perp AC \implies \triangle APC ~é~isósceles\\
\angle APN = \angle APC = \frac{180-\theta}{2}=90-\frac{\theta}{2}\\
\therefore \angle NPC = \angle NPA =...

\measuredangle BCA = 180^o -140^o = 40^0\\\triangle ABC: traçamos~ BE (mediana)\\
\measuredangle BEC = 80^o (externo)\rightarrow\triangle BME ~é ~isósceles\rightarrow BE = BM =EC= 36\\
\therefore...

\text{Traçar HD (D ponto médio de AB)}\\HD = DB=DA\\\text{Unir DM} \rightarrow DM \text{é base média} \therefore DM \parallel AC\\\measuredangle AMD = \alpha (alternos~ internos)\\\triangle HDM...

\text{Traçar ME = MB e unir CE}\\
\triangle MCE \cong \triangle ABM (L.A.L.)\\
\therefore \measuredangle E = 2\alpha\\
\triangle EBC (isósceles) : \measuredangle E = \measuredangle BCE \rightarrow...

Como P está na bissetriz externa do ângulo \measuredangle BAC , então P equidista de AC e de AB .

Seja H o pé da altura de P até AB . Então PHBD é retângulo, logo BD = PH = PE = 6 .

Pronto, do...

Seja P um ponto sobre AH tal que o quadrilátero PDHC seja cíclico, assim: \angle PDC=\angle AHC=100° e \angle PDA=30°.
Seja Q o circuncentro do triângulo PAD, então: \angle AQP=60°\implies...

Prolongando ~AB ~até ~F : \measuredangle F = 73^o \therefore AFC (Isósceles)\\
\measuredangle AGF = 180^o - 73^o-17^0 = 90^0\\
FG=GC = a\\
PC = PB = CF = 2a\\
\triangle PGC ~ é ~notável: (2a, a)...

Seja P um ponto sobre AH tal que o quadrilátero PDHC seja cíclico
\mathsf{
\angle ACH = 180-20-90 = 70^o\implies AHC = 100^o \\
\therefore ∠PDC=∠AHC=100°~ e~ ∠PDA=180-60-100=20^o\\
Trace ~DE \perp...

Prolongue AC até D tal que BD=BC, então: \angle ADB=\angle ABD=2\alpha.
Sobre o lado AM construa o triângulo AEM tal que este seja congruente ao triângulo ABD. Seja AH_1 a altura relativa ao lado BE...

Traçar ~FE~ com~ \measuredangle FEB = 3\theta \rightarrow FE = FB\\
\triangle FEA \cong \triangle FBC(L.A.L.) \rightarrow\measuredangle A = 2\theta\\
\measuredangle EFB = \theta \therefore B = \theta...

\mathsf{
L. cossenos \triangle BPC\\
BC^2=25k^2+49k^2−2⋅5k⋅7k⋅cos(x)\implies\\
BC^2=74k^2−70k^2⋅cos(x)(I)\\

L. cossenos \triangle BPA\\
AB^2=25k^2+k^2−2⋅5k⋅k⋅cos(π−x)\\
AB^2=26k^2+10k^2⋅cos(x)(II)...

Do enunciado, AP=3x, PB=4x e PC=5x. Pegue o triangulo BPC e encaixe-o no lado do APB (isso é possivel pois eles possuem um lado em comum que é o lado do triângulo equilátero). Seja T o ponto que é o...

Trace ME=MB, de modo que fechamos um triângulo isósceles EMB. Como AM=MB+BC, segue que o segmento restante AE=BC. Ainda no triângulo EMB,

Traçar AF = DC \\
Traçar BF, \measuredangle ABF = 3x\\
\measuredangle AFB = 7x-3x = 4x\\
\triangle FBC ~isóscekes \therefore \measuredangle C = 4x\\
\triangle ABC: 4x+7x+4x =180^o\\
\therefore...

Traçando o triângulo BCD congruente ao triângulo ABC de modo que

\mathsf{DE=CP\\ BE=BP\\ CE=AE\\
\therefore ∠PBE=90°\implies PE=2x\sqrt2\\
\therefore ∠CPE=90°(\triangle DBE \cong \triangle CBP...

\mathsf{PM \perp AB :(M\in AB)\\
\angle ABH = 90-5\theta\\
\angle BPM = 90-5\theta = \angle HPC \implies\\
\triangle BPM: 180^o = 90-5\theta+90-5\theta+90\\
\therefore \boxed{\color{red}\theta = 9^o}...

Trace FD de modo que FC = FD
- Pelo teorema do ângulo externo marque ângulo 6k
- Novamente pelo teorema do ângulo externo marque o ângulo < BFD = 3k
- Disso sai que os triângulos AFB e DFB são...

Ângulos vermelhos a e b marcados pelo paralelismo entre FM e PQ

Ângulos verdes c e d marcados pelo paralelismo entre FM e PQ

FMCA é inscritível pelos ângulos de 90° em F e M, por isso ângulo...

Seja T a intersecção de BC e AH temos:

\angle BTP=\angle CTH=90-\alpha\,\,\Rightarrow\,\,\angle HCT=\alpha

Seja também:
\begin{cases}AB=a\\BP=x\\AC=b\\HC=c\\b-c=12\sqrt{3}\end{cases}

No...

Traçar CK no prolongamento de BM, de modo que BK⊥CK.

Then \triangle AMH\cong \triangle CMK(AAL), CK = AH = x.

\triangle BCK (notável)\\
CK:BC=1:2 \implies \boxed{\color{red}∠MBC=30^o}
(Solução:...

Tome D, ponto médio de AC e ligue PD. Repare que PD é base média de ABC em relação a AB, então PD=5. Ligue DT e note novamente que é outra base média, dessa vez de ARC em relação a base RC (pois, do...

Nossa, o gabarito do livro estava errado pra ajudar na resolução.