Aqui ficará uma coletânea de questões antigas, com mais de 1 ano, que não foram respondidas ainda. Não é possível postar novas questões nesse fórum, apenas é possível resolver as que forem movidas para cá pelos moderadores.
Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do problema 81
sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)
a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
Problema Proposto
22 - Duas circunferências cujos raios medem R estão situadas de tal forma
que a distancia entre seus centros mede R. Na região comun a ambos os círculos se
inscreve um quadrado....
Problema Proposto
21 - O ângulo A de um paralelogramo ABCD mede 30 o , as bissetrizes interiores de B e ''C
se interceptam em O . Calcular a distância do ortocentro ao baricentro do triángulo BOC,...
Problema Proposto
20 - Na figura mostrada, as circunferências
são concéntricas e as medidas de seus
raios são proporcionais aos números l, 2
e 3 . Se AB = \sqrt{10} , calcular a medida
da corda CD.
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r o raio da menor circunferência, 2r o raio da intermediária e
3r o raio da maior.
O o centro das circunferências
P é o ponto de tangencia do segmento AB com a circunferência intermediária
Portanto...
Problema Proposto
18 - Calcular PQ, se PM = 4 e MN = 9.
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O ortocentro e o circuncentro são conjugados isogonais por isso
Mas QO é mediana relativa à hipotenusa do triângulo PQS, ou seja
\mathsf{OQ=OS, \implies \angle SQO = \angle OSQ.\\...
17 - Uma circunferência é tangente a dois lados
adjacentes de um quadrado e divide a cada
um dos outros dois lados em dois segmentos
cujas medidas são 2 e 23.
Calcular a medida do raio da...
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H é ponto médio de H' , pois o centro G do círculo está sobre GH que é perpendicular a H',
logo GH deve ser necessariamente a mediatriz de H', pois ambas passam por G e são paralelas.
Seja R o raio...
Problema Proposto
15 - Calcular o cateto maior de um triângulo cujo perímetro é
(2 \sqrt{10} + 5) e a altura relativa a hipotenusa
a divide na relacão de l para 9.
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\mathsf{a+b+c = 2\sqrt{10} + 5\\
b= 10m\\h^2 = m.n = 9m^2 \therefore h = 3m\\c^2 = m(m+n) =m(10m) = 10 m^2 \therefore c =m\sqrt{10}\\a^2 = n(m+n) = 9m(10m) = 90m^2 \therefore a = 3\sqrt{10} m
\\...
Problema Proposto
14 - Na figura calcular o valor de um dos
raios das circunferências congruentes ,se
AB=20 e BC= 15.
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Trace as bissetrizes por A e C e deixe elas se encontrarem em I.
Seja E o centro do círculo mais à esquerda e D o centro do circulo mais à direita.
Seja R o raio da inscrita de ABC e r o raio das...
Problema Proposto
13 - No triângulo ABC ( \angle B = 90º ), se traça a ceviana interior BM;
se AM = 8, MC = 10 e BM = AB . Calcular a distância de M ao lado BC
Problema Proposto
12 - Na circunferência de raio 15 e centro O , os diámetros AC e BD
são perpendiculares; a corda AM intercepta a AC en N .
Se OF = 3,calcular ON.
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Problema inconsistente pois não foi especificado quem é F e nem a corda AM pode interceptar a corda AC
Problema Proposto
8 - No triángulo ABC ( \angle B = 90 o ) pelo ponto N exterior
deste triângulo se traça NP perndicular a BC ( P é ponto médio de BQ).
Calcular AN; se AB = 3 \sqrt{29} e BC=4...
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Há um problema no enunciado pois o ponto N ficou livre sem amarração e portanto será considerado que NC é perpendicular a NB.
\mathsf{∠BNC=90^∘ \rightarrow PN=BP=\frac{B}{2}\\
\text{Prolongar AB e...
Problema Proposto
6 - No triângulo retângulo ABC ( \angle B =90 o )
pelo vértice C se levanta uma perpendicular a BC
até um ponto D tal que BD intersepta a AC en P .
Calcular o circunraio do...
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\mathsf{Marcar ~R ~ponto ~médio ~de~ AC \implies R ~é ~~ circuncentro △ABC.\\
\therefore AR=RC=BR.\\
S ~é~ ponto ~médio~ de~ BC \implies R,S ~e ~O~ são~ colineares\\
\angle BOR=\angle APB ~e~ \angle...
Problema Proposto
5.- Na figura: AB = 2BC.Calcular \frac{r_3}{r_1}
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Por propriedade:
\mathsf{AB = 2\sqrt{r_1.r_2}\\
BC = 2\sqrt{r_2.r_3}\\
AB = 2BC \implies AB = 2\sqrt{r_1.r_2}=4\sqrt{r_2.r_3}\rightarrow\frac{\sqrt{r_2.r_3}}{\sqrt{r_1.r_2}}=\frac{1}{2}\\
\therefore...
Problema Proposto
4 - No trapézio isósceles ABCD (AD || BC),
\angle ACD = 90^o , BC = 7 e AC = 20
Calcular AD.
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Trapézio é isósceles: diagonais mesmo tamanho e é inscritível
AD = y e lados = x
\mathsf{\overline{AC}=\overline{BD}=20\\ T.Pitag:20^2+x^2=y^2\Rightarrow x^2=y^2-400(I) \\...
Problema Proposto
1 - Em um losango a soma das medidas de suas diagonais é 70 cm
e o raio da circunferência inscrita é 12 cm. Calcular a medida do lado do losango
Problema Proposto
44- No triángulo ABC se traça a mediana AM
e a ceviana BR, a qual intercepta a AM em seu ponto médio N.
Calcular NR, se AC = 24; depois se traça a bissetriz do ángulo BAN...
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MArque B′ o simétrico de B em relação a N.
AB′ \parallel BC ~e~ AB′=BM=MC, \therefore AMCB′ é um paralelógramo.
CA é mediana do triángulo AMB′, pois R ie o baricentro dete triÂngulo e NR=PN=x.
OS...
Problema Proposto
47 - No triângulo ABC, a razão dos quadrados
dos lados AC e AB é igual a razão das projeções destes lados
sobre o lado BC. Calcular \angle ABC , se \angle BCA = 80^o
Problema Proposto
35 - O triângulo ABC se encontra inscrito em uma circunferencia;
a mediatriz de AB intercepta em M a BC e em N o prolongamento de AC.
Calcular \angle OCB , se O é centro da...
Problema Proposto
46 - Na circunferência de diámetro AB,
se traça a corda PQ perpendicular a AB no ponto 'R ,
sobre o arco AQ se toma o ponto U tal que PU intercepta
a AB e AQ em S e T...
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SAs é bissetriz no △PAT
\frac{PS}{TS}=\frac{AP}{AT}\\
△TAP\sim△TUQ \implies \frac{AP}{AT}=\frac{UQ}{UT}\\
Equacionando: \frac{PS}{TS}=\frac{UQ}{UT}\implies PS⋅TU=UQ⋅TS
\therefore...