Aqui ficará uma coletânea de questões antigas, com mais de 1 ano, que não foram respondidas ainda. Não é possível postar novas questões nesse fórum, apenas é possível resolver as que forem movidas para cá pelos moderadores.
Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do problema 81
sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)
a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
Problema Proposto
17 - Na figura G é o baricentro do triângulo
ABC; se a área do triângulo FGC é 9 m 2 ,
a área do triángulo FGB é 16m 2
Calcular a área da região sombreada.
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\\
ha (A ~a~ FG), \\
hb (B ~a~ FG) \\
hc (C ~ao~ prolongamento~ FG )\\
\\ hd=\frac{1}{2}(ha+hc) \\
D ~~é~ponto ~médio~de AC\\
BG=2DG, \implies hb=2hd=ha+hc\\ \therefore hb=ha+hc \\...
Problema Proposto
34 - Dado um triângulo retângulo ABC reto
em B. Desde o pé da altura BH se traçam
as perpendiculares a AB e BC nos pontos
M e N respectivamente. Calcular a área da
região MBNO; se :...
Problema Proposto
27 - No triângulo isósceles ABC, a base AC mede 7m; sobre BC se
constroi exteriormente o triângulo equilátero BCF. Si AF = 16m
Calcular a área da região triangular AFC.
Problema Proposto
16 - Sobre os lados AB e BC de um triángulo ABC, exteriormente se constroem
os quadrados ABFL e BCQR; o segmento que une os centros dos quadrados mede 8m.
Calcular a área do...
Problema Proposto
24 - Na figura AB o diâmetro, AB = BC e
BF = 6m. Calcular ãrea do triãngulo BFC.
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Trace a altura CH \perp BF, H \in BF .
Por ângulo de segmento, \angle BAF = \angle FBC = \angle HBC , logo \triangle ABF \cong \triangle BCH , pois possuem os mesmos ângulos e mesma hipotenusa....
Problema Proposto
22 - Desde o ponto A exterior a uma circunferência se
traçam as tangentes AD e AC, em AD se marca o ponto N
tal que NC intercepta a circunferência em F ; se AN = ND,
NF = 1m , NC...
Problema Proposto
15 - Calcular a área de um trapézio isósceles, se
sua altura mede 9m e seu lado não paralelo se
observa do centro da circunferência circunscrita,
sob um ângulo de 74º.
Problema Proposto
13 - Calcular a área de um triângulo se o inraio mede 2m e
os segmentos determinados pela circunferência inscrita sobre
um lado medem 3 e 5m.
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\mathsf{ AD=x, r = 2 \\
S_{ABC} = p.r\\
p = \frac{10+6+2AD}{2}=8+x\\
\therefore S_{ABC} = 16+2x\\
F. Heron:
S^2= (8+x) (8+x-8)(8+x-5-x)(8+x-3-x) \implies\\
(16+2x)^2= (x+8).x.3.5\rightarrow...
Problema Proposto
4 - No triângulo ABC se traça a ceviana
BR e sobre ela se marca o ponto Q de modo
\frac{BQ}{QR} = \frac{3}{2} e RC = 3AR.
Calcular \frac{S_{AQR}}{S_{ABC}}
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Seja S a área do \triangle ABC :
Propriedade entre área de triângulos ( se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas bases ):
\frac{ }{...
Problema Proposto
5 - Calcular a área da região sombreada sabendo
que AM = MC ; BN = 2 NC e a área
do triângulo ABC é 100m 2 .
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Solução :
Teorema de Menelaus no ∆BMC (Secante NA ):
\frac{AM}{AC}\cdot\frac{CN}{NB}\cdot\frac{BP}{PM}=1\\
\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{BP}{PM}=1\\
\boxed{\frac{BP}{PM}=4}
Problema Proposto
8 - Os lados de un triângulo ABC medem
AB = 21 m, AC= 28m e BC= 35m se traçam as
bissetrizes AQ e CR, as quais se interceptam
en I . Calcular a área do triângulo CIQ.
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Solução :
O \Delta ABC é o triângulo retângulo notável 3k,4k,5k com k=7 , daí sua área é: A=\frac{21\cdot28}{2} \ \ \therefore \ \ =294 \ m^2
Problema Proposto
10 - Os lados de um triângulo ABC medem
AB = 13m, BC= 14m, AC= 15m . Calcular a área
da região triangular AIC sendo ''I o incentro
do triângulo ABC
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\mathsf{p = \frac{13+14+15}{2}=21\\
F.Heron: S= \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=84\\
S = p.r \implies 84 = 21.r \therefore r = 4\\
S_{AIC} = \frac{15.4}{2}=\boxed{\color{red}30m^2}\\