Aqui ficará uma coletânea de questões antigas, com mais de 1 ano, que não foram respondidas ainda. Não é possível postar novas questões nesse fórum, apenas é possível resolver as que forem movidas para cá pelos moderadores.
Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do problema 81
sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)
a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
Problema Proposto
1 - A diferença entre as medidas dos ângulos
consecutivos AOB e BOC é 30 o . Calcular
a medida do ângulo que formam 0B e a bissetriz do ângulo AOC.
Problema Proposto
16 - Seja P = ( \frac{2\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{{10}}}{5} ) o ponto onde
o círculo e ol segmento são tangentes. A área
da região sombreada é?
Problema Proposto
34 - No quadrado ABCD de lado igual a 2m com
centro no ponto médio do lado BC e com raio
igual a \sqrt{2} , se traça um arco de circunferência.
Calcular a área da região...
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\mathsf{FE=1 \\
\triangle △FHE ~e ~△FGE ~são~ isósceles~retângulos \implies\\
hipotenusa = cateto.\sqrt2\\
△HGE:∠HEG=45°+45°⇒∠HEG=90^o.\\
S = S_{setHMG} + \text {metade da área do incírculo do...
Problema Proposto
31 - Seja um paralelogramo ABCD, AB = 6, BC= 10 e AC = 14 ; se traça
uma circunferência que passa pelos vértices C e D sendo AD tangente
e esta circunferência e BC uma secante....
Problema Proposto
39 - Na semicircunferência de diâmetro
AB que se prolonga até o ponto C
do qual se traça a tangente CT a
semicircunferência. Calcular a área do segmento
circular BT; se AT = TC =...
Problema Proposto
38 - Calcular a área da região sombreada; se PQ= \sqrt{2}
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r o raio do menor círculo
R o raio do semi-círculo.\\
\mathsf{
T (ponto ~de~ tangência) \implies T ponto ~médio~ do~ arco~ OPB.\\
OO1=r\sqrt2,R=OT=r(1+\sqrt2)\\
mas~ QO=r \therefore :...
Problema Proposto
36 - Na figura; calcular a área da região
sombreada, se BC e AD são diámetros tal que: BC=2.
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ΔMNQ e ΔMNP serem equiláteros vêm que ∠QMN=∠MNP=60∘⟹∠ANP=120∘
Como o ΔANP é isósceles, segue que ∠NPA=∠NAP=15∘ .
Note que #ANMF é um quadrilátero côncavo especial, daí, vêm que ∠NMF=30∘, então...
Problema Proposto
34 - O triángulo ABC é equilátero de lado
2 \sqrt{6} , m, onde M, N e Q são centros e H é
ortocentro. Calcular a área da região sombreada.
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01) AQ= \sqrt{6} ;
02) Como os semicírculos são congruentes, o triângulo RST é equilátero;
03) Em consequência de (02), o triângulo RHQ é equilátero, AR=RQ=QH=HR e os triângulos APR e QPR possuem...
Problema Proposto
26 - Calcular a área da região sombreada; se:
\overset{\LARGE{\frown}}{AEB} =240º ; E é ponto de tangência e AB=2 \sqrt{3} .
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R = raio circunferência maior
O = centro da circunferência maior
\mathsf{AC=BC^* \implies ∆ABC : isósceles.\\
\overset{\LARGE{\frown}}{ AEB} =240^o, então ∠ACB=120^o\\
∠BAC=∠ABC=30^o⟹\\...
Problema Proposto
28 - Na figura mostrada se tem 3 circunferências
secantes e congruentes da raios 1m respectivamente.
Calcular a área da regão sombreada
(O e O' são centros).
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Sejam α, β e θ as cricunferências de centro O,O′,O′.
Trace o diâmetro MN, onde M está sobre α, da circunferência β, una os centros OO′, trace a reta MO′ que resultará em um ΔOO′M equilátero de lado...
Problema Proposto
30 - Na figura mostrada; calcular a relacão de áreas, das regiões sombreadas.
ABCD é um quadrado.
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Lado do quadrado l
Raio da circunferência menor r
Ponto de tangência da circunferência menor com a diagonal do AC do quadrado P
Centro da circunferência menor: O
Área sombreada menor : S1
Área...
Problema Proposto
20 - Calcular a área da região sombreada;
se : AO = OB = 2u
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Sejam C e E os dois outros pontos que tocam no circulo pelas retas BD e AD.
\mathsf{ \frac{\overset{\LARGE{\frown}}{BC}+\overset{\LARGE{\frown}} {AE}}{2}=45^o (ângulo~excêntrico~interno)
\\...
Problema Proposto
14 - Na figura, calcular a área da região
sombreada se : AO = OB e PH = 2u
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Seja O' o centro do círculo de cima, o triângulo OO'P é equilátero.
Como o círculo de cima é tangente a AB por O então OO' perpendicular a AB
então o ângulo BOP = 30º então BAP = 15º e o ângulo APO'...
Problema Proposto
13 - Na figura «A» e «O» são centros, OB = 2 \sqrt{2} e
\overset{\LARGE{\frown}}{OP} = \overset{\LARGE{\frown}}{PB} . Calcular a área do setor circular PAQ