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Aviso Global l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Última msg por Zhadnyy « Sex 22 Out, 2021 14:03
Enviado em Maratonas de Matemática
Respostas: 81
por Ittalo25 » Qui 24 Set, 2020 23:03 » em Maratonas de Matemática
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Tópico criado há 645 dias
First post

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...

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Solução do Problema 80
792 = 2³ . 3² . 11
para ser divisível por 11: 11 | z-5+4-y+x-3+1
para ser divisível por 9: 9 | 1+3+x+y+4+5+z
para ser divisível por 8: 8 | 45z
De III: z = 6, pois o único...
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Última msg por Zhadnyy
Sex 22 Out, 2021 14:03
Aviso Global ENEM 2017 Matemática Resolvida

Última msg por Jigsaw « Sáb 17 Nov, 2018 22:42
Enviado em TutorBrasil no YouTube
Respostas: 7
por caju » Qui 17 Mai, 2018 10:20 » em TutorBrasil no YouTube
Tópico criado há 1507 dias
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Olá a todos :)

Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .

Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...

Última msg

Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...

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19741 Exibições

Última msg por Jigsaw
Sáb 17 Nov, 2018 22:42

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Lema de Arquimedes - Demonstração

Última msg por FelipeMartin « Qui 03 Fev, 2022 09:51

por FelipeMartin » Qui 03 Fev, 2022 09:51
Tópico criado há 149 dias

Seja \gamma um semicírculo de diâmetro AB . Seja C um ponto na tangente a \gamma por B , seja CD tangente a \gamma por C , com D \in \gamma , seja E o pé da altura de D em relação a AB e F = AC \cap...

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Última msg por FelipeMartin
Qui 03 Fev, 2022 09:51
Definição de conjugados isogonais

Última msg por FelipeMartin « Qui 03 Fev, 2022 07:42
Respostas: 2
por FelipeMartin » Dom 18 Out, 2020 07:17
Tópico criado há 622 dias
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Dado um triângulo \triangle ABC e, em seu interior, um ponto X podemos marcar os ângulos que as retas AX,BX e CX fazem com os lados do triângulo \triangle ABC :

isogonais1.png

\alpha = \angle...

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Uma prova mais geométrica da existência dos conjugados isogonais é a seguinte:

isogonaisdemo.png

Seja P um ponto qualquer no interior do \angle BAC (possivelmente fora do \triangle ABC ). Seja...

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964 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Qui 03 Fev, 2022 07:42
Número de soluções inteiras positivas de uma equação linear

Última msg por Zhadnyy « Ter 23 Nov, 2021 09:34
Respostas: 1
por csmarcelo » Seg 02 Set, 2019 09:41
Tópico criado há 1034 dias
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Há um tempo atrás, nosso colega MateusQqMD demonstrou que o número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear é dado por P_{ \, m + k -1}^{ \, m, \,\, k-1} .

Aqui, irei demonstrar...

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Outro raciocínio:
x1 + ... + xp = n
posso escrever n como uma soma de vários 1
1 + 1 + 1 ... + 1
são n-1 sinais de +
mas x1 + ... + xp tem p-1 sinais de +
então tenho que escolher p-1 sinais de +...

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1417 Exibições

Última msg por Zhadnyy
Ter 23 Nov, 2021 09:34
Demonstração - Parameshvara

Última msg por Zhadnyy « Qui 18 Nov, 2021 14:37
Respostas: 1
por Zhadnyy » Qua 10 Jun, 2020 09:34
Tópico criado há 752 dias
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Demonstração da fórmula de Parameshvara, que estabelece:

Seja ABCD um quadrilátero inscritível, onde AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = p e BD = q. O raio da circunferência circunscrita ao...

Última msg

OBS: A simples aplicação dessa fórmula levava ao resultado da questão 1 da segunda fase do ITA 2021.
A questão tem como enunciado:
Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio...

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Última msg por Zhadnyy
Qui 18 Nov, 2021 14:37
Pontos Médios dos Lados de um Quadrilátero formam um Paralelogramo

Última msg por FelipeMartin « Ter 09 Nov, 2021 20:58
Respostas: 1
por Marcos » Sáb 21 Jul, 2012 21:30
Tópico criado há 3632 dias
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Demonstre que em um quadrilátero qualquer os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo .

Quadrilátero.gif

No quadrilátero ABCD sejam M , N , P e Q os pontos médios dos lados.
Em...

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sobre o tópico acima:
o primeiro erro de TEX corresponde a: \overline{AB}

o segundo erro de TEX corresponde a: \overline{AD}

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Última msg por FelipeMartin
Ter 09 Nov, 2021 20:58
Prova do teorema de Dergiades

Última msg por FelipeMartin « Ter 15 Jun, 2021 02:55

por FelipeMartin » Ter 15 Jun, 2021 02:55
Tópico criado há 382 dias

São dados:

- Um triângulo \triangle ABC
- Círculos c_1,c_2 e c_3 , tais que \{B,C\} \subset c_1, \{A,C\} \subset c_2 e \{A,B\} \subset c_3
- D,E e F são as segundas intersecções de c_2 \cap c_3,...

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411 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Ter 15 Jun, 2021 02:55
Demonstração teorema dos 6 círculos

Última msg por FelipeMartin « Seg 07 Jun, 2021 08:30

por FelipeMartin » Seg 07 Jun, 2021 08:30
Tópico criado há 390 dias

Dado o quadrilátero cíclico ABCD . Sejam c_1,c_2,c_3 e c_4 os círculos de diâmetro AB,BC,CD e DA respectivamente e sejam I,J,K e L os encontros destes 4 círculos com as diagonais AC e BD , conforme a...

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339 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Seg 07 Jun, 2021 08:30
Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Última msg por FelipeMartin « Sáb 08 Mai, 2021 21:55

por FelipeMartin » Sáb 08 Mai, 2021 21:55
Tópico criado há 419 dias

Dado o \triangle ABC ; seja O o seu incentro, sejam D,E e F os pontos de contato de seu incírculo com os lados BC, AC e AB respectivamente, seja G o pé da altura de B em relação à bissetriz interna...

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547 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Sáb 08 Mai, 2021 21:55
Demonstração - teorema das antiparalelas

Última msg por FelipeMartin « Qua 05 Mai, 2021 19:39

por FelipeMartin » Qua 05 Mai, 2021 19:39
Tópico criado há 422 dias

aqe.png

pelo teorema de Tales:

\frac{DA}{DB} = \frac ba

por semelhança:

\frac{DE}{DA} = \frac xb

Potência do ponto D :

DE^2 = DA \cdot DB \implies \frac{x^2}{b^2} DA^2 = DA \cdot \frac ab...

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436 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Qua 05 Mai, 2021 19:39
Demonstração - Fórmula de Bretschneider

Última msg por Zhadnyy « Seg 12 Abr, 2021 17:38
Respostas: 1
por Zhadnyy » Ter 06 Abr, 2021 09:42
Tópico criado há 452 dias
First post

Demonstração existente no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria, álgebra e uma pequena parte da demonstração da fórmula de Brahmagupta, como forma de encurtar nosso...

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Titu Andreescu - Números complexos de A a Z, pág 225, problema 23
Prove que em qualquer quadrilátero ABCD,
AC^2.BD^2=AB^2.CD^2+AD^2.BC^2-2AB.BC.CD.DA.cos(A+C)
(Relação de Bretschneider ou primeira...

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628 Exibições

Última msg por Zhadnyy
Seg 12 Abr, 2021 17:38
(Demonstração) Distancia entre o Incentro e o Baricentro

Última msg por Zhadnyy « Seg 12 Abr, 2021 08:38
Respostas: 1
por jvmago » Sáb 06 Jun, 2020 14:48
Tópico criado há 756 dias
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Seja ABC um triangulo de lados AB=c,BC=a,AC=b vamos traçar as medianas AM ,CN , e as bissetrizes CL,AK com isso determinamos que IG=x ONDE G é o baricentro e I o incentro

AGORA VAMOS COMEÇAR DE FATO...

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Demonstração por complexos/analítica usando coordenadas baricêntricas:

Teorema: Os pontos A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2 estão situados sobre os lados BC, CA, AB do triângulo ABC tais que as retas...

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1124 Exibições

Última msg por Zhadnyy
Seg 12 Abr, 2021 08:38
(Demonstração) DIstancia entre o Circuncentro e o Ortocentro

Última msg por Zhadnyy « Seg 12 Abr, 2021 08:23
Respostas: 1
por jvmago » Sáb 06 Jun, 2020 16:39
Tópico criado há 756 dias
First post

Esboçe um \Delta ABC qualquer tal que R,r são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivamente, O o circuncentro, AB=c,AC=b,BC=a e H o ortocentro PARTIU!!

PEDS-SE OH=x

Trace as...

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Demonstração por complexos/analítica

Sejam três pontos A(a), B(b), C(c) não colineares
Assumindo que o circuncentro O é a origem do plano complexo, a coordenada de H é Z_h=a+b+c
Usando o produto...

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1175 Exibições

Última msg por Zhadnyy
Seg 12 Abr, 2021 08:23
(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro

Última msg por Zhadnyy « Seg 12 Abr, 2021 08:10
Respostas: 1
por jvmago » Sáb 06 Jun, 2020 13:38
Tópico criado há 756 dias
First post

Esboçe um triangulo ABC qualquer tal que R,r são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivament, I seja seu incentro, O o circuncentro, D o ponto de tangencia, em BC , da...

Última msg

Demonstração por complexos/analítica, conforme apresentado por Titu Andreescu:

Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC...

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1111 Exibições

Última msg por Zhadnyy
Seg 12 Abr, 2021 08:10
Demonstração - Fórmula de Brahmagupta

Última msg por iammaribrg « Ter 06 Abr, 2021 09:46
Respostas: 1
por Zhadnyy » Ter 06 Abr, 2021 09:21
Tópico criado há 452 dias
First post

Demonstração existente no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria e álgebra.

Queremos demonstrar que a área de um quadrilátero inscritível (aquele que pode ser inscrito...

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Zhadnyy legal! Valiosíssimo pra ITA/IME, creio eu

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623 Exibições

Última msg por iammaribrg
Ter 06 Abr, 2021 09:46
Demonstração - Fórmula de Heron

Última msg por Zhadnyy « Ter 06 Abr, 2021 08:59

por Zhadnyy » Ter 06 Abr, 2021 08:59
Tópico criado há 452 dias

Demonstração rápida, publicada no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria básica e álgebra.

Queremos demonstrar que a área de um triângulo qualquer pode ser obtida...

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448 Exibições

Última msg por Zhadnyy
Ter 06 Abr, 2021 08:59
Demonstração - Reta de Newton

Última msg por Zhadnyy « Sex 26 Mar, 2021 20:29

por Zhadnyy » Sex 26 Mar, 2021 20:29
Tópico criado há 462 dias

Seja ABCD um quadrilátero tal que BA e CD intersectam-se em E, AD e BC intersectam-se em F e sejam N, L e M os pontos médios de EF, AC e BD, respectivamente.
Os pontos N, L e M são colineares e...

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458 Exibições

Última msg por Zhadnyy
Sex 26 Mar, 2021 20:29
(Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Última msg por Renadeca « Qui 25 Mar, 2021 14:37
Respostas: 5
por jvmago » Dom 21 Jun, 2020 15:28
Tópico criado há 741 dias
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unnamed.jpg É chegado o momento de fazer geometria! Espero com esse post sanar a duvida de muitos curiosos sobre o assunto, feito isso PARTIU!

Sejam A (a), B (b) e C (c) três círculos tangentes...

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Boa tarde, valeu gentee...

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1751 Exibições

Última msg por Renadeca
Qui 25 Mar, 2021 14:37
Técnica olímpica - Lifting the exponent (LTE)

Última msg por Ittalo25 « Ter 12 Jan, 2021 22:23
Respostas: 1
por Ittalo25 » Ter 12 Jan, 2021 22:15
Tópico criado há 535 dias
First post

Definição: Seja p um número primo. Se e_p(a)=k , então p^k \mid a mas p^{k+1} \nmid a . Ou seja, k é a maior potência de p que divide a.

Propriedade 1: Se p é primo ímpar, p \nmid a , p \nmid b ,...

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Babi123 , null

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1364 Exibições

Última msg por Ittalo25
Ter 12 Jan, 2021 22:23
(Demonstração) Relações entre elementos em um triângulo qualquer

Última msg por jvmago « Sex 25 Dez, 2020 14:26
Respostas: 1
por jvmago » Sex 25 Dez, 2020 14:20
Tópico criado há 554 dias
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Bom senhores a muito tempo eu desejo e digo que iria fazer esse tópico porém eu precisa fazer algo bem consistente, com coisas simples e outras nem tanto assim :lol: . As propriedades que aparecerão...

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Como de costume, PIMBADA :wink:

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839 Exibições

Última msg por jvmago
Sex 25 Dez, 2020 14:26
Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo

Última msg por FelipeMartin « Sex 25 Dez, 2020 09:25
Respostas: 1
por MatheusBorges » Seg 30 Jul, 2018 14:56
Tópico criado há 1433 dias
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Demonstre que em todo triângulo, vale a seguinte relação:
ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr , sendo a, b e c os lados do triângulo, r o raio da circunferência inscrita, R o raio da circunscrita e p o...

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aliás esse tópico poderia estar nas demonstrações, não?

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1332 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Sex 25 Dez, 2020 09:25
(Demonstração) Generalização de áreas em um triângulo qualquer

Última msg por jvmago « Dom 06 Dez, 2020 21:01

por jvmago » Dom 06 Dez, 2020 21:01
Tópico criado há 572 dias

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Esse Teorema acabará de uma vez por todas com todo e qualquer Problema nessa construção!

Sejam a,b,c,d as áreas...

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667 Exibições

Última msg por jvmago
Dom 06 Dez, 2020 21:01
(Demonstração) Teorema do Excentro

Última msg por jvmago « Dom 06 Dez, 2020 20:37

por jvmago » Dom 06 Dez, 2020 20:37
Tópico criado há 572 dias

USER_SCOPED_TEMP_DATA_MSGR_PHOTO_FOR_UPLOAD_1607221578792_6741175896814247771.jpeg

Este será mais um dos tópicos onde eu busco salientar e compartilhar com o mundo minhas pesquisas sobre relações...

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599 Exibições

Última msg por jvmago
Dom 06 Dez, 2020 20:37
Razão anarmônica na reta (cross-ratio) 1

Última msg por Ittalo25 « Dom 25 Out, 2020 01:59
Respostas: 1
por Auto Excluído (ID:12031) » Qua 16 Jan, 2019 03:22
Tópico criado há 1263 dias
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Eu não podia deixar de fazer esses últimos dois tópicos depois de ter começado os outros, desculpem qualquer coisa.
Começamos definindo segmentos orientados, atribuímos um sinal ao segmento...

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Aqui uma questão bem interessante sobre razão anarmônica (cross-ratio)

Olympiad Geometry Problem #12: Isosceles Triangle, Angle Bisector, Midpoint

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1045 Exibições

Última msg por Ittalo25
Dom 25 Out, 2020 01:59
Demonstração - Teorema de Pascal

Última msg por FelipeMartin « Dom 18 Out, 2020 11:04

por FelipeMartin » Dom 18 Out, 2020 11:04
Tópico criado há 622 dias

Dado um hexágono ABCDEF inscrito em um círculo \gamma sejam: X = AB \cap DE, Y = BC \cap EF e Z = CD \cap FA então X,Y e Z são colineares/alinhados.

pascalz.png

Prova:
- \angle ADC = \angle AFC...

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979 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Dom 18 Out, 2020 11:04
Demostração - Teorema de Schur para polinômios em Z[x]

Última msg por Deleted User 24633 « Sex 04 Set, 2020 00:08

por Deleted User 24633 » Sex 04 Set, 2020 00:08
Tópico criado há 666 dias

Seja P um polinômio com coeficientes inteiros não constante. Então o conjunto S de primos que divide pelo menos um elemento não nulo do conjunto \{ P(t): t \in \mathbb{Z} \} é infinito.

Demostração...

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826 Exibições

Última msg por Deleted User 24633
Sex 04 Set, 2020 00:08
Técnica olímpica - Teorema de Wilson estendido

Última msg por Ittalo25 « Qui 03 Set, 2020 20:19

por Ittalo25 » Qui 03 Set, 2020 20:19
Tópico criado há 666 dias

É um fato bem conhecido que se p é primo então: (p-1)! \equiv -1 \mod(p) , mas algo pouco comentado é que se n é composto e diferente de 4, então (n-1)! \equiv 0 \mod(n) . Primeiro vamos a conceitos...

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1078 Exibições

Última msg por Ittalo25
Qui 03 Set, 2020 20:19
Técnica olímpica - Lema da ceviana qualquer

Última msg por Ittalo25 « Qui 03 Set, 2020 19:12

por Ittalo25 » Qui 03 Set, 2020 19:12
Tópico criado há 666 dias

Depois de 3 anos vai mais um tópico desses, como o tempo passa rápido :D
Aceito sugestões por mensagem privada.

qualquer.png

Seja ABC um triângulo qualquer e a ceviana AP com P em BC, então...

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1023 Exibições

Última msg por Ittalo25
Qui 03 Set, 2020 19:12
Demonstração teorema de Reim

Última msg por FelipeMartin « Ter 01 Set, 2020 11:28

por FelipeMartin » Ter 01 Set, 2020 11:28
Tópico criado há 669 dias

O teorema de Reim é um teorema muito simples, mas muito conveniente e geral que frequentemente é utilizado na resolução de problemas. Seu enunciado é o seguinte:

Deixe dois círculos c_1 e c_2 se...

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865 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Ter 01 Set, 2020 11:28
Demonstração - Paralela as bases que divide trapézio em dois trapézios de mesma área(Geometria Plana)

Última msg por Deleted User 24633 « Seg 10 Ago, 2020 17:50
Respostas: 1
por Deleted User 24758 » Seg 27 Jul, 2020 21:32
Tópico criado há 704 dias
First post

Provar que a reta paralela as bases de um trapézio que o divide em outros dois trapézios de mesma área vale, em função das bases:
trapézio.png
c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

Observe que:...

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Olá KashinKoje . Outra demonstração seria a seguinte:

trapezio.png

Na figura P=AD \cap BC . Denote por T= e A= = . É imediato que \triangle APB \sim \triangle MPN cuja razão de semelhança é...

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1294 Exibições

Última msg por Deleted User 24633
Seg 10 Ago, 2020 17:50
Construir um terceiro círculo tangente a outros dois também tangentes entre si e todos tangentes a uma reta

Última msg por FelipeMartin « Dom 09 Ago, 2020 10:59

por FelipeMartin » Dom 09 Ago, 2020 10:59
Tópico criado há 692 dias

Vou demonstrar uma maneira simples de construir (com régua e compasso) um terceiro círculo \gamma tangente exteriormente a outros dois dados ( \gamma_1, \gamma_2 , também tangentes exteriormente) de...

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1106 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Dom 09 Ago, 2020 10:59

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