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Aviso Global l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Última msg por leozitz « Qui 03 Nov, 2022 11:16
Enviado em Maratonas de Matemática
Respostas: 82
por Ittalo25 » Qui 24 Set, 2020 23:03 » em Maratonas de Matemática
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Tópico criado há 1300 dias
First post

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...

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Solução do problema 81

sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)

a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
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Última msg por leozitz
Qui 03 Nov, 2022 11:16
Aviso Global ENEM 2017 Matemática Resolvida

Última msg por Jigsaw « Sáb 17 Nov, 2018 22:42
Enviado em TutorBrasil no YouTube
Respostas: 7
por caju » Qui 17 Mai, 2018 10:20 » em TutorBrasil no YouTube
Tópico criado há 2161 dias
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Olá a todos :)

Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .

Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...

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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...

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Última msg por Jigsaw
Sáb 17 Nov, 2018 22:42

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Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Última msg por geobson « Seg 26 Jun, 2023 15:44
Respostas: 6
por FelipeMartin » Sáb 08 Mai, 2021 21:55
Tópico criado há 1074 dias
First post

Dado o \triangle ABC ; seja O o seu incentro, sejam D,E e F os pontos de contato de seu incírculo com os lados BC, AC e AB respectivamente, seja G o pé da altura de B em relação à bissetriz interna...

Última msg

Mais um problema cuja solução requer conhecimento prévio deste belo teorema.

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Última msg por geobson
Seg 26 Jun, 2023 15:44
Demonstração - Desigualdade MA-MG via Termodinâmica

Última msg por παθμ « Seg 15 Mai, 2023 19:41

por παθμ » Seg 15 Mai, 2023 19:41
Tópico criado há 337 dias

Considere um conjunto de n corpos, com o i-ésimo corpo tendo uma temperatura inicial T_i . Todos os corpos possuem a mesma capacidade térmica C e eles constituem um sistema fechado.

Os corpos,...

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590 Exibições

Última msg por παθμ
Seg 15 Mai, 2023 19:41
Círculos tangentes entre si são homotéticos pelo ponto de contato

Última msg por FelipeMartin « Dom 30 Abr, 2023 15:03
Respostas: 3
por Auto Excluído (ID:12031) » Qua 26 Jun, 2019 23:34
Tópico criado há 1756 dias
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Sejam as circunferências c , centrada no ponto B e de raio r_c>0 , e d , centrada no ponto C e de raio r_d>0 , tangentes entre si em um ponto A (a definição usada é que as curvas são tangentes se, e...

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fizeram um artigo maravilhoso sobre esse tema aqui na wiki das olimpíadas, recomendo a todos que quiserem entender um pouco mais da homotetia, ficou bem completinho.

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3970 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Dom 30 Abr, 2023 15:03
Coordenadas Baricêntricas - formulário

Última msg por FelipeMartin « Ter 13 Set, 2022 22:27
Respostas: 1
por FelipeMartin » Seg 12 Set, 2022 23:40
Tópico criado há 582 dias
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Dado um triângulo \triangle ABC fixo no plano, pode-se estabelecer um exótico sistema de coordenadas no plano a partir dele.

1-) Seja O um ponto qualquer do plano, as coordenadas baricêntricas de um...

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Mais umas coisinhas. Deste link .

1-) Produto escalar entre dois vetores:

Dados os vetores \vec v = (x_1:y_1:z_1) e \vec{ w} = (x_2:y_2:z_2) . Então, o produto escalar entre eles é:

\vec v \cdot...

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1109 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Ter 13 Set, 2022 22:27
Demonstração - Teorema de Pascal

Última msg por FelipeMartin « Ter 06 Set, 2022 13:50
Respostas: 1
por FelipeMartin » Dom 18 Out, 2020 11:04
Tópico criado há 1276 dias
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Dado um hexágono ABCDEF inscrito em um círculo \gamma sejam: X = AB \cap DE, Y = BC \cap EF e Z = CD \cap FA então X,Y e Z são colineares/alinhados.

pascalz.png

Prova:
- \angle ADC = \angle AFC...

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errata:
na parte, bem no começo, que o Teorema de Ceva Trigonométrico nos garante que \angle AZX = \angle CZY e

na verdade a igualdade é \angle AZX = \angle FZY

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2069 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Ter 06 Set, 2022 13:50
Lema de Arquimedes - Demonstração

Última msg por FelipeMartin « Qui 03 Fev, 2022 09:51

por FelipeMartin » Qui 03 Fev, 2022 09:51
Tópico criado há 803 dias

Seja \gamma um semicírculo de diâmetro AB . Seja C um ponto na tangente a \gamma por B , seja CD tangente a \gamma por C , com D \in \gamma , seja E o pé da altura de D em relação a AB e F = AC \cap...

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Última msg por FelipeMartin
Qui 03 Fev, 2022 09:51
Definição de conjugados isogonais

Última msg por FelipeMartin « Qui 03 Fev, 2022 07:42
Respostas: 2
por FelipeMartin » Dom 18 Out, 2020 07:17
Tópico criado há 1276 dias
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Dado um triângulo \triangle ABC e, em seu interior, um ponto X podemos marcar os ângulos que as retas AX,BX e CX fazem com os lados do triângulo \triangle ABC :

isogonais1.png

\alpha = \angle...

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Uma prova mais geométrica da existência dos conjugados isogonais é a seguinte:

isogonaisdemo.png

Seja P um ponto qualquer no interior do \angle BAC (possivelmente fora do \triangle ABC ). Seja...

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2127 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Qui 03 Fev, 2022 07:42
Número de soluções inteiras positivas de uma equação linear

Última msg por Deleted User 23699 « Ter 23 Nov, 2021 09:34
Respostas: 1
por csmarcelo » Seg 02 Set, 2019 09:41
Tópico criado há 1688 dias
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Há um tempo atrás, nosso colega MateusQqMD demonstrou que o número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear é dado por P_{ \, m + k -1}^{ \, m, \,\, k-1} .

Aqui, irei demonstrar...

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Outro raciocínio:
x1 + ... + xp = n
posso escrever n como uma soma de vários 1
1 + 1 + 1 ... + 1
são n-1 sinais de +
mas x1 + ... + xp tem p-1 sinais de +
então tenho que escolher p-1 sinais de +...

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2702 Exibições

Última msg por Deleted User 23699
Ter 23 Nov, 2021 09:34
Demonstração - Parameshvara

Última msg por Deleted User 23699 « Qui 18 Nov, 2021 14:37
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » Qua 10 Jun, 2020 09:34
Tópico criado há 1406 dias
First post

Demonstração da fórmula de Parameshvara, que estabelece:

Seja ABCD um quadrilátero inscritível, onde AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = p e BD = q. O raio da circunferência circunscrita ao...

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OBS: A simples aplicação dessa fórmula levava ao resultado da questão 1 da segunda fase do ITA 2021.
A questão tem como enunciado:
Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio...

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2044 Exibições

Última msg por Deleted User 23699
Qui 18 Nov, 2021 14:37
Pontos Médios dos Lados de um Quadrilátero formam um Paralelogramo

Última msg por FelipeMartin « Ter 09 Nov, 2021 20:58
Respostas: 1
por Marcos » Sáb 21 Jul, 2012 21:30
Tópico criado há 4287 dias
First post

Demonstre que em um quadrilátero qualquer os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo .

Quadrilátero.gif

No quadrilátero ABCD sejam M , N , P e Q os pontos médios dos lados.
Em...

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sobre o tópico acima:
o primeiro erro de TEX corresponde a: \overline{AB}

o segundo erro de TEX corresponde a: \overline{AD}

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11767 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Ter 09 Nov, 2021 20:58
Prova do teorema de Dergiades

Última msg por FelipeMartin « Ter 15 Jun, 2021 02:55

por FelipeMartin » Ter 15 Jun, 2021 02:55
Tópico criado há 1037 dias

São dados:

- Um triângulo \triangle ABC
- Círculos c_1,c_2 e c_3 , tais que \{B,C\} \subset c_1, \{A,C\} \subset c_2 e \{A,B\} \subset c_3
- D,E e F são as segundas intersecções de c_2 \cap c_3,...

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1301 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Ter 15 Jun, 2021 02:55
Demonstração teorema dos 6 círculos

Última msg por FelipeMartin « Seg 07 Jun, 2021 08:30

por FelipeMartin » Seg 07 Jun, 2021 08:30
Tópico criado há 1044 dias

Dado o quadrilátero cíclico ABCD . Sejam c_1,c_2,c_3 e c_4 os círculos de diâmetro AB,BC,CD e DA respectivamente e sejam I,J,K e L os encontros destes 4 círculos com as diagonais AC e BD , conforme a...

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1189 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Seg 07 Jun, 2021 08:30
Demonstração - teorema das antiparalelas

Última msg por FelipeMartin « Qua 05 Mai, 2021 19:39

por FelipeMartin » Qua 05 Mai, 2021 19:39
Tópico criado há 1077 dias

aqe.png

pelo teorema de Tales:

\frac{DA}{DB} = \frac ba

por semelhança:

\frac{DE}{DA} = \frac xb

Potência do ponto D :

DE^2 = DA \cdot DB \implies \frac{x^2}{b^2} DA^2 = DA \cdot \frac ab...

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1410 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Qua 05 Mai, 2021 19:39
Demonstração - Fórmula de Bretschneider

Última msg por Deleted User 23699 « Seg 12 Abr, 2021 17:38
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » Ter 06 Abr, 2021 09:42
Tópico criado há 1106 dias
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Demonstração existente no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria, álgebra e uma pequena parte da demonstração da fórmula de Brahmagupta, como forma de encurtar nosso...

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Titu Andreescu - Números complexos de A a Z, pág 225, problema 23
Prove que em qualquer quadrilátero ABCD,
AC^2.BD^2=AB^2.CD^2+AD^2.BC^2-2AB.BC.CD.DA.cos(A+C)
(Relação de Bretschneider ou primeira...

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1945 Exibições

Última msg por Deleted User 23699
Seg 12 Abr, 2021 17:38
(Demonstração) Distancia entre o Incentro e o Baricentro

Última msg por Deleted User 23699 « Seg 12 Abr, 2021 08:38
Respostas: 1
por jvmago » Sáb 06 Jun, 2020 14:48
Tópico criado há 1410 dias
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Seja ABC um triangulo de lados AB=c,BC=a,AC=b vamos traçar as medianas AM ,CN , e as bissetrizes CL,AK com isso determinamos que IG=x ONDE G é o baricentro e I o incentro

AGORA VAMOS COMEÇAR DE FATO...

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Demonstração por complexos/analítica usando coordenadas baricêntricas:

Teorema: Os pontos A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2 estão situados sobre os lados BC, CA, AB do triângulo ABC tais que as retas...

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2182 Exibições

Última msg por Deleted User 23699
Seg 12 Abr, 2021 08:38
(Demonstração) DIstancia entre o Circuncentro e o Ortocentro

Última msg por Deleted User 23699 « Seg 12 Abr, 2021 08:23
Respostas: 1
por jvmago » Sáb 06 Jun, 2020 16:39
Tópico criado há 1410 dias
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Esboçe um \Delta ABC qualquer tal que R,r são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivamente, O o circuncentro, AB=c,AC=b,BC=a e H o ortocentro PARTIU!!

PEDS-SE OH=x

Trace as...

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Demonstração por complexos/analítica

Sejam três pontos A(a), B(b), C(c) não colineares
Assumindo que o circuncentro O é a origem do plano complexo, a coordenada de H é Z_h=a+b+c
Usando o produto...

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2358 Exibições

Última msg por Deleted User 23699
Seg 12 Abr, 2021 08:23
(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro

Última msg por Deleted User 23699 « Seg 12 Abr, 2021 08:10
Respostas: 1
por jvmago » Sáb 06 Jun, 2020 13:38
Tópico criado há 1410 dias
First post

Esboçe um triangulo ABC qualquer tal que R,r são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivament, I seja seu incentro, O o circuncentro, D o ponto de tangencia, em BC , da...

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Demonstração por complexos/analítica, conforme apresentado por Titu Andreescu:

Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC...

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2084 Exibições

Última msg por Deleted User 23699
Seg 12 Abr, 2021 08:10
Demonstração - Fórmula de Brahmagupta

Última msg por iammaribrg « Ter 06 Abr, 2021 09:46
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » Ter 06 Abr, 2021 09:21
Tópico criado há 1106 dias
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Demonstração existente no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria e álgebra.

Queremos demonstrar que a área de um quadrilátero inscritível (aquele que pode ser inscrito...

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Zhadnyy legal! Valiosíssimo pra ITA/IME, creio eu

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1923 Exibições

Última msg por iammaribrg
Ter 06 Abr, 2021 09:46
Demonstração - Fórmula de Heron

Última msg por Deleted User 23699 « Ter 06 Abr, 2021 08:59

por Deleted User 23699 » Ter 06 Abr, 2021 08:59
Tópico criado há 1106 dias

Demonstração rápida, publicada no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria básica e álgebra.

Queremos demonstrar que a área de um triângulo qualquer pode ser obtida...

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1398 Exibições

Última msg por Deleted User 23699
Ter 06 Abr, 2021 08:59
Demonstração - Reta de Newton

Última msg por Deleted User 23699 « Sex 26 Mar, 2021 20:29

por Deleted User 23699 » Sex 26 Mar, 2021 20:29
Tópico criado há 1117 dias

Seja ABCD um quadrilátero tal que BA e CD intersectam-se em E, AD e BC intersectam-se em F e sejam N, L e M os pontos médios de EF, AC e BD, respectivamente.
Os pontos N, L e M são colineares e...

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1257 Exibições

Última msg por Deleted User 23699
Sex 26 Mar, 2021 20:29
(Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Última msg por Renadeca « Qui 25 Mar, 2021 14:37
Respostas: 5
por jvmago » Dom 21 Jun, 2020 15:28
Tópico criado há 1395 dias
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unnamed.jpg É chegado o momento de fazer geometria! Espero com esse post sanar a duvida de muitos curiosos sobre o assunto, feito isso PARTIU!

Sejam A (a), B (b) e C (c) três círculos tangentes...

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Boa tarde, valeu gentee...

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3248 Exibições

Última msg por Renadeca
Qui 25 Mar, 2021 14:37
Técnica olímpica - Lifting the exponent (LTE)

Última msg por Ittalo25 « Ter 12 Jan, 2021 22:23
Respostas: 1
por Ittalo25 » Ter 12 Jan, 2021 22:15
Tópico criado há 1190 dias
First post

Definição: Seja p um número primo. Se e_p(a)=k , então p^k \mid a mas p^{k+1} \nmid a . Ou seja, k é a maior potência de p que divide a.

Propriedade 1: Se p é primo ímpar, p \nmid a , p \nmid b ,...

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Babi123 , null

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2443 Exibições

Última msg por Ittalo25
Ter 12 Jan, 2021 22:23
(Demonstração) Relações entre elementos em um triângulo qualquer

Última msg por jvmago « Sex 25 Dez, 2020 14:26
Respostas: 1
por jvmago » Sex 25 Dez, 2020 14:20
Tópico criado há 1208 dias
First post

Bom senhores a muito tempo eu desejo e digo que iria fazer esse tópico porém eu precisa fazer algo bem consistente, com coisas simples e outras nem tanto assim :lol: . As propriedades que aparecerão...

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Como de costume, PIMBADA :wink:

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1776 Exibições

Última msg por jvmago
Sex 25 Dez, 2020 14:26
Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo

Última msg por FelipeMartin « Sex 25 Dez, 2020 09:25
Respostas: 1
por MatheusBorges » Seg 30 Jul, 2018 14:56
Tópico criado há 2087 dias
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Demonstre que em todo triângulo, vale a seguinte relação:
ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr , sendo a, b e c os lados do triângulo, r o raio da circunferência inscrita, R o raio da circunscrita e p o...

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aliás esse tópico poderia estar nas demonstrações, não?

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2268 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Sex 25 Dez, 2020 09:25
(Demonstração) Generalização de áreas em um triângulo qualquer

Última msg por jvmago « Dom 06 Dez, 2020 21:01

por jvmago » Dom 06 Dez, 2020 21:01
Tópico criado há 1227 dias

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Esse Teorema acabará de uma vez por todas com todo e qualquer Problema nessa construção!

Sejam a,b,c,d as áreas...

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1432 Exibições

Última msg por jvmago
Dom 06 Dez, 2020 21:01
(Demonstração) Teorema do Excentro

Última msg por jvmago « Dom 06 Dez, 2020 20:37

por jvmago » Dom 06 Dez, 2020 20:37
Tópico criado há 1227 dias

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Este será mais um dos tópicos onde eu busco salientar e compartilhar com o mundo minhas pesquisas sobre relações...

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1410 Exibições

Última msg por jvmago
Dom 06 Dez, 2020 20:37
Razão anarmônica na reta (cross-ratio) 1

Última msg por Ittalo25 « Dom 25 Out, 2020 01:59
Respostas: 1
por Auto Excluído (ID:12031) » Qua 16 Jan, 2019 03:22
Tópico criado há 1918 dias
First post

Eu não podia deixar de fazer esses últimos dois tópicos depois de ter começado os outros, desculpem qualquer coisa.
Começamos definindo segmentos orientados, atribuímos um sinal ao segmento...

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Aqui uma questão bem interessante sobre razão anarmônica (cross-ratio)

Olympiad Geometry Problem #12: Isosceles Triangle, Angle Bisector, Midpoint

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1991 Exibições

Última msg por Ittalo25
Dom 25 Out, 2020 01:59
Demostração - Teorema de Schur para polinômios em Z[x]

Última msg por Deleted User 24633 « Sex 04 Set, 2020 00:08

por Deleted User 24633 » Sex 04 Set, 2020 00:08
Tópico criado há 1321 dias

Seja P um polinômio com coeficientes inteiros não constante. Então o conjunto S de primos que divide pelo menos um elemento não nulo do conjunto \{ P(t): t \in \mathbb{Z} \} é infinito.

Demostração...

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1672 Exibições

Última msg por Deleted User 24633
Sex 04 Set, 2020 00:08
Técnica olímpica - Teorema de Wilson estendido

Última msg por Ittalo25 « Qui 03 Set, 2020 20:19

por Ittalo25 » Qui 03 Set, 2020 20:19
Tópico criado há 1321 dias

É um fato bem conhecido que se p é primo então: (p-1)! \equiv -1 \mod(p) , mas algo pouco comentado é que se n é composto e diferente de 4, então (n-1)! \equiv 0 \mod(n) . Primeiro vamos a conceitos...

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2045 Exibições

Última msg por Ittalo25
Qui 03 Set, 2020 20:19
Técnica olímpica - Lema da ceviana qualquer

Última msg por Ittalo25 « Qui 03 Set, 2020 19:12

por Ittalo25 » Qui 03 Set, 2020 19:12
Tópico criado há 1321 dias

Depois de 3 anos vai mais um tópico desses, como o tempo passa rápido :D
Aceito sugestões por mensagem privada.

qualquer.png

Seja ABC um triângulo qualquer e a ceviana AP com P em BC, então...

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2181 Exibições

Última msg por Ittalo25
Qui 03 Set, 2020 19:12

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