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Aviso Global l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Última mensagem por leozitz « 03 Nov 2022, 11:16
Enviado em Maratonas de Matemática
Respostas: 82
por Ittalo25 » 24 Set 2020, 23:03 » em Maratonas de Matemática

Primeira Postagem

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...

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Solução do problema 81

sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)

a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...

82 Respostas

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Última mensagem por leozitz
03 Nov 2022, 11:16
Aviso Global ENEM 2017 Matemática Resolvida

Última mensagem por Jigsaw « 17 Nov 2018, 22:42
Enviado em TutorBrasil no YouTube
Respostas: 7
por caju » 17 Mai 2018, 10:20 » em TutorBrasil no YouTube

Primeira Postagem

Olá a todos :)

Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .

Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...

Última mensagem

Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...

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Última mensagem por Jigsaw
17 Nov 2018, 22:42

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Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Última mensagem por geobson « 26 Jun 2023, 15:44
Respostas: 6
por FelipeMartin » 08 Mai 2021, 21:55

Primeira Postagem

Dado o \triangle ABC ; seja O o seu incentro, sejam D,E e F os pontos de contato de seu incírculo com os lados BC, AC e AB respectivamente, seja G o pé da altura de B em relação à bissetriz interna...

Última mensagem

Mais um problema cuja solução requer conhecimento prévio deste belo teorema.

6 Respostas

3002 Exibições

Última mensagem por geobson
26 Jun 2023, 15:44
Demonstração - Desigualdade MA-MG via Termodinâmica

Última mensagem por παθμ « 15 Mai 2023, 19:41

por παθμ » 15 Mai 2023, 19:41

Considere um conjunto de n corpos, com o i-ésimo corpo tendo uma temperatura inicial T_i . Todos os corpos possuem a mesma capacidade térmica C e eles constituem um sistema fechado.

Os corpos,...

0 Respostas

665 Exibições

Última mensagem por παθμ
15 Mai 2023, 19:41
Círculos tangentes entre si são homotéticos pelo ponto de contato

Última mensagem por FelipeMartin « 30 Abr 2023, 15:03
Respostas: 3
por Auto Excluído (ID:12031) » 26 Jun 2019, 23:34

Primeira Postagem

Sejam as circunferências c , centrada no ponto B e de raio r_c>0 , e d , centrada no ponto C e de raio r_d>0 , tangentes entre si em um ponto A (a definição usada é que as curvas são tangentes se, e...

Última mensagem

fizeram um artigo maravilhoso sobre esse tema aqui na wiki das olimpíadas, recomendo a todos que quiserem entender um pouco mais da homotetia, ficou bem completinho.

3 Respostas

4057 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
30 Abr 2023, 15:03
Coordenadas Baricêntricas - formulário

Última mensagem por FelipeMartin « 13 Set 2022, 22:27
Respostas: 1
por FelipeMartin » 12 Set 2022, 23:40

Primeira Postagem

Dado um triângulo \triangle ABC fixo no plano, pode-se estabelecer um exótico sistema de coordenadas no plano a partir dele.

1-) Seja O um ponto qualquer do plano, as coordenadas baricêntricas de um...

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Mais umas coisinhas. Deste link .

1-) Produto escalar entre dois vetores:

Dados os vetores \vec v = (x_1:y_1:z_1) e \vec{ w} = (x_2:y_2:z_2) . Então, o produto escalar entre eles é:

\vec v \cdot...

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1170 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
13 Set 2022, 22:27
Demonstração - Teorema de Pascal

Última mensagem por FelipeMartin « 06 Set 2022, 13:50
Respostas: 1
por FelipeMartin » 18 Out 2020, 11:04

Primeira Postagem

Dado um hexágono ABCDEF inscrito em um círculo \gamma sejam: X = AB \cap DE, Y = BC \cap EF e Z = CD \cap FA então X,Y e Z são colineares/alinhados.

pascalz.png

Prova:
- \angle ADC = \angle AFC...

Última mensagem

errata:
na parte, bem no começo, que o Teorema de Ceva Trigonométrico nos garante que \angle AZX = \angle CZY e

na verdade a igualdade é \angle AZX = \angle FZY

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Última mensagem por FelipeMartin
06 Set 2022, 13:50
Lema de Arquimedes - Demonstração

Última mensagem por FelipeMartin « 03 Fev 2022, 09:51

por FelipeMartin » 03 Fev 2022, 09:51

Seja \gamma um semicírculo de diâmetro AB . Seja C um ponto na tangente a \gamma por B , seja CD tangente a \gamma por C , com D \in \gamma , seja E o pé da altura de D em relação a AB e F = AC \cap...

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1393 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
03 Fev 2022, 09:51
Definição de conjugados isogonais

Última mensagem por FelipeMartin « 03 Fev 2022, 07:42
Respostas: 2
por FelipeMartin » 18 Out 2020, 07:17

Primeira Postagem

Dado um triângulo \triangle ABC e, em seu interior, um ponto X podemos marcar os ângulos que as retas AX,BX e CX fazem com os lados do triângulo \triangle ABC :

isogonais1.png

\alpha = \angle...

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Uma prova mais geométrica da existência dos conjugados isogonais é a seguinte:

isogonaisdemo.png

Seja P um ponto qualquer no interior do \angle BAC (possivelmente fora do \triangle ABC ). Seja...

2 Respostas

2287 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
03 Fev 2022, 07:42
Número de soluções inteiras positivas de uma equação linear

Última mensagem por Deleted User 23699 « 23 Nov 2021, 09:34
Respostas: 1
por csmarcelo » 02 Set 2019, 09:41

Primeira Postagem

Há um tempo atrás, nosso colega MateusQqMD demonstrou que o número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear é dado por P_{ \, m + k -1}^{ \, m, \,\, k-1} .

Aqui, irei demonstrar...

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Outro raciocínio:
x1 + ... + xp = n
posso escrever n como uma soma de vários 1
1 + 1 + 1 ... + 1
são n-1 sinais de +
mas x1 + ... + xp tem p-1 sinais de +
então tenho que escolher p-1 sinais de +...

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2847 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
23 Nov 2021, 09:34
Demonstração - Parameshvara

Última mensagem por Deleted User 23699 « 18 Nov 2021, 14:37
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 10 Jun 2020, 09:34

Primeira Postagem

Demonstração da fórmula de Parameshvara, que estabelece:

Seja ABCD um quadrilátero inscritível, onde AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = p e BD = q. O raio da circunferência circunscrita ao...

Última mensagem

OBS: A simples aplicação dessa fórmula levava ao resultado da questão 1 da segunda fase do ITA 2021.
A questão tem como enunciado:
Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio...

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2149 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
18 Nov 2021, 14:37
Pontos Médios dos Lados de um Quadrilátero formam um Paralelogramo

Última mensagem por FelipeMartin « 09 Nov 2021, 20:58
Respostas: 1
por Marcos » 21 Jul 2012, 21:30

Primeira Postagem

Demonstre que em um quadrilátero qualquer os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo .

Quadrilátero.gif

No quadrilátero ABCD sejam M , N , P e Q os pontos médios dos lados.
Em...

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sobre o tópico acima:
o primeiro erro de TEX corresponde a: \overline{AB}

o segundo erro de TEX corresponde a: \overline{AD}

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11904 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
09 Nov 2021, 20:58
Prova do teorema de Dergiades

Última mensagem por FelipeMartin « 15 Jun 2021, 02:55

por FelipeMartin » 15 Jun 2021, 02:55

São dados:

- Um triângulo \triangle ABC
- Círculos c_1,c_2 e c_3 , tais que \{B,C\} \subset c_1, \{A,C\} \subset c_2 e \{A,B\} \subset c_3
- D,E e F são as segundas intersecções de c_2 \cap c_3,...

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1430 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
15 Jun 2021, 02:55
Demonstração teorema dos 6 círculos

Última mensagem por FelipeMartin « 07 Jun 2021, 08:30

por FelipeMartin » 07 Jun 2021, 08:30

Dado o quadrilátero cíclico ABCD . Sejam c_1,c_2,c_3 e c_4 os círculos de diâmetro AB,BC,CD e DA respectivamente e sejam I,J,K e L os encontros destes 4 círculos com as diagonais AC e BD , conforme a...

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1270 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
07 Jun 2021, 08:30
Demonstração - teorema das antiparalelas

Última mensagem por FelipeMartin « 05 Mai 2021, 19:39

por FelipeMartin » 05 Mai 2021, 19:39

aqe.png

pelo teorema de Tales:

\frac{DA}{DB} = \frac ba

por semelhança:

\frac{DE}{DA} = \frac xb

Potência do ponto D :

DE^2 = DA \cdot DB \implies \frac{x^2}{b^2} DA^2 = DA \cdot \frac ab...

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1514 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
05 Mai 2021, 19:39
Demonstração - Fórmula de Bretschneider

Última mensagem por Deleted User 23699 « 12 Abr 2021, 17:38
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 06 Abr 2021, 09:42

Primeira Postagem

Demonstração existente no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria, álgebra e uma pequena parte da demonstração da fórmula de Brahmagupta, como forma de encurtar nosso...

Última mensagem

Titu Andreescu - Números complexos de A a Z, pág 225, problema 23
Prove que em qualquer quadrilátero ABCD,
AC^2.BD^2=AB^2.CD^2+AD^2.BC^2-2AB.BC.CD.DA.cos(A+C)
(Relação de Bretschneider ou primeira...

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2101 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
12 Abr 2021, 17:38
(Demonstração) Distancia entre o Incentro e o Baricentro

Última mensagem por Deleted User 23699 « 12 Abr 2021, 08:38
Respostas: 1
por jvmago » 06 Jun 2020, 14:48

Primeira Postagem

Seja ABC um triangulo de lados AB=c,BC=a,AC=b vamos traçar as medianas AM ,CN , e as bissetrizes CL,AK com isso determinamos que IG=x ONDE G é o baricentro e I o incentro

AGORA VAMOS COMEÇAR DE FATO...

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Demonstração por complexos/analítica usando coordenadas baricêntricas:

Teorema: Os pontos A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2 estão situados sobre os lados BC, CA, AB do triângulo ABC tais que as retas...

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2324 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
12 Abr 2021, 08:38
(Demonstração) DIstancia entre o Circuncentro e o Ortocentro

Última mensagem por Deleted User 23699 « 12 Abr 2021, 08:23
Respostas: 1
por jvmago » 06 Jun 2020, 16:39

Primeira Postagem

Esboçe um \Delta ABC qualquer tal que R,r são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivamente, O o circuncentro, AB=c,AC=b,BC=a e H o ortocentro PARTIU!!

PEDS-SE OH=x

Trace as...

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Demonstração por complexos/analítica

Sejam três pontos A(a), B(b), C(c) não colineares
Assumindo que o circuncentro O é a origem do plano complexo, a coordenada de H é Z_h=a+b+c
Usando o produto...

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2503 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
12 Abr 2021, 08:23
(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro

Última mensagem por Deleted User 23699 « 12 Abr 2021, 08:10
Respostas: 1
por jvmago » 06 Jun 2020, 13:38

Primeira Postagem

Esboçe um triangulo ABC qualquer tal que R,r são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivament, I seja seu incentro, O o circuncentro, D o ponto de tangencia, em BC , da...

Última mensagem

Demonstração por complexos/analítica, conforme apresentado por Titu Andreescu:

Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC...

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2216 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
12 Abr 2021, 08:10
Demonstração - Fórmula de Brahmagupta

Última mensagem por iammaribrg « 06 Abr 2021, 09:46
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 06 Abr 2021, 09:21

Primeira Postagem

Demonstração existente no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria e álgebra.

Queremos demonstrar que a área de um quadrilátero inscritível (aquele que pode ser inscrito...

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Zhadnyy legal! Valiosíssimo pra ITA/IME, creio eu

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2079 Exibições

Última mensagem por iammaribrg
06 Abr 2021, 09:46
Demonstração - Fórmula de Heron

Última mensagem por Deleted User 23699 « 06 Abr 2021, 08:59

por Deleted User 23699 » 06 Abr 2021, 08:59

Demonstração rápida, publicada no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria básica e álgebra.

Queremos demonstrar que a área de um triângulo qualquer pode ser obtida...

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1522 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
06 Abr 2021, 08:59
Demonstração - Reta de Newton

Última mensagem por Deleted User 23699 « 26 Mar 2021, 20:29

por Deleted User 23699 » 26 Mar 2021, 20:29

Seja ABCD um quadrilátero tal que BA e CD intersectam-se em E, AD e BC intersectam-se em F e sejam N, L e M os pontos médios de EF, AC e BD, respectivamente.
Os pontos N, L e M são colineares e...

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1371 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
26 Mar 2021, 20:29
(Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Última mensagem por Renadeca « 25 Mar 2021, 14:37
Respostas: 5
por jvmago » 21 Jun 2020, 15:28

Primeira Postagem

unnamed.jpg É chegado o momento de fazer geometria! Espero com esse post sanar a duvida de muitos curiosos sobre o assunto, feito isso PARTIU!

Sejam A (a), B (b) e C (c) três círculos tangentes...

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Boa tarde, valeu gentee...

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3389 Exibições

Última mensagem por Renadeca
25 Mar 2021, 14:37
Técnica olímpica - Lifting the exponent (LTE)

Última mensagem por Ittalo25 « 12 Jan 2021, 22:23
Respostas: 1
por Ittalo25 » 12 Jan 2021, 22:15

Primeira Postagem

Definição: Seja p um número primo. Se e_p(a)=k , então p^k \mid a mas p^{k+1} \nmid a . Ou seja, k é a maior potência de p que divide a.

Propriedade 1: Se p é primo ímpar, p \nmid a , p \nmid b ,...

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Babi123 , null

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2600 Exibições

Última mensagem por Ittalo25
12 Jan 2021, 22:23
(Demonstração) Relações entre elementos em um triângulo qualquer

Última mensagem por jvmago « 25 Dez 2020, 14:26
Respostas: 1
por jvmago » 25 Dez 2020, 14:20

Primeira Postagem

Bom senhores a muito tempo eu desejo e digo que iria fazer esse tópico porém eu precisa fazer algo bem consistente, com coisas simples e outras nem tanto assim :lol: . As propriedades que aparecerão...

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Como de costume, PIMBADA :wink:

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1881 Exibições

Última mensagem por jvmago
25 Dez 2020, 14:26
Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo

Última mensagem por FelipeMartin « 25 Dez 2020, 09:25
Respostas: 1
por MatheusBorges » 30 Jul 2018, 14:56

Primeira Postagem

Demonstre que em todo triângulo, vale a seguinte relação:
ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr , sendo a, b e c os lados do triângulo, r o raio da circunferência inscrita, R o raio da circunscrita e p o...

Última mensagem

aliás esse tópico poderia estar nas demonstrações, não?

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2402 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
25 Dez 2020, 09:25
(Demonstração) Generalização de áreas em um triângulo qualquer

Última mensagem por jvmago « 06 Dez 2020, 21:01

por jvmago » 06 Dez 2020, 21:01

USER_SCOPED_TEMP_DATA_MSGR_PHOTO_FOR_UPLOAD_1607294812295_6741483060392158465.jpeg

Esse Teorema acabará de uma vez por todas com todo e qualquer Problema nessa construção!

Sejam a,b,c,d as áreas...

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1546 Exibições

Última mensagem por jvmago
06 Dez 2020, 21:01
(Demonstração) Teorema do Excentro

Última mensagem por jvmago « 06 Dez 2020, 20:37

por jvmago » 06 Dez 2020, 20:37

USER_SCOPED_TEMP_DATA_MSGR_PHOTO_FOR_UPLOAD_1607221578792_6741175896814247771.jpeg

Este será mais um dos tópicos onde eu busco salientar e compartilhar com o mundo minhas pesquisas sobre relações...

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1536 Exibições

Última mensagem por jvmago
06 Dez 2020, 20:37
Razão anarmônica na reta (cross-ratio) 1

Última mensagem por Ittalo25 « 25 Out 2020, 01:59
Respostas: 1
por Auto Excluído (ID:12031) » 16 Jan 2019, 03:22

Primeira Postagem

Eu não podia deixar de fazer esses últimos dois tópicos depois de ter começado os outros, desculpem qualquer coisa.
Começamos definindo segmentos orientados, atribuímos um sinal ao segmento...

Última mensagem

Aqui uma questão bem interessante sobre razão anarmônica (cross-ratio)

Olympiad Geometry Problem #12: Isosceles Triangle, Angle Bisector, Midpoint

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2076 Exibições

Última mensagem por Ittalo25
25 Out 2020, 01:59
Demostração - Teorema de Schur para polinômios em Z[x]

Última mensagem por Deleted User 24633 « 04 Set 2020, 00:08

por Deleted User 24633 » 04 Set 2020, 00:08

Seja P um polinômio com coeficientes inteiros não constante. Então o conjunto S de primos que divide pelo menos um elemento não nulo do conjunto \{ P(t): t \in \mathbb{Z} \} é infinito.

Demostração...

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1803 Exibições

Última mensagem por Deleted User 24633
04 Set 2020, 00:08
Técnica olímpica - Teorema de Wilson estendido

Última mensagem por Ittalo25 « 03 Set 2020, 20:19

por Ittalo25 » 03 Set 2020, 20:19

É um fato bem conhecido que se p é primo então: (p-1)! \equiv -1 \mod(p) , mas algo pouco comentado é que se n é composto e diferente de 4, então (n-1)! \equiv 0 \mod(n) . Primeiro vamos a conceitos...

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2246 Exibições

Última mensagem por Ittalo25
03 Set 2020, 20:19
Técnica olímpica - Lema da ceviana qualquer

Última mensagem por Ittalo25 « 03 Set 2020, 19:12

por Ittalo25 » 03 Set 2020, 19:12

Depois de 3 anos vai mais um tópico desses, como o tempo passa rápido :D
Aceito sugestões por mensagem privada.

qualquer.png

Seja ABC um triângulo qualquer e a ceviana AP com P em BC, então...

0 Respostas

2391 Exibições

Última mensagem por Ittalo25
03 Set 2020, 19:12

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