Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do problema 81
sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)
a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
Um cubo de madeira, pintado de vermelho, foi serrado em 27 cubos menores iguais e as faces desses cubos ainda não pintadas oforam de branco. Qual é a razão entre a área da superfície total pintada em...
Os inteiros positivos 30, 72 e N possuem a propriedade de que o produto de quaisquer dois é divisível pelo terceiro.Qual o menor valor possível de N ?
a)60
b)30
c)72
d)360
e)6
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72=2^3.3^2
30=2.3.5
30.72=2^4.3^3.5
Conclui-se que N deve ter fatores 2, 3 e 5. O menor valor será quando esses fatores só aparecerem uma única vez.
N=2^x.3^y.5^z
Quando um objeto percorre uma certa distância d em um intervalo de tempo t, dizemos que sua velocidade media, v, e a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, ou seja, v = d/t. Por exemplo,...
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Se nos últimos 3 km sua velocidade foi de 12 km/h, logo o tempo gasto foi: \Delta t_2=\frac{3}{12} \ h .
No primeiro trecho, de 15 km, o o tempo foi de \Delta...
Um certo jogo utiliza um tabuleiro 4 x 4 com as casas numeradas de 1 a 16,
como representado na figura a seguir. Uma peça do jogo pode ser movida, uma casa de cada vez, obedecendo a duas regras:
(i)...
O número de valores inteiros de x para os quais a fração \frac{x+99}{x+3} é um número inteiro, é:
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Olá victoralbino .Observe a solução:
Podemos reescrever a fração dada como sendo \frac{x+99}{x+3}=\frac{x+3+96}{x+3}=\frac{x + 3}{x + 3}+\frac{96}{x + 3}=1+\frac{96}{\underbrace{(x+3)}_{D_{(96)}}}...
No planeta POT o número de horas por dia é igual a número de dias por semana, que é igual ao número de semanas por mês, que é igual ao número de meses por ano. Sabendo que em POT há 4096 horas por...
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Olá Professor .Observe a solução:
Em 1 dia = h horas.
Em uma semana, igual a h dias, serão h.h horas
Em um mês, igual a h semanas, serão h.h.h horas.
Em um ano, igual a h meses, serão h^2.h^2 horas...
As figuras a seguir representam a sequência de passos de uma dobradura de papel, iniciando-se com um quadrado com área de 100 cm^{2} . Primeiro, dois vértices opostos foram dobrados, ao longo das...
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Vamos dividir a área em duas partes. Primeira parte a área do triângulo. Segunda parte a área do retângulo.
Primeira parte.
Vamos encontrar a diagonal. A área do losango é 100 então o lado vale 10....
Um quadrado de papel, com area de 100 cm^{2} foi dobrado como indica a figura a seguir, de modo que dois lados opostos foram levados sobre uma diagonal do quadrado. Determine a área do paralelogramo...
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Oi. Eu não sei postar foto então vou explicar como eu fiz.
Vamos chamar os vértices do quadrado de A, B, C e D. Com B e D sendo dobrados E encostados na diagonal indicada pelas setas da figura. Os...
Considere todos os numeros naturais de quatro algarismos a_{1}a_{2}a_{3}a_{4} , cujo quadrado tenha sete algarismos b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}b_{6}b_{7} tais que b_{1} = a_{1}^{2}
, b_{2} = 2 a_{2}...
Digamos que um número natural n é joia se puder ser escrito como uma soma de outros número naturais, de modo que a soma dos inversos dessas parcelas é igual a 1 . Por exemplo,
Um número inteiro não negativo é dito palíndromo se ele lido da esquerda para a direita é igual quando lido da direita para a esquerda. Por exemplo 121, 0, 2002 e 4 são palíndromos. O número de...
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Para 4 algarismos estava fazendo: 9 x 10 x 10 x 1 = 900
Pois, mas como queremos que o numero seja um palíndromo, depois de escolhidos o 1o e 2o algarismo, obrigatoriamente o 3o algarismo tem que...
Seja ABC um triângulo isósceles com AB=AC e Â=30. Seja D o ponto médio da base BC. Considera-se o ponto P no segmento AD e um ponto Q no do AB tal que PB=PQ.
Calcule a medida do ângulo PQC.
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Veja que o ponto P é incentro do triângulo, pois é o encontro de duas bissetrizes. Além do mais, pelo enunciado, o triângulo BPQ é isósceles, então se você traçar uma altura, está irá dividir a base...
A Razão Entre o perímetro de um quadrilátero e o comprimento de uma circunferência inscrita nesse polígono(tangente aos quatro lados) é 4;3. Qual a Razão entre a área do quadrilátero e área desse...
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Duas tangentes ao círculo partindo do mesmo ponto são congruentes. Chamei de a, b, c, d.
Daí são formados esses triângulo retângulos congruentes tomados dois a dois. (Pelo caso LAL).
Seja ABC um triângulo escaleno e AD , BE e CF as bissetrizes internas, com D sobre BC , E sobre AC e F sobre AB . É dado que o ângulo AFE é igual ao ângulo ADC . Calcule a medida do ângulo BCA .
Definimos n!=n.(n-1)(n-2) \dots 3.2.1 .(Isto é, o produto dos números naturais desde 1 até n ). Para cada natural n , seja a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!} .Se k é o menor número natural para o qual o...
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Pensei da seguinte forma , até chegar na resposta, que parece ser a mais óbvia, e eu chutaria se n conseguisse pensar ...
Temos o produto de 10 números consecutivos, e como a ideia inicial ali...
Se a é um inteiro positivo e pode ser expresso pela soma de três quadrados de números inteiros positivos. Prove que a^{2} também pode ser expresso pela soma de três quadrados de números inteiros...
Um ponto P pertence ao plano de um dado quadrado de lado L. Os vértices do quadrado são A, B, C e D tomados no sentido anti-horário. Sejam u, v, W as distâncias de P a A, B, C. Qual maior distância...
(EUA)- Um ponto P pertence ao plano de um dado quadrado de lado L. Os vértices do quadrado são A, B, C e D, tomados no sentido anti-horário. Sejam u, v e w as distâncias de P a A, B, C. Qual a maior...
O avô tem três boinas e um boné. Quando ele vai na padaria, ele escolhe um deles ao acaso. Supondo que uma vez em três, ele compra pão de fôrma e que duas em cinco, ele esquece de colocar seus...
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São três boinas e um boné. Dessa forma, ele tem \frac{3}{4} de chance de usar uma boina.
\frac{1}{3} ele compra pão de fôrma. Portanto, a chance de não comprar este pão é de \frac{2}{3} ....
(Gazeta Matemática, Romênia) Sejam a, b \in\mathbb{Z} . Sabendo que a equação (ax- b)^2 + (bx- a)^2 = x , tem uma raiz inteira, encontre os valores de suas raízes.
(OBM) Mostre que a equação x^2+y^2+z^2=3xyz tem infinitas soluções onde x,y,z\in\mathbb{Z} .
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Fixemos x e y, obtendo uma equação de segundo grau em z:
x^2+y^2+z^2=3xyz \rightarrow z^2 - 3xyz + (x^2+z^2)=0
Seja a terna (a,b,c) solução da equação, então se fizermos:
z^2-3abz+(a^2+b^2)=0...
