Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do problema 81
sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)
a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
prove que existe um real c > 0 tal que: entre quaisquer n inteiros positivos distintos, n \ge 3 a gente pode selecionar 3 tal que o mmc deles é maior ou igual a c\cdot n^{2,99}
Determine todas as quádruplas de inteiros positivos (p,q,a,b) , onde p e q são números primos e a>1 , de tal modo que: p^a=1+5q^b .
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leozitz , ah é verdade, pensei umas bobagens porque os inteiros x,y podem ser negativos, mas, no caso de 5 ser primo e estarmos com 1 mod 5, creio que esteja tudo certo
Para todo inteiro de (n+1) a 2n, inclusive (n natural), calculamos o maior divisor ímpar e somamos todos esses divisores. Prove que a soma obtida é n².
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vamos usar indução.
f(x) = maior divisor ímpar de x.
por hipótese \sum_{k = n+1}^{2n}f(k) = n^2 e queremos descobrir \sum_{k = n+2}^{2n+2}f(k) .
Para cada inteiro positivo n , seja s(n) a soma dos quadrados dos algarismos de n . Por exemplo s(15)=1^2+5^2=26 . Determine todos os inteiros n\geq1 tal que s(n)=n .
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n = \overline{x_kx_{k-1}...x_1x_0}_{(10)} = 10^{k}x_k + 10^{k-1}x_{k-1} + ... + 10x_1 + x_0 \ge 10^k
s(n) = \sum_{i=0}^{k}x_i^2 \le \sum_{i=0}^{k}9^2 = 9^2(k+1)
10^k\le 9^2(k+1)
para k = 3 isso...
Numa caixa, 3/5 dos objetos são feios e 3/7 são inúteis. Jogaram-se fora todos os objetos simultaneamente feios e inúteis e juntaram-se alguns objetos simultaneamente bonitos e úteis. Depois disto,...
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castelohsi ,
A caixa tinha no
\mathtt{\underline{\color{red}Início:
BU - BI - FU - FI(Total ~de~ objetos=A)}\\
F = \frac{3A}{5}(FU+FI) \\
I =\frac{3A}{7}(BI+FI)\\...
Um quadrado de lado 3 cm é cortado ao longo de uma diagonal em dois
triângulos, como na figura. Com esses triângulos formamos as figuras dos itens (a),
(b) e (c), nas quais destacamos, em cinza, a...
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BartdGusmão ,
\mathtt{
a) S = \frac{S_\boxed{}}{4}=\boxed{\frac{9}{4}}\color{green}\checkmark\\
b) \triangle S_1 \sim \triangle S_2\implies\frac{S_1}{S_2}...
Encontre todos os inteiros positivos n tais que n² pode ser escrito como soma de exatamente n quadrados perfeitos não nulos. Por exemplo, 3² pode ser escrito como 2² + 2² + 1²
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vou tentar novamente, se vc notar a parte q eu falei sobre p mod 4 n está completamente correta pq eu acabei assumindo ali q p n é da forma a^2 + 1
eu afirmo q todo número maior q 2 pode ser escrita...
Seja ABC um triângulo e seja H o ortocentro e O o circuncentro do triângulo. Se \angle{ABH}=\angle{HBO}=\angle{OBC} e BH=BO determine a medida do ângulo \angle{A}
(i)Se n é um inteiro positivo tal que 2n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos.
(ii)Se 3n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de três...
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Questão (i)
Achei esse interessante, levou um tempinho. Se n\in\mathbb{^+Z^*} , e 2n+1=a^2 . Agora, perceba que, 2n+1 é ímpar, o que implica que a^2 é ímpar, logo a é ímpar.
Neste momento, são 18 horas e 27 minutos. Qual era o horário 2 880 717 minutos mais cedo?
a) 6h22min
b) 6h24min
c) 6h27min
d) 6h30min
e)6h32min
Gab: letra d
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maria0009 ,
\frac{2880717}{60}=48011,95=48000h(2000dias) + 11h +57min\\
\therefore 18h27min-11h57min = 1107 min - 717 min = 390min = \boxed{6h30min}\color{green}\checkmark
Numa classe de 36 alunos, todos têm alturas diferentes. O mais baixo dos meninos é mais alto do que cinco meninas, o segundo menino mais baixo é mais alto do que seis meninas, o terceiro menino mais...
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Recorrência Intuitiva
Estamos seguindo os meninos por ordem, o que estamos fazendo é passando por todos eles. A única referência que temos é a relação com a altura das meninas e afirmando que a...
Com os algarismos 1, 4, 6 e 8 pode-se formar vários números de três algarismos distintos. Qual é a soma de todos esses números?
a)12654
b)12740
c)13124
d)13210
e)13320
Gab: Letra A.
Desde já...
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maria0009 ,
Com os números 1, 4, 6 e 8 podem-se formar 4 × 3 × 2 = 24 números
de três algarismos distintos, pois temos 4 possibilidades para escolher a centena, depois 3
possibilidades para...
olimpiada.png Assuma que AÔB é um ângulo reto . Determine uma fórmula para a área do triângulo AOD em termos de comprimentos OA= a , OB= b, OC=C , OD=d e BC= x,(gabarito=( (ad)/(4bc) ).(b² +c² -x²).
Encontre A, B e C que tornam verdadeira a identidade \frac{2n + 1}{n(n+1) (n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2} e utilize esse resultado para calcular o valor da soma \frac{3}{1...
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De maneira curta e grossa, o enunciado pediu um valor aproximado, aqueles números já eram tão pequenos que eram irrelevantes, esqueci de avisar isso Santino , sorry
a) Amarra-se um burro em um ponto B da circunferência de uma região circular de raio R contendo grama para alimento do burro. Considerando que o burro só poderá comer a metade da grama, qual será o...
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petras , obrigado meu amigo!
Soluçãozinha um tanto complexa ne?
Na circunferência abaixo, sabemos que AB=7 e BC=3, AC é o diametro e os ângulos \widehat{ABC} e \widehat{CBD} são iguais.
Qual o valor da área em negrito?
Sabe-se que o raio do semicirculo de centro 0 que contém os pontos A e B é \frac{1}{\pi} ,e a corda BC sendo um lado do quadrado.
Então a área sombreada é:
semicircunferência (área).gif
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petras , obrigado meu amigo...
Essas omissões de informações nesses problemas já é algo bem previsível. He he....
Calcule a área comum aos dois quadrados da figura abaixo, sendo A' B' C' D' obtidos de ABCD
por uma rotação de um ângulo \alpha em torno do centro 0 do quadrado .
Mostre que as medianas de um triângulo se intersecta em um ponto mesmo ponto chamado baricentro do triângulo.
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Outra solução: sejam M_a,M_b e M_c os pontos médios dos lados BC,AC e AB , \frac{M_aC}{M_aB} \cdot \frac{M_cB}{M_cA} \cdot \frac{M_bA}{M_bC} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 , logo, conhecendo-se o teorema de...
Mostre que as tres mediatrizes aos lados de um triângulo se encontra em um ponto.
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Outra resolução:
Seja o triângulo ABC, trace as mediatrizes DP e EP.
\mathtt{
\triangle BDP \cong\triangle CDP(L.A.L.)\\
\therefore BP=PC\\
\triangle APE \cong \triangle CPE\\
\therefore AP=PC\\...
