(OPM 2021) Dois círculos C_1 e C_2 se intersectam em dois pontos distintos M e N . Seja AB uma reta que é tangente a C_1 no ponto A e tangente a C_2 no ponto B , de modo que o ponto M fique mais...

Encontre a área do polígono ABCDEFGHIJKLMNO representado na figura a seguir, sabendo que a unidade usada nos eixos é de 1 cm.

Ana monta figuras triangulares com azulejos na forma de triângulos equiláteros de lados medindo 10cm, seguindo o padrão da figura abaixo. A primeira figura foi feita com 1 azulejo, a segunda com 4, a...

A figura abaixo ilustra a planificação de um cubo e o caminho percorrido por uma formiga, a partir do vértice A, sobre as faces deste cubo.

Das alternativas abaixo, em que são apresentadas outras...

Nas figuras o quadrado EFGH é formado por um quadradinho central ABCD e quatro triângulos retângulos congruentes adjacentes a ele, com AE tendo mesma medida que AB. Repetindo o processo a partir do...

Considere a figura a baixo. Sabendo que o quadrado ABCD tem área igual a 10cm^2 e o quadrado EFGH tem área igual a 4cm^2 , qual é a área do trapézio CDFE?

Marcelo construiu um mosaico sobre uma faixa retangular ABCD utilizando azulejos na forma de losango, nas cores cinza e amarelo, todos congruentes e com lados medindo 15cm, sempre alternado azulejos...

Seja um inteiro k > 1. Mostre que 25k 2 + 7 deixa resto 11 na
divisão por 5k + 2.

Um fazendeiro quer construir uma cerca em seu terreno aproveitando 5 árvores já existe no local. Para isso, ele mediu a distância entre as árvores, que estão representadas na figura abaixo (sem...

A professora Vera está preparando kits de balas para distribuir entre seus alunos. Há 36 balas de café, 42 balas de chocolate e 54 balas de menta. Ela quer separá-las em pratos de modo a ocupar a...

Quantas são as soluções inteiras e não negativas da desigualdade x+y+z=<6?

Sejam p,q primos distintos, prove que {\bigg\lfloor\dfrac {p^q+q^p}{pq} \bigg\rfloor} é par se p,q>2 .

Segue abaixo o início da minha resolução (ainda incompleta):

A partir daqui, não consegui...

Na recomendação de um veterinário para o dono de um cachorro está que administre 30 gotas de uma medicação a cada 8 horas. Ao ler a bula do remédio está escrito que devem ser administradas 5 gotas a...

Sobre os lados 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 de um triângulo 𝐴𝐵𝐶, são tomados os pontos 𝑋 𝑒 𝑌,
respectivamente, tais que 𝐴𝐵̂𝑋 = 𝑌𝐴̂𝐶, 𝐴𝑌̂𝐵 = 𝐵𝑋̂𝐶 𝑒 𝑋𝐶 = 𝑌𝐵. Determine as
medidas dos ângulos internos do triângulo 𝑨𝑩𝑪.

No quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 que aparece na figura abaixo, 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 e as medidas dos
ângulos 𝐷𝐴𝐶,𝐷𝐵𝐶 𝑒 𝐵𝐶𝐷 são, respectivamente, 98°, 82° 𝑒 70°.
Encontre a medida do ângulo 𝑨𝑪𝑫.

Sobre os lados 𝐵𝐶 e 𝐶𝐷 de um retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, são marcados os seus respectivos
pontos médios 𝐸 𝑒 𝐹. Em seguida, liga-se o ponto 𝐹 aos pontos 𝐴 𝑒 𝐵 e o ponto 𝐸 aos
pontos 𝐴 𝑒 𝐷, determinando-se os...

Quando um raio de luz incide sobre um espelho plano, ele é refletido de modo a fazer
ângulos iguais com o espelho, conforme ilustrado na figura 1. A figura 2 mostra dois
espelhos que se encontram...

Na figura, os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐵𝐷𝐸 são congruentes e os ângulos 𝐵D𝐶 e 𝐵D𝐸 são retos.
Determine a medida do ângulo 𝐵F𝐸

Na figura abaixo, todos os quadradinhos do tabuleiro são iguais. Qual o valor do ângulo A\hat{E}F ? Justifique.

Em uma lousa encontra-se o seguinte texto:

A equação x^2-824x+\blacksquare143=0 possui duas soluções inteiras.

Onde \blacksquare representa alguma quantidade de algarismos de um número que está...

Sejam a e b inteiros positivos. Prove que se 4ab-1 divide (4a^2-1)^2 , então a=b .

Every pair of communities in a county are linked directly by exactly one mode of transportation: bus, train or automobile. All three modes of transportation are used in the county with no community...

Seja ABC um triângulo. Prolonguemos o lado BC, a partir de C, até um ponto D tal que CD = AC. Seja P o segundo ponto de interseção do circuncírculo de ACD com o círculo de diâmetro BC. Considere que...

OMpD-2020

Um tabuleiro de xadrez 8 × 8 será decomposto em retângulos que satisfazem simultaneamente às seguintes propriedades:

(1) Cada retângulo possui um número inteiro de casas;

(ii) Os...

Questão da OMpD- 2020

Para cada inteiro positivo n, seja S(n) a soma dos dígitos de n. Por exemplo, S(327) = 3 + 2 + 7 = 12 Determine o valor da soma alternada:

S(1) - S(2) + S(3) - S(4)...

Seja ABC um triângulo retângulo e isósceles, com ∠CAB = 90°. Seja P um ponto na reta BC, com B entre C e P, e Q um ponto na reta AB, com A entre B e Q, tais que BP=AQ. Seja R um ponto na reta AC, com...

Demonstre a seguinte identidade:

\sen\(\dfrac{\pi}{n}\)\sen\(\dfrac{2\pi}{n}\)\sen\(\dfrac{3\pi}{n}\)\ldots \sen\(\dfrac{(n-1)\pi}{n}\) = \dfrac{n}{2^{n-1}}

Um ponto (x, y) ∈ Z^2 é legal se mdc(x, y) = 1 . Prove ou disprove: Dado um inteiro positivo n , existe um ponto (a, b) ∈ Z^2 cuja distância a todo ponto legal é pelo menos n ?

Essa é mais uma...