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Aviso Global l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Última msg por leozitz « Qui 03 Nov, 2022 11:16
Enviado em Maratonas de Matemática
Respostas: 82
por Ittalo25 » Qui 24 Set, 2020 23:03 » em Maratonas de Matemática
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Tópico criado há 1300 dias
First post

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...

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Solução do problema 81

sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)

a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
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Última msg por leozitz
Qui 03 Nov, 2022 11:16
Aviso Global ENEM 2017 Matemática Resolvida

Última msg por Jigsaw « Sáb 17 Nov, 2018 22:42
Enviado em TutorBrasil no YouTube
Respostas: 7
por caju » Qui 17 Mai, 2018 10:20 » em TutorBrasil no YouTube
Tópico criado há 2161 dias
First post

Olá a todos :)

Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .

Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...

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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...

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Última msg por Jigsaw
Sáb 17 Nov, 2018 22:42

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(OBM-2005) Expressão

Última msg por FelipeMartin « Dom 07 Abr, 2024 20:43
Respostas: 5
por Vscarv » Sex 10 Fev, 2017 22:17
Tópico criado há 2622 dias
First post

O número (2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4} é:

a) inteiro impar
b) inteiro par
c) racional não inteiro
d) irracional positivo
e) irracional negativo

Última msg

se você for um bom algebrista, talvez dê pra fazer provando que:

z \bar w = \bar{(\bar z w)}

para z = a + b \sqrt 2 com a e b inteiros.

Se z = a+b\sqrt2 e w = c + d \sqrt 2 , teremos \bar z = a...

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Última msg por FelipeMartin
Dom 07 Abr, 2024 20:43
Polônia 2011 — Aritmética

Última msg por FelipeMartin « Dom 31 Mar, 2024 06:21
Respostas: 1
por Babi123 » Dom 31 Mar, 2024 00:38
Tópico criado há 17 dias
First post

Determine todos os inteiros não negativos x e y tais que 2^x+5^y é um quadrado perfeito.

Última msg

Se x for par, x = 2k :

n^2 = 2^{2k} + 5^y \implies (n - 2^{k})(n+2^k) = 5^y
\begin{cases}
n-2^{k}=5^a \\
n + 2^k=5^{y-a}
\end{cases}
2^{k+1} = 5^{y-a}-5^a
Se a \neq 0 , o lado direito é 0...

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Última msg por FelipeMartin
Dom 31 Mar, 2024 06:21
Regra de três

Última msg por Papiro8814 « Sáb 30 Mar, 2024 20:12
Respostas: 3
por Papiro8814 » Sáb 30 Mar, 2024 17:31
Tópico criado há 17 dias
First post

31) (OBM-98) Se ,x homens fazem x embrulhos em .x segundos, em quantos
segundos y homens farão y embrulhos?

Última msg

Tinha esquecido disso. Obrigado petras e papirador

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Última msg por Papiro8814
Sáb 30 Mar, 2024 20:12
OBM-2018 Questão 3 N2

Última msg por FelipeMartin « Sáb 30 Mar, 2024 18:36
Respostas: 6
por GabrielOBM » Dom 18 Nov, 2018 19:08
Tópico criado há 1976 dias
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3- Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O e ortocentro H. A circunferencia de centro Xa passa pelos pontos A e H e tangencia o circuncículo do triangulo ABC. Defina de maneira análoga os...

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problemadocapeta.png

é claro que Y_a = OH_a \cap BC .
Note que \angle A'AH_a = 90^{\circ} \implies AA' \parallel BC donde tiramos que A' é reflexo de A em relação à mediatriz de BC , donde...

6 Respostas

2190 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Sáb 30 Mar, 2024 18:36
Wisconsin 2002 ( Geo Plana)

Última msg por SBAN « Ter 19 Mar, 2024 13:53

por SBAN » Ter 19 Mar, 2024 13:53
Tópico criado há 28 dias

Wisconsin 2002 Os pontos P, A, B, e C, São colineares, tal qual os pontos P, X, Y, e Z. Se AY E Bz são paralelos e se BX e CY são parelelas, Mostre que os segmentos AX e CZ também são paralelos

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Última msg por SBAN
Ter 19 Mar, 2024 13:53
Geometria Plana, Torneio das cidades 2009

Última msg por petras « Sáb 16 Mar, 2024 12:19
Respostas: 1
por SBAN » Sáb 16 Mar, 2024 10:25
Tópico criado há 31 dias
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Torneio das cidades 2009( Questão 118 do livro do rufino cap 1)

Uma reta paralela ao lado AC do triângulo ABC corta o lado AB em K e o lado BC em M. O é o ponto de interseção de AM e CK. Se AK=AO e...

Última msg

SBAN ,

\angle MCK = \theta\implies \angle CKM = \theta \implies \angle KCA = \theta\\
\therefore \angle C = 2\theta \cong \angle BMK\\
\angle AKC \cong \angle AOK = \alpha\\
\angle KAO = 180^o...

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Última msg por petras
Sáb 16 Mar, 2024 12:19
Divisibilidade

Última msg por Caduzin3445 « Sex 15 Mar, 2024 10:30
Respostas: 4
por Caduzin3445 » Qui 14 Mar, 2024 23:04
Tópico criado há 33 dias
First post

(Bélgica-97) Sejam a, b, c ∈ N0. Dividindo a
por b encontramos o quociente q e o resto r, e
dividindo q por c encontramos o quociente q’ e o
resto r’. A divisão de a por bc possui o resto:
a) r b)...

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Acho q vi errado, perdão.

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Última msg por Caduzin3445
Sex 15 Mar, 2024 10:30
Somatório

Última msg por Jpgonçalves « Qua 13 Mar, 2024 17:50

por Jpgonçalves » Qua 13 Mar, 2024 17:50
Tópico criado há 34 dias

Calcule o valor da soma:

\sum_{k=1}^{4013} \frac{1}{2005^{k-2007}}

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Última msg por Jpgonçalves
Qua 13 Mar, 2024 17:50
Somatório

Última msg por Jpgonçalves « Qua 13 Mar, 2024 17:47

por Jpgonçalves » Qua 13 Mar, 2024 17:47
Tópico criado há 34 dias

Calcule o valor da soma

\sum_{k=1}^{4013} \frac{1}{2005^{k-2007}}

0 Respostas

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Última msg por Jpgonçalves
Qua 13 Mar, 2024 17:47
MDC

Última msg por Caduzin3445 « Seg 11 Mar, 2024 19:47
Respostas: 4
por Caduzin3445 » Seg 11 Mar, 2024 18:24
Tópico criado há 36 dias
First post

O gabarito é apenas sim, eu não achei mais nada em relação a isso. Se alguém puder ajudar, eu agradeço.

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(IMO-83 banco) Sejam a e b números
inteiros. É possível encontrar inteiros p e q tais
que os inteiros p + na e q + nb são primos entre
si para todo n?

Gab: sim

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Última msg por Caduzin3445
Seg 11 Mar, 2024 19:47
Análise combinatória

Última msg por Caduzin3445 « Seg 11 Mar, 2024 17:52

por Caduzin3445 » Seg 11 Mar, 2024 17:52
Tópico criado há 36 dias

(Áustria/Polônia-99) Sejam n um inteiro
positivo e M = {1, 2, ..., n}. Determine o número
de maneiras de formar seis subconjuntos A1, A2,
A3, A4, A5 e A6 (não necessariamente disjuntos)
de M, de...

0 Respostas

73 Exibições

Última msg por Caduzin3445
Seg 11 Mar, 2024 17:52
Polinômios

Última msg por FelipeMartin « Sáb 09 Mar, 2024 23:47
Respostas: 1
por Caduzin3445 » Sáb 09 Mar, 2024 21:55
Tópico criado há 38 dias
First post

(AIME)Encontre todos os reais a e b tais que X²-X-1 divide aX¹⁷+bX¹⁶+1

Como posso fazer essa questão?

Obs: não possuo gab, perdão.

Última msg

x^2 - x - 1 \equiv 0 \mod (x^2-x-1) \implies x^2 \equiv x+1 \mod (x^2-x-1)

x^3 \equiv x^2 + x \mod (x^2-x-1) \equiv 2x+1 \mod (x^2-x-1)
x^4 \equiv 2x^2+x \equiv 3x+2 \mod (x^2-x-1)
x^{16} =...

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152 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Sáb 09 Mar, 2024 23:47
Recorrência

Última msg por leozitz « Dom 25 Fev, 2024 17:54
Respostas: 3
por Babi123 » Ter 19 Fev, 2019 17:12
Tópico criado há 1883 dias
First post

Seja a recorrência definida por a_1=1 \ ,a_2=5 e para n>0
a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n .

a) Determinar o termo geral da recorrência;
b) Quantos múltiplos de 7 há no conjunto \{a_n|1\leq n\leq 2018, \ n...

Última msg

posta o termo geral, deve dar pra usar no outro item

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1154 Exibições

Última msg por leozitz
Dom 25 Fev, 2024 17:54
IMO-79 (Fatoração)

Última msg por FelipeMartin « Sáb 24 Fev, 2024 15:56
Respostas: 1
por EstudiosoEN » Sex 23 Fev, 2024 01:07
Tópico criado há 54 dias
First post

Os números reais não negativos x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} , x_{5} e \alpha satisfazem as seguintes relações:

\begin{cases}
1.x_{1} + 2.x_{2} + 3.x_{3} + 4.x_{4} + 5.x_{5}=\alpha \\
1^{3}.x_{1}...

Última msg

A questão da IMO pede para encontrar os possíveis valores de \alpha .
Multiplique a primeira equação por \alpha^2 , retire 2\alpha vezes a segunda e adicione a terceira equação. O lado direito será...

1 Respostas

245 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Sáb 24 Fev, 2024 15:56
POTI Combinatória

Última msg por Kakashi « Ter 20 Fev, 2024 12:53
Respostas: 1
por renatinho14 » Qui 25 Jan, 2024 19:49
Tópico criado há 82 dias
First post

Quarenta estudantes participaram de uma olimp´ıada de matem´atica. A
prova consistia de cinco problemas ao todo. Sabe-se que cada problema foi resolvido corretamente
por pelo menos 23 participantes....

Última msg

Há estudantes com 3 ou mais problemas resolvidos

Suponha por absurdo que ninguém escreveu mais de 2 soluções na prova, logo há 40\cdot 2=80 ou menos problemas resolvidos corretamente na Olimpíada....

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332 Exibições

Última msg por Kakashi
Ter 20 Fev, 2024 12:53
Pares ordenados que são soluções da equação (acho que seria teoria dos números)

Última msg por Kakashi « Ter 20 Fev, 2024 12:07
Respostas: 1
por Pdalindão » Dom 08 Out, 2023 18:11
Tópico criado há 191 dias
First post

A quantidade de pares ordenados (x,y), que são solução da equação \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{pq} , onde p e q são números primos, é:

Última msg

Não seriam 9 soluções?

A equação é equivalente a

xy-pqx-pqy=0\Rightarrow

(x-pq)(y-pq)=(pq)^2

Dessa forma os possíveis pares (x-pq,~y-pq) são (p^2q^2,~1),~(p^2q, q),~ (pq^2,~p),~(pq,~pq) e...

1 Respostas

433 Exibições

Última msg por Kakashi
Ter 20 Fev, 2024 12:07
Fatoração e quadrados perfeitos

Última msg por Kakashi « Ter 20 Fev, 2024 10:45
Respostas: 3
por DudaS » Dom 20 Ago, 2023 15:42
Tópico criado há 240 dias
First post

Sejam K = {p1, p2, …, p2022} um conjunto de 2022 números primos distintos e S o conjunto dos números naturais que admitem apenas esses primos em sua fatoração. Qual a maior quantidade de elemento que...

Última msg

Sim, conta como paridade par.

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662 Exibições

Última msg por Kakashi
Ter 20 Fev, 2024 10:45
(Cone Sul/TST-2016)Equação

Última msg por Kakashi « Ter 20 Fev, 2024 10:38
Respostas: 1
por AngelitaB » Qua 24 Mai, 2023 08:24
Tópico criado há 328 dias
First post

Considere os 15 trinômios do segundo grau x²-pix+qi onde (p1,p2,...p15,q1q2,...,,q15) é uma permutação de (1,2,....,30).Uma raiz desse trinômio é dita favorável se esta raiz é maior que 20. Se M o...

Última msg

Cada trinômio possui no máximo uma raíz favorável

Suponha por absurdo que x_1 e x_2 sejam duas raízes favoráveis de um trinômio, logo

40>x_1+x_2=p_i

Contudo p_i\leq 30 .

M é menor ou igual a...

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644 Exibições

Última msg por Kakashi
Ter 20 Fev, 2024 10:38
Olimpiada Portuguesa 2010 (OPM) Geometria Plana

Última msg por petras « Sex 09 Fev, 2024 16:39
Respostas: 2
por SBAN » Sex 09 Fev, 2024 16:08
Tópico criado há 67 dias
First post

(Olimpíada Portugesa-2010) Mostre que qualquer triângulo tem dois lados a e b tais que

\frac{\sqrt{5}-1}{2}<\frac{A}{B}<\frac{\sqrt{5}+1}{2}

Última msg

SBAN ,

Segue solução por:(Carlos A. Gomes)

2 Respostas

374 Exibições

Última msg por petras
Sex 09 Fev, 2024 16:39
(TML) caminhaa-funções compostas (IMO)

Última msg por leozitz « Qui 08 Fev, 2024 17:02
Respostas: 1
por golondrina » Ter 06 Fev, 2024 15:21
Tópico criado há 70 dias
First post

seja G um conjunto nao-vazio de funções afim possuindo as seguintes propriedades:
(a) Se f,g \in G, fog \in G
(b) se f \in G, f^{-1} \in G
(c) Para todo f \in G, existe x_{f} \in R tal que f( x_{f}...

Última msg

ele pede pra provar que tem um, não que é único
na verdade G = {x} satisfaz tudo que o enunciado diz e f(x) = x para todo x, ou seja, não é só um x.
acho que vc já resolveu o problema então pelo que...

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214 Exibições

Última msg por leozitz
Qui 08 Fev, 2024 17:02
(TML)-caminha-(frança)-funções compostas

Última msg por leozitz « Qui 08 Fev, 2024 16:58
Respostas: 1
por golondrina » Ter 06 Fev, 2024 15:23
Tópico criado há 70 dias
First post

seja f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} uma bijeção. prove que existem naturais a
Última msg

f(x) = f(y) \iff x = y
dado y existe \alpha tal que f(\alpha) = y
fixado um par (a, b) f(c) = 2f(b)-f(a) , a gente sabe que existe um valor c que satisfaz isso, o problema é que não é garantido que...

1 Respostas

229 Exibições

Última msg por leozitz
Qui 08 Fev, 2024 16:58
OBMEP

Última msg por παθμ « Qui 18 Jan, 2024 14:49
Respostas: 1
por Stanbech » Qui 18 Jan, 2024 09:18
Tópico criado há 89 dias
First post

Quantos são os números naturais n tais que (5n-12)÷(n-8)
é também um número natural?
Podem responder com soluções diferentes das do site da obmep

Última msg

Stanbech ,

\frac{5n-12}{n-8}=k \iff 5n-12=nk-8k \iff 5n+8k-nk=12.

Veja, além disso, que (n-8)(k-5)=nk-5n-8k+40 \iff -nk+5n+8k=40-(n-8)(k-5), e inserindo isso na nossa equação:

40-(n-8)(k-5)=12...

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Última msg por παθμ
Qui 18 Jan, 2024 14:49
(Ompara) Trigonometria

Última msg por παθμ « Qui 26 Out, 2023 21:11
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » Sex 28 Mai, 2021 11:55
Tópico criado há 1054 dias
First post

Na figura, o comprimento da diagonal BD no retângulo ABCD é d e E é o pé da perpendicular de BD em relação à A. Se a distância de E à reta BC é igual a 1 e a distância de E à reta CD é igual a n,...

Última msg

Seja \theta=\angle EBG = \angle EAB = \angle EDA. Seja também x=BE, \; y=BG, \; a=AB, \; b=AD.

No triângulo BEG: x=\frac{1}{\sin(\theta)}, y=\frac{1}{\tan(\theta)}.

No triângulo ABE:...

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Última msg por παθμ
Qui 26 Out, 2023 21:11
(Peru) Trigonometria

Última msg por παθμ « Qui 26 Out, 2023 19:05
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » Sáb 29 Mai, 2021 22:39
Tópico criado há 1053 dias
First post

Dada a figura:

62.png

Sabendo que BP = a e BQ = b. Então, o valor de BE em função de a e b vale:

a) (2ab)/(a+b)
b) (ab)/(a+b)
c) 2a + b
d) a+b
e) a+2b

Última msg

AB=\frac{a}{\cos(\theta)}, BC=\frac{b}{\cos(\theta)}. Seja x=AE e y=EC.

Teorema da bissetriz interna no triângulo ABC: x=\frac{ay}{b}. (Eq. 1)

Lei dos cossenos no triângulo ABC:...

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Última msg por παθμ
Qui 26 Out, 2023 19:05
(Argentina) Propriedades da divisibilidade

Última msg por παθμ « Sex 20 Out, 2023 11:44
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » Qua 19 Ago, 2020 23:26
Tópico criado há 1336 dias
First post

Um número a de três cifras é raro se existe um número b de duas cifras tal que ao dividir a por b, o resto é igual ao cubo do quociente. Por exemplo, 100 é raro porque ao dividi-lo por 46, o...

Última msg

a=bq+q^3 \Longrightarrow a=q(b+q^2).

Precisamos analisar os valores de q caso a caso. Note que sempre devemos ter b>q^3.

Caso q=1: a=b+1.

Nesse caso, o único valor permitido de b é 99 , já que...

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983 Exibições

Última msg por παθμ
Sex 20 Out, 2023 11:44
(Goiás) Congruência

Última msg por παθμ « Qui 19 Out, 2023 22:54
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » Qua 02 Set, 2020 11:58
Tópico criado há 1322 dias
First post

a) Estude o comportamento do resto da divisão por 7 de 2^x-x^2 sendo x um número inteiro positivo menor ou igual a 10000.
b) Quantos são os inteiros positivos x\leq 10000 tais que a diferença 2^x-x^2...

Última msg

Restos de 2^x: 2^1 \equiv2, \; 2^2 \equiv 4, \; 2^3 \equiv 1, depois disso cicla.

Restos de x^2: 1^2 \equiv 1, \; 2^2 \equiv 4, \; 3^2 \equiv 2, \; 4^2 \equiv 2, \; 5^2 \equiv 4, \; 6^2 \equiv 1, \;...

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1017 Exibições

Última msg por παθμ
Qui 19 Out, 2023 22:54
(OCM) Geometria Espacial: Cones

Última msg por παθμ « Dom 15 Out, 2023 15:55
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » Qua 21 Jul, 2021 18:16
Tópico criado há 1000 dias
First post

Considere um cone circular reto cuja geratriz mede 3cm e cujo raio da base mede 1cm.

a) Seja P um ponto fixo da circunferência da base e C a curva, de menor comprimento, na superfície do cone que...

Última msg

a) g=3, r=1 .

Se a superfície do cone for planificada, obtemos um setor circular de raio g=3 e com abertura \theta tal que:

2\pi g \times \frac{\theta}{2\pi}=2\pi r \Longrightarrow...

1 Respostas

990 Exibições

Última msg por παθμ
Dom 15 Out, 2023 15:55
Fatoração e produtos notaveis

Última msg por παθμ « Sáb 14 Out, 2023 22:09
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » Ter 04 Fev, 2020 18:30
Tópico criado há 1533 dias
First post

Se a b e c são raizes do polinomio p(x) = x^3 + x^2 -333x - 1001. Determine a^3 + b^3 + c^3.

Possuo uma resolução para essa questão via fatoracao + relações de girard. (Com essa resoluçao cheguei no...

Última msg

x^3+x^2-333x-1001=0.

Relações de Girard: a+b+c=-1 , ab+ac+bc=-333 , abc=1001.

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) \Longrightarrow 1=a^2+b^2+c^2-666 \Longrightarrow a^2+b^2+c^2=667....

1 Respostas

1116 Exibições

Última msg por παθμ
Sáb 14 Out, 2023 22:09
Kakuro

Última msg por petras « Seg 25 Set, 2023 19:26
Respostas: 1
por GLAYDSON » Seg 25 Set, 2023 16:24
Tópico criado há 204 dias
First post

O Kakuro envolve o pensamento lógico para a tomada de decisão sobre a disposição dos números que são
colocados, assim como o cálculo, sempre respeitando algumas regras:
I. Colocar números de 1 a 9....

Última msg

GLAYDSON ,

9-6
8-3
7-1-6
2-9
4-8
9-7

Somando teremos 79

1 Respostas

416 Exibições

Última msg por petras
Seg 25 Set, 2023 19:26
Lógica

Última msg por petras « Dom 24 Set, 2023 00:24
Respostas: 1
por GLAYDSON » Sáb 23 Set, 2023 13:16
Tópico criado há 206 dias
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O pai de Severino, quando chama os nomes dos seus quatro filhos, fica trocando-os, por serem nomes
iniciado com a letra “S”. O mais velho, com 30 anos, chama-se Severo; o mais novo tem 20 e chama-se...

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GLAYDSON ,

O pai de SEVERINO...

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Última msg por petras
Dom 24 Set, 2023 00:24

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