Suponhamos que n é inteiro e positivo e não é uma potência de 2, tanto quanto n possui a soma dos fatores: s >1. Então:
10^{n}+1 é composto, pois: 1 1980=\frac{99}{100}.2000 e
portanto menos de 99%...

Massa do prato 1=5x+4y
Massa do prato 2=2x+10y
Como a balança esta em equilibrio temos que :

5x+4y=2x+10y
5x-2x=10y-4y
3x=6y
x=\dfrac{6y}{3}
x=2y
Resposta correta b

De acordo com este exercício: Valor da Expressão temos que:

x=2(a^4+b^4+c^4)
x=4q^2
x=(2q)^2
\boxed{x= ^2} , que é um quadrado perfeito, como queríamos mostrar.

Seja A_1=2, A_2=52, A_3=552 , e assim por diante. Tal construção se faz da seguinte maneira: começamos com 2 e então seguimos a regra abaixo:

a) 2 , se 2^{n+1} | A_n
b) 5 caso contrário....

Olá, como vai?

Temos 13 letras nas opções A/B.
Temos 9 letras na opção C.
Temos 12 letras na opção D.
Temos 16 letras na opção E.

Temos no total 63 letras!

A/B --> 63 - 13 = 50
C --> 63 - 9 = 54...

vamos mudar um pouquinho para facilitar o latex:
raízes: a,\,b,\,c
x^3-x-1=0
Das relações de Girard:
\begin{cases}a+b+c=0\\ab+bc+ac=-1\\abc=1\end{cases}...

Olá!

Eu fiquei um pouco em dúvida nessa questão, apesar de ter achado o resultado...

A probabilidade pedida é p=\frac{N_{multiplos(10^{88})}}{N_{divisores(10^{99})}} , sejam esses múltiplos menores...

Para começar, recomendo ler o tópico sobre quantidade de divisores feito pelo Professor Caju.

Meu raciocínio foi o seguinte:

2n^2 possui 28 = (6+1)(1+1)(1+1) divisores, ou seja, n^2 é da forma...

Uma questão de sistema que eu consegui resolver por desigualdade entre as médias.

(Canadá - 1996) Calcule todas as soluções reais do sistema

\ \left\{\begin{array}{c}\frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}= y\\...

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=2
a+c=1000
Se duas frações irredutíveis somadas dão um número inteiro, então seus denominadores são iguais. Portanto b=d.
a+c=2b\rightarrow 1000=2b\rightarrow...

A minha solução.
È trivial ver que p^4+p^3+p^2+p+1>0 então p^4+p^3+p^2+p+1=q^2 onde q\in \mathbb{N}

p^4+p^3+p^2+p+1=q^2\Rightarrow p^3(p+1)+p(p+1)=q^2-1\Rightarrow
p(p+1)(p^2+1)=(q+1)(q-1)...

Uma solução interessante, feita por um amigo meu chamado Marcos. Só não sei se ela é aceitável.

Ele chegou aos mesmos resultados em i) e ii), então não vou postá-los.

Já foi provado S(1980) =...

O que sabemos:
f(x+f(y))=x+f(f(y)) e f(17)=15
vamos dar uma manipulada legal:
f(17)=f(-985+1002)=15
olhando desse jeito, vemos que x=-985 e f(y)=1002
vamos substituir isso lá na equação...

m^2+7\cdot 23 =3^n

Pela congruência módulo 7, temos que:

m^2 \equiv 3^n

m^2 sempre termina em 0,1,2,4 e 3^n termina sempre em 3,5,6 , se n é ímpar. Logo n é necessariamente par.

Podemos...

Termo geral dessa sequência:

A(n) = \sqrt {\frac{n}{6}}+\sqrt {\frac{96}{n}

Usando a seguinte desigualdade das médias aritmética e geométrica, MA \geq MG .

\frac{\sqrt {\frac{n}{6}}+\sqrt...

para a função quadrática possuir raízes reais o \Delta \geq 0 , então

f(x)=x^{2}+(a+b+c)x+\lambda(ab+ac+bc)

(a+b+c)^2-4\lambda (ab+ac+bc)\geq 0\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 4\lambda(ab+ac+bc)...

Sendo:

x=\sqrt{45-\sqrt{21-x}}
x^2=45-\sqrt{21-x}
(x^2-45)^2=21-x
x^4-2\cdot x^2 \cdot 45+45^2=21-x
x^4-90x^2+x+2004=0

Esta é uma equação de 4º grau com raízes a,b,c,d .

Pelas Relações...

Obrigado pelos elogios. Infelizmente não posso mais editar a mensagem. Acredito que algum moderador ou o Prof. Caju possa alterar. Então fica meu pedido de correção.

Ahhh sim... agora que me liguei o que eles queriam, nadei, nandei... e morri na praia. :D

Grande abraço.

Saudações theblackmamba, segue minha solução

octógono.PNG
È facil ver que a maior diagonal é o diametro da circunferência e a menor que é HB

e por pitágoras temos (HB)^{2}=2R^{2}

HB=R\sqrt{2}...

Olá rean,

Temos,
\sqrt {97-x}+\sqrt {x}=5

Agora façamos o seguinte,
a=\sqrt {97-x}
b=\sqrt {x}

De onde tiramos,
\begin{cases}a+b=5\\a^4+b^4=97\end{cases}

Mas,...