Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do problema 81
sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)
a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
Um feirante utiliza uma balança de dois pratos em equilíbrio para fazer as suas vendas. Em cada prato existe o mesmo número de palmas de bananas, todos com o mesmo peso. Transferindo-se oito palmas...
Prove que existem infinitos inteiros positivos n tais que \frac{5^{n-2}-1}{n} pertence aos inteiros
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isso é o mesmo que dizer q n divide 5^{n-2} - 1 , passando para notação de congruencia
5^{n-2}\equiv 1 \pmod n
a primeira ideia é pegar um primo, pq a gente sabe algumas coisas interessantes sobre...
prove que existe um real c > 0 tal que: entre quaisquer n inteiros positivos distintos, n \ge 3 a gente pode selecionar 3 tal que o mmc deles é maior ou igual a c\cdot n^{2,99}
Determine todas as quádruplas de inteiros positivos (p,q,a,b) , onde p e q são números primos e a>1 , de tal modo que: p^a=1+5q^b .
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leozitz , ah é verdade, pensei umas bobagens porque os inteiros x,y podem ser negativos, mas, no caso de 5 ser primo e estarmos com 1 mod 5, creio que esteja tudo certo
Para todo inteiro de (n+1) a 2n, inclusive (n natural), calculamos o maior divisor ímpar e somamos todos esses divisores. Prove que a soma obtida é n².
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vamos usar indução.
f(x) = maior divisor ímpar de x.
por hipótese \sum_{k = n+1}^{2n}f(k) = n^2 e queremos descobrir \sum_{k = n+2}^{2n+2}f(k) .
Para cada inteiro positivo n , seja s(n) a soma dos quadrados dos algarismos de n . Por exemplo s(15)=1^2+5^2=26 . Determine todos os inteiros n\geq1 tal que s(n)=n .
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n = \overline{x_kx_{k-1}...x_1x_0}_{(10)} = 10^{k}x_k + 10^{k-1}x_{k-1} + ... + 10x_1 + x_0 \ge 10^k
s(n) = \sum_{i=0}^{k}x_i^2 \le \sum_{i=0}^{k}9^2 = 9^2(k+1)
10^k\le 9^2(k+1)
para k = 3 isso...
Numa caixa, 3/5 dos objetos são feios e 3/7 são inúteis. Jogaram-se fora todos os objetos simultaneamente feios e inúteis e juntaram-se alguns objetos simultaneamente bonitos e úteis. Depois disto,...
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castelohsi ,
A caixa tinha no
\mathtt{\underline{\color{red}Início:
BU - BI - FU - FI(Total ~de~ objetos=A)}\\
F = \frac{3A}{5}(FU+FI) \\
I =\frac{3A}{7}(BI+FI)\\...
Um quadrado de lado 3 cm é cortado ao longo de uma diagonal em dois
triângulos, como na figura. Com esses triângulos formamos as figuras dos itens (a),
(b) e (c), nas quais destacamos, em cinza, a...
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BartdGusmão ,
\mathtt{
a) S = \frac{S_\boxed{}}{4}=\boxed{\frac{9}{4}}\color{green}\checkmark\\
b) \triangle S_1 \sim \triangle S_2\implies\frac{S_1}{S_2}...
Encontre todos os inteiros positivos n tais que n² pode ser escrito como soma de exatamente n quadrados perfeitos não nulos. Por exemplo, 3² pode ser escrito como 2² + 2² + 1²
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vou tentar novamente, se vc notar a parte q eu falei sobre p mod 4 n está completamente correta pq eu acabei assumindo ali q p n é da forma a^2 + 1
eu afirmo q todo número maior q 2 pode ser escrita...
Seja ABC um triângulo e seja H o ortocentro e O o circuncentro do triângulo. Se \angle{ABH}=\angle{HBO}=\angle{OBC} e BH=BO determine a medida do ângulo \angle{A}
(i)Se n é um inteiro positivo tal que 2n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos.
(ii)Se 3n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de três...
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Questão (i)
Achei esse interessante, levou um tempinho. Se n\in\mathbb{^+Z^*} , e 2n+1=a^2 . Agora, perceba que, 2n+1 é ímpar, o que implica que a^2 é ímpar, logo a é ímpar.
Neste momento, são 18 horas e 27 minutos. Qual era o horário 2 880 717 minutos mais cedo?
a) 6h22min
b) 6h24min
c) 6h27min
d) 6h30min
e)6h32min
Gab: letra d
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maria0009 ,
\frac{2880717}{60}=48011,95=48000h(2000dias) + 11h +57min\\
\therefore 18h27min-11h57min = 1107 min - 717 min = 390min = \boxed{6h30min}\color{green}\checkmark
Numa classe de 36 alunos, todos têm alturas diferentes. O mais baixo dos meninos é mais alto do que cinco meninas, o segundo menino mais baixo é mais alto do que seis meninas, o terceiro menino mais...
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Recorrência Intuitiva
Estamos seguindo os meninos por ordem, o que estamos fazendo é passando por todos eles. A única referência que temos é a relação com a altura das meninas e afirmando que a...
Com os algarismos 1, 4, 6 e 8 pode-se formar vários números de três algarismos distintos. Qual é a soma de todos esses números?
a)12654
b)12740
c)13124
d)13210
e)13320
Gab: Letra A.
Desde já...
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maria0009 ,
Com os números 1, 4, 6 e 8 podem-se formar 4 × 3 × 2 = 24 números
de três algarismos distintos, pois temos 4 possibilidades para escolher a centena, depois 3
possibilidades para...
Assuma que AÔB é um ângulo reto . Determine uma fórmula para a área do triângulo AOD em termos de comprimentos OA= a , OB= b, OC=C , OD=d e BC= x,(gabarito=( (ad)/(4bc) ).(b² +c² -x²).
Encontre A, B e C que tornam verdadeira a identidade \frac{2n + 1}{n(n+1) (n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2} e utilize esse resultado para calcular o valor da soma \frac{3}{1...
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De maneira curta e grossa, o enunciado pediu um valor aproximado, aqueles números já eram tão pequenos que eram irrelevantes, esqueci de avisar isso Santino , sorry
a) Amarra-se um burro em um ponto B da circunferência de uma região circular de raio R contendo grama para alimento do burro. Considerando que o burro só poderá comer a metade da grama, qual será o...
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petras , obrigado meu amigo!
Soluçãozinha um tanto complexa ne?
Na circunferência abaixo, sabemos que AB=7 e BC=3, AC é o diametro e os ângulos \widehat{ABC} e \widehat{CBD} são iguais.
Qual o valor da área em negrito?
Sabe-se que o raio do semicirculo de centro 0 que contém os pontos A e B é \frac{1}{\pi} ,e a corda BC sendo um lado do quadrado.
Então a área sombreada é:
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petras , obrigado meu amigo...
Essas omissões de informações nesses problemas já é algo bem previsível. He he....
Calcule a área comum aos dois quadrados da figura abaixo, sendo A' B' C' D' obtidos de ABCD
por uma rotação de um ângulo \alpha em torno do centro 0 do quadrado .
Mostre que as medianas de um triângulo se intersecta em um ponto mesmo ponto chamado baricentro do triângulo.
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Outra solução: sejam M_a,M_b e M_c os pontos médios dos lados BC,AC e AB , \frac{M_aC}{M_aB} \cdot \frac{M_cB}{M_cA} \cdot \frac{M_bA}{M_bC} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 , logo, conhecendo-se o teorema de...
