Olimpíadas

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Últ. msg

Simplificação de expressões númereicas

Últ. msg por deOliveira « Ontem, 15:22
Resp.: 1
por Analua » 20 Jan 2025, 22:34

Primeira Postagem

. Calcule o valor de
A = \frac{1001 · 1002 · 1003 · . . . · 2000}{1 · 3 · 5 · . . . · 1999}

(a) 2 2^{1000} 1000 (b) 2^{999} (c) 1000 (d) 999 (e) 2.

Últ. msg

A=\frac{1001 · 1002 · 1003 · . . . · 2000}{1 · 3 · 5 · . . . · 1999}

Vamos analisar separadamente denominador e numerador.

numerador=1001\cdot1002\cdot1003\cdots2000=\frac{2000!}{1000!}...

1 Resp.

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Últ. msg por deOliveira
Ontem, 15:22
Potenciação

Últ. msg por deOliveira « Ontem, 15:11
Resp.: 1
por Analua » 20 Jan 2025, 22:39

Primeira Postagem

Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opções abaixo, a expressão que não pode representar o
número 24 é:
(a) a b^{3} (b) a^{2} b^{3} (c) a^{c} b^{c}
(d) a b^{2} c^{3} (e) a^{b} b^{c} c^{a}

Últ. msg

24=2^3\cdot 3
Disso já vemos que a opção a) é possível com a=3 e b=2 .

Para c) temos que se a=24 e b=c=1 , então a^cb^c=24^1\cdot 1^1=24 .

Para d) basta tomar a=3 , b=1 e c=2 . Assim, ab^2c^3=24...

1 Resp.

35 Exibições

Últ. msg por deOliveira
Ontem, 15:11
(Canadá) Polinômios

Últ. msg por FelipeMartin « Ontem, 09:17
Resp.: 4
por theblackmamba » 15 Ago 2012, 21:26

Primeira Postagem

Seja (1+x+x^2+x^3+x^4)^{496}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{1984}x^{1984}

a) Determine MDC\,(a_3,a_8,...,a_{1983})
b) Prove que 10^{340}
Infelizmente não possui o gabarito da letra a)....

Últ. msg

Jigsaw , não tem. Não foi resolvido.

4 Resp.

1067 Exibições

Últ. msg por FelipeMartin
Ontem, 09:17
(Prasolov) Círculo Circunscrito em um Polígono Regular

Últ. msg por Jigsaw « Ontem, 08:39
Resp.: 2
por theblackmamba » 04 Jul 2012, 14:28

Primeira Postagem

Encontre o raio da circunferência circunscrita em um polígono regular com 2\text{n} lados, se \text{n} lados medem a e os outros \text{n} lados medem b .

Últ. msg

petras , eu acho que essa é uma daquelas questões que vale a pena você pedir ajuda aos universitários.

ET = eu nao saberia dizer se a questao foi digitada erroneamente, nesse caso favor...

2 Resp.

828 Exibições

Últ. msg por Jigsaw
Ontem, 08:39
(Litvinenko) Geometria Plana - Triângulo Inscrito

Últ. msg por Jigsaw « 21 Jan 2025, 09:22
Resp.: 7
por theblackmamba » 13 Ago 2013, 14:18

Primeira Postagem

Em um triângulo acutângulo com lados a,b,c. Desde o ponto o centro da circunferência circunscrita, se baixam as perpendiculares aos lados. Os comprimentos das perpendiculares são iguais a m,n,p,...

Últ. msg

caju poderia indicar qual seria a melhor resolução dentre as apresentadas?

7 Resp.

1723 Exibições

Últ. msg por Jigsaw
21 Jan 2025, 09:22
(Peru) Trigonometria

Últ. msg por LeoJaques « 20 Jan 2025, 21:52
Resp.: 4
por Auto Excluído (ID: 23699) » 26 Ago 2021, 14:40

Primeira Postagem

O valor da expressão
M=\left(\tg\left(\frac{2\pi }{9}\right)+2\tg\left(\frac{\pi }{18}\right)\right)\tg\left(\frac{7\pi }{9}\right)
é igual a:

a) -1
b) 2
c) \sqrt{7}
d) \frac{\sqrt{7}}{7}
e) 1

Últ. msg

Show man, solução mt elegante, tmj

4 Resp.

873 Exibições

Últ. msg por LeoJaques
20 Jan 2025, 21:52
Olimpíada da Austrália-18 (Sistemas de numeração)

Últ. msg por K1llua « 20 Jan 2025, 11:30
Resp.: 2
por K1llua » 20 Jan 2025, 10:44

Primeira Postagem

5. (Olimpíada da Austrália-18)
Se 234_b+1 - 234_b-1 = 70_70, como é 234_b em base 10?

Não tive dificuldades na resolução do primeiro membro da equação, mas não entendi como se faz o segundo, eu...

Últ. msg

Deve ser erro da questão então, obrigada.

2 Resp.

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Últ. msg por K1llua
20 Jan 2025, 11:30
Teoria dos Números - Congruência Modular

Últ. msg por Jigsaw « 18 Jan 2025, 10:42
Resp.: 4
por rean » 11 Mar 2010, 11:38

Primeira Postagem

O menor inteiro N para o qual a soma 5^N + N^5 seja divisível por 13 é:

Últ. msg

caju poderia indicar qual seria a melhor resolução dentre as apresentadas?

4 Resp.

1231 Exibições

Últ. msg por Jigsaw
18 Jan 2025, 10:42
Divisibilidade

Últ. msg por Jigsaw « 18 Jan 2025, 10:34
Resp.: 6
por Hanon » 04 Ago 2017, 15:14

Primeira Postagem

Encontre todos os inteiros positivos n tal que: 2^n-1 \ | \ 3^n-1 .

:( :(

Últ. msg

caju poderia indicar qual seria a melhor resolucao entre as apresentadas?

6 Resp.

1740 Exibições

Últ. msg por Jigsaw
18 Jan 2025, 10:34
Irã - 98 (Colinearidade)

Últ. msg por Jigsaw « 18 Jan 2025, 10:08
Resp.: 2
por Filgueiras » 08 Ago 2024, 10:51

Primeira Postagem

Seja ABC um triângulo. Prolonguemos o lado BC, a partir de C, até um ponto D tal que CD = AC. Seja P o segundo ponto de interseção do circuncírculo de ACD com o círculo de diâmetro BC. Considere que...

Últ. msg

Filgueiras , ressuscitando Topico de 2024 sem resolucao caso alguem encontre a imagem favor posta-la por gentileza.

2 Resp.

151 Exibições

Últ. msg por Jigsaw
18 Jan 2025, 10:08
(OCM) Geometria Espacial: Poliedros

Últ. msg por LeoJaques « 14 Jan 2025, 07:48
Resp.: 1
por Auto Excluído (ID: 23699) » 16 Jul 2021, 14:53

Primeira Postagem

A superfície de um planeta esférico é dividida entre os países de uma federação, de tal forma que nenhum país engloba outros países, cada país faz fronteira com exatamente três outros e nenhuma...

Últ. msg

UPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

1 Resp.

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Últ. msg por LeoJaques
14 Jan 2025, 07:48
(Romênia) Matrizes

Últ. msg por DaoSeek « 06 Jan 2025, 11:24
Resp.: 2
por undefinied3 » 16 Mai 2017, 21:31

Primeira Postagem

Suponha que A, B e C sejam matrizes 2x2 que comutam entre si. Prove que
det((A+B+C)(A^3+B^3+C^3-3ABC)) \geq 0

Últ. msg

Como observado pelo FelipeMartin, basta mostrar que

\

Como as matrizes comutam e (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2(a² + b² + c² - ab - bc - ca) segue que

\

Sendo U = A-B e V = B-C ficamos com

\...

2 Resp.

1214 Exibições

Últ. msg por DaoSeek
06 Jan 2025, 11:24
(Maio-98) Combinatória

Últ. msg por LeoJaques « 03 Jan 2025, 18:36
Resp.: 1
por Deleted User 23699 » 16 Out 2021, 18:00

Primeira Postagem

Com seis varetas se construi uma peça como a da figura. As três varetas exteriores são iguais entre si. As três varetas interiores são iguais entre si.
Se deseja pintar cada vareta de uma cor só de...

Últ. msg

Primeiro pintando as varetas exteriores, temos 4 escolhe 3 formas de escolher as cores e (3-1)! = 2! formas de permutar circularmente as cores.
Em um total de 4.2 = 8 formas.

Para cada uma dessas 8...

1 Resp.

842 Exibições

Últ. msg por LeoJaques
03 Jan 2025, 18:36
(Romênia) Trigonometria

Últ. msg por LeoJaques « 03 Jan 2025, 18:05
Resp.: 1
por Deleted User 23699 » 27 Ago 2021, 14:46

Primeira Postagem

Sabendo que as três raízes da equação

x^3-3tg\left(\frac{\pi }{12}\right)x^2-3x+tg\left(\frac{\pi }{12}\right)=0

são tg(\alpha ),tg(\beta ),tg(\theta ) , onde 0<\alpha ,\beta ,\theta \leq 180º ,...

Últ. msg

Acredito que o gabarito esteja errado.

Sabendo que:
\tg(\alpha +\beta +\theta ) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta + \tg\theta - \tg\alpha\tg\beta\tg\theta}{1 - \tg\alpha\tg\beta - \tg\alpha\tg\theta -...

1 Resp.

718 Exibições

Últ. msg por LeoJaques
03 Jan 2025, 18:05
(MIT) Polinômios

Últ. msg por gibbs « 22 Dez 2024, 22:48
Resp.: 4
por Deleted User 23699 » 03 Mai 2021, 16:35

Primeira Postagem

Sabendo que a_k+ib_k para k=1,2,3,4 são as raízes do polinômio p(x)=x^4-6x^3+26x^2-46x+64 com a_k,b_k inteiros e i é a unidade imaginária dos complexos. Então, o valor da expressão...

Últ. msg

Que massa! Muito obrigada!

4 Resp.

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Últ. msg por gibbs
22 Dez 2024, 22:48
(Gandhi) Problemas Selecionados de Matemática

Últ. msg por jwf « 22 Dez 2024, 12:03
Resp.: 2
por PauloLima » 17 Set 2013, 21:58

Primeira Postagem

Questão 62 do livro Problemas Selecionados de Matemática -Gandhi

Em cada uma das frações abaixo, a soma do numerador com o denominador é igual a 3980.
\frac{1}{3979} , \frac{2}{3978} ,...

Últ. msg

A resolução se dar pela expressão:
1989 - (994 + 397÷2 + 9÷2)
1989 - (2394÷2)
1989 - 1197
792
Letra C

2 Resp.

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Últ. msg por jwf
22 Dez 2024, 12:03
(Olímpiada de Singapura) Geometria Plana

Últ. msg por navalcollege « 02 Dez 2024, 18:08
Resp.: 4
por word123 » 02 Mar 2014, 13:30

Primeira Postagem

O triângulo ABC abaixo é isósceles. Calcule o valor do ângulo x sabendo que BAC=80°, IBC=10° e que ICB=30° e que AB=AC

Últ. msg

caju , professor, inicialmente, eu tinha tentado fazer por trigonometria, entretanto, não consegui e procurei uma resolução que a utilizasse. Contudo, por estar meio bagunçada, não consegui entender...

4 Resp.

3249 Exibições

Últ. msg por navalcollege
02 Dez 2024, 18:08
OPM 2021 - Geometria - Reta Tangente a Duas Circunferências

Últ. msg por EsleyPires « 25 Nov 2024, 10:35

por EsleyPires » 25 Nov 2024, 10:35

(OPM 2021) Dois círculos C_1 e C_2 se intersectam em dois pontos distintos M e N . Seja AB uma reta que é tangente a C_1 no ponto A e tangente a C_2 no ponto B , de modo que o ponto M fique mais...

0 Resp.

124 Exibições

Últ. msg por EsleyPires
25 Nov 2024, 10:35
Geometria e Àrea

Últ. msg por petras « 10 Nov 2024, 15:25
Resp.: 1
por Analua » 03 Nov 2024, 21:02

Primeira Postagem

Encontre a área do polígono ABCDEFGHIJKLMNO representado na figura a seguir, sabendo que a unidade usada nos eixos é de 1 cm.

Últ. msg

Analua ,

Faça área do retângulo (4x11) e calcule as areas das figuas em vermelho que são áreas simplies (triangulos, trapézios e retÂngulos)

1 Resp.

432 Exibições

Últ. msg por petras
10 Nov 2024, 15:25
Geometria e padrões

Últ. msg por FelipeOBala « 05 Nov 2024, 13:44
Resp.: 1
por Analua » 03 Nov 2024, 21:06

Primeira Postagem

Ana monta figuras triangulares com azulejos na forma de triângulos equiláteros de lados medindo 10cm, seguindo o padrão da figura abaixo. A primeira figura foi feita com 1 azulejo, a segunda com 4, a...

Últ. msg

Boa tarde!

Segue em anexo minha solução.

1 Resp.

299 Exibições

Últ. msg por FelipeOBala
05 Nov 2024, 13:44
Padrões

Últ. msg por FelipeOBala « 05 Nov 2024, 13:43
Resp.: 1
por Analua » 03 Nov 2024, 21:08

Primeira Postagem

A figura abaixo ilustra a planificação de um cubo e o caminho percorrido por uma formiga, a partir do vértice A, sobre as faces deste cubo.

Das alternativas abaixo, em que são apresentadas outras...

Últ. msg

Boa tarde!

Segue abaixo minha resolução.

1 Resp.

351 Exibições

Últ. msg por FelipeOBala
05 Nov 2024, 13:43
Geometria e Àrea

Últ. msg por FelipeOBala « 05 Nov 2024, 13:35
Resp.: 1
por Analua » 03 Nov 2024, 21:09

Primeira Postagem

Nas figuras o quadrado EFGH é formado por um quadradinho central ABCD e quatro triângulos retângulos congruentes adjacentes a ele, com AE tendo mesma medida que AB. Repetindo o processo a partir do...

Últ. msg

Boa tarde!

Segue em anexo minha solução.

1 Resp.

348 Exibições

Últ. msg por FelipeOBala
05 Nov 2024, 13:35
Geometria e Àrea

Últ. msg por FelipeOBala « 04 Nov 2024, 23:00
Resp.: 3
por Analua » 03 Nov 2024, 21:10

Primeira Postagem

Considere a figura a baixo. Sabendo que o quadrado ABCD tem área igual a 10cm^2 e o quadrado EFGH tem área igual a 4cm^2 , qual é a área do trapézio CDFE?

Últ. msg

Você tem dois quadriláteros divididos em 4 triângulos de áreas iguais, área dos triângulos grandes é 5/2 e a área dos triângulos pequenos é 1, logo a área do trapézio é igual a área de um triângulo...

3 Resp.

333 Exibições

Últ. msg por FelipeOBala
04 Nov 2024, 23:00
Geometria e padrões

Últ. msg por Analua « 03 Nov 2024, 21:04

por Analua » 03 Nov 2024, 21:04

Marcelo construiu um mosaico sobre uma faixa retangular ABCD utilizando azulejos na forma de losango, nas cores cinza e amarelo, todos congruentes e com lados medindo 15cm, sempre alternado azulejos...

0 Resp.

593 Exibições

Últ. msg por Analua
03 Nov 2024, 21:04
O algoritmo da divisão

Últ. msg por FelipeWagner « 15 Out 2024, 09:00
Resp.: 1
por sarahliv » 23 Jul 2024, 16:23

Primeira Postagem

Seja um inteiro k > 1. Mostre que 25k 2 + 7 deixa resto 11 na
divisão por 5k + 2.

Últ. msg

Olá, bom dia. Tudo bem?
Vou deixar duas soluções para a sua questão.

Uma pela divisão euclidiana entre polinômios. E a outra por fatoração (produto da soma pela diferença) e desmembrando o...

1 Resp.

292 Exibições

Últ. msg por FelipeWagner
15 Out 2024, 09:00
MMC e MDC

Últ. msg por petras « 13 Out 2024, 14:46
Resp.: 1
por Analua » 30 Set 2024, 18:10

Primeira Postagem

Um fazendeiro quer construir uma cerca em seu terreno aproveitando 5 árvores já existe no local. Para isso, ele mediu a distância entre as árvores, que estão representadas na figura abaixo (sem...

Últ. msg

Analua ,

a) Distâncias possíveis para mourões (mínimo de 2 metros):

Os divisores das distâncias entre as árvores devem ser calculados. Vamos encontrar os divisores de cada uma dessas distâncias:...

1 Resp.

215 Exibições

Últ. msg por petras
13 Out 2024, 14:46
MMC e MDC

Últ. msg por petras « 13 Out 2024, 14:36
Resp.: 1
por Analua » 30 Set 2024, 18:15

Primeira Postagem

A professora Vera está preparando kits de balas para distribuir entre seus alunos. Há 36 balas de café, 42 balas de chocolate e 54 balas de menta. Ela quer separá-las em pratos de modo a ocupar a...

Últ. msg

Analua ,
M.D.C (36,42,54) = 6

Para as balas de café: 36/6=6 pratos
Para as balas de chocolate:42/6=7 pratos
Para as balas de menta: 54/6==9 pratos

1 Resp.

107 Exibições

Últ. msg por petras
13 Out 2024, 14:36
Métodos de contagem e probabilidade

Últ. msg por FelipeWagner « 30 Set 2024, 23:03
Resp.: 1
por Analua » 26 Jul 2024, 22:08

Primeira Postagem

Quantas são as soluções inteiras e não negativas da desigualdade x+y+z=<6?

Últ. msg

Olá, tudo bem? Questão que envolve a ideia de trabalhar com combinação com repetição (n° de soluções não negativas de uma equação)

Fui na força bruta, desculpe. Coloquei todas as soluções (no...

1 Resp.

271 Exibições

Últ. msg por FelipeWagner
30 Set 2024, 23:03
Congruências e Função Piso

Últ. msg por FelipeWagner « 30 Set 2024, 22:48
Resp.: 1
por EsleyPires » 24 Jul 2024, 13:43

Primeira Postagem

Sejam p,q primos distintos, prove que {\bigg\lfloor\dfrac {p^q+q^p}{pq} \bigg\rfloor} é par se p,q>2 .

Segue abaixo o início da minha resolução (ainda incompleta):

A partir daqui, não consegui...

Últ. msg

Olá, tudo bem. Deixa eu ver se consigo te ajudar nessa... Uma luz:

Se p e q são ímpares, então podemos concluir que p^q é impar, pois qualquer potência de um número ímpar é ímpar.
q^p também segue...

1 Resp.

205 Exibições

Últ. msg por FelipeWagner
30 Set 2024, 22:48
Razão e proporção

Últ. msg por Gus0is0a0nerd « 30 Set 2024, 21:00
Resp.: 1
por Analua » 30 Set 2024, 18:17

Primeira Postagem

Na recomendação de um veterinário para o dono de um cachorro está que administre 30 gotas de uma medicação a cada 8 horas. Ao ler a bula do remédio está escrito que devem ser administradas 5 gotas a...

Últ. msg

a-) Via proporção (ora regra de três ):

2kg----------5 gotas
?kg----------30 gotas

Logo, a massa do animal é de 12kg.
(Vale enfatizar que 12kg é a massa do animal, mas não o peso. Assumindo que a...

1 Resp.

118 Exibições

Últ. msg por Gus0is0a0nerd
30 Set 2024, 21:00

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