Olimpíadas

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Aviso Global l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Última msg por iammaribrg « Ter 06 Abr, 2021 00:46
Enviado em Maratonas de Matemática
Respostas: 76
por Ittalo25 » Qui 24 Set, 2020 23:03 » em Maratonas de Matemática
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Tópico criado há 205 dias
First post

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...

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Solução Problema 75

Temos que encontrar n = 2 \cdot p \cdot q, p, q primos ímpares distintos. Devemos ter 2^{2pq-1} −1 + 1 ≡ 0 (mod p) ⇐⇒ 2^{2q-1} ≡ −1 (mod p). Veja que (2^{\frac{p-1}{2}})^{2} ≡ 1...
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Última msg por iammaribrg
Ter 06 Abr, 2021 00:46
Aviso Global ENEM 2017 Matemática Resolvida

Última msg por Jigsaw « Sáb 17 Nov, 2018 22:42
Enviado em TutorBrasil no YouTube
Respostas: 7
por caju » Qui 17 Mai, 2018 10:20 » em TutorBrasil no YouTube
Tópico criado há 1066 dias
First post

Olá a todos :)

Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .

Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...

Última msg

Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...

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Última msg por Jigsaw
Sáb 17 Nov, 2018 22:42

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(OCM) Equações e funções logarítmicas

Última msg por undefinied3 « Sáb 17 Abr, 2021 01:10
Respostas: 1
por Zhadnyy » Sex 16 Abr, 2021 20:12
Tópico criado há 1 dia
First post

Seja f uma função real de variável real satisfazendo a equação
e^{f(x)}+e^{-f(x)}-2x=0
a) Determine o domínio de f
b) Se f(x) é maior ou igual a zero para todo x em seu domínio, determine a única...

Última msg

a) exp(f(x))+\frac{1}{exp(f(x))}=2x \rightarrow exp(2f(x))-2x.exp(f(x))+1=0
t^2-2xt+1=0 \rightarrow t=x \pm \sqrt{x^2-1} \rightarrow exp(f(x)) = x \pm \sqrt{x^2-1}

Lembrando que exponenciais são...

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Última msg por undefinied3
Sáb 17 Abr, 2021 01:10
(EUA) Funções: Composta e Inversa

Última msg por Ittalo25 « Qui 15 Abr, 2021 23:11
Respostas: 1
por Zhadnyy » Qua 14 Abr, 2021 11:29
Tópico criado há 3 dias
First post

Seja f_0(x)=x+|x-100|-|x+100| e, para n\geq 1 , seja f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1 . Para quantos valores de x ocorre f_{100}(x)=0 ?

a) 299
b) 300
c) 301
d) 302
e) 303

Última msg

f_n(x) vai sempre baixando 1 unidade. Mas quando chegar em 0, vai ficar sempre repetindo 0 e -1

Exemplo:
f_6(x)=0
f_{5}(x)=-1
f_{4}(x)=0
f_{3}(x)=-1
f_{2}(x)=0
f_{1}(x)=1
f_{0}(x)=2...

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Última msg por Ittalo25
Qui 15 Abr, 2021 23:11
(EUA) Funções: Composta e Inversa

Última msg por Zhadnyy « Qua 14 Abr, 2021 11:26

por Zhadnyy » Qua 14 Abr, 2021 11:26
Tópico criado há 3 dias

Seja f(z)=\frac{z+a}{z+b} e g(z)=f(f(z)) , sendo a e b números complexos. Suponha que |a| = 1 e que g(g(z)) = z para todo z para o qual g(g(z)) esteja definida. Qual é a diferença entre o maior e o...

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Última msg por Zhadnyy
Qua 14 Abr, 2021 11:26
(Bulgária - 2005) Teoria dos Números

Última msg por Ittalo25 « Dom 11 Abr, 2021 01:06
Respostas: 3
por rean » Qui 27 Set, 2007 09:46
Tópico criado há 4951 dias
First post

Ache todas as triplas de inteiros positivos ( x, y, z) tais que

\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}+\sqrt{\frac{2005}{z+x}},
também seja um inteiro.

Última msg

Para \frac{1}{w}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t} ser um número inteiro

Primeiro caso: w=v=t
\frac{1}{w}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t} = \frac{3}{v}\rightarrow v \in \{1,3\}
\begin{cases}
x+y=2005 \\
x+z=2005...

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Última msg por Ittalo25
Dom 11 Abr, 2021 01:06
Arbelos

Última msg por NigrumCibum « Sáb 10 Abr, 2021 08:01
Respostas: 2
por Babi123 » Sex 09 Abr, 2021 14:28
Tópico criado há 8 dias
First post

A seguir temos três semicírculos sendo AB,AD \ e \ DB os seus diâmetros.
M e N são pontos de tangência, \{F,G\}=MN\cap\odot(O, OB) , C\in\odot(O,OB) e CD\perp AB . Prove que \Delta{GFC} é isósceles...

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1618051865703.jpg
1. Provar que A, M, C e B, N, C são colineares é o mesmo que provar que DMCN é um retângulo. Na verdade, isso é bastante fácil, basta olhar para as tangências e lembrar do critério...

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Última msg por NigrumCibum
Sáb 10 Abr, 2021 08:01
divisibilidade

Última msg por Ittalo25 « Sáb 10 Abr, 2021 02:27
Respostas: 3
por quevedo » Dom 03 Jun, 2018 23:10
Tópico criado há 1049 dias
First post

A soma dos 4 menores fatores primos distintos do número 15^15^15 + 15 é igual a:
a) 33
b) 39
c) 27
d) 29
e) 41

Pelo problema fatorando ficaríamos: 15x(15^(15-1) + 1)
Daí teríamos que os fatores...

Última msg

15^{15^{15}}+15=15\cdot (15^{15^{15}-1}+1)

Supondo um primo p maior que 5, devemos ter:
15^{15^{15}-1}\equiv -1 \mod(p)
15^{2\cdot 15^{15}-2}\equiv 1 \mod(p)
Como mdc(15,p) = 1, pelo pequeno...

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Última msg por Ittalo25
Sáb 10 Abr, 2021 02:27
968 problemas selecionados

Última msg por Ittalo25 « Sex 09 Abr, 2021 16:10
Respostas: 1
por quevedo » Dom 26 Mai, 2019 10:42
Tópico criado há 692 dias
First post

O número de ternos de inteiros (p, q, r) tais que 1 < p < q < r e (p - 1)(q - 1)(r - 1) seja um divisor de (pqr - 1) é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) mas que 3

Última msg

Essa é a primeira questão da IMO de 1992

Várias resoluções podem ser encontradas facilmente na internet

não vou escrever nenhuma resolução aqui porque achei todas pouco intuitivas

parecem mais...

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Última msg por Ittalo25
Sex 09 Abr, 2021 16:10
Inequações Funcionais

Última msg por null « Sex 09 Abr, 2021 13:30
Respostas: 1
por goncalves3718 » Ter 02 Fev, 2021 14:10
Tópico criado há 74 dias
First post

Seja f : \mathbb{N} → \mathbb{N} uma função tal que f(n + 1) > f(n) e f(f(n)) = 3n , para todo n natural.

Determine f(2001) .

Última msg

........................................up.......................................
\boxed{3f(n) = f(3n)}
isso vem do fato f(f(n)) = 3n \implies f(f(f(n))=3f(n)=f(3n)
usando isso podemos descobrir o...

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Última msg por null
Sex 09 Abr, 2021 13:30
(O.M.Campinense) Expressão trigonométrica

Última msg por guga47222 « Seg 05 Abr, 2021 12:20
Respostas: 8
por snooplammer » Sáb 02 Fev, 2019 19:38
Tópico criado há 805 dias
First post

A expressão \cos\frac{4\pi}{15}\cdot \cos\frac{8\pi}{15}\cdot\cos\frac{16\pi}{15}\cdot\cos\frac{32\pi}{15} é igual a:

A)\frac{1}{15}\\B)\frac{1}{13}\\C)\frac{1}{16} \\D)\frac{1}{14}\\E)\frac{1}{18}

Última msg

Acho que um ótimo motivo para pôr esse termo é o fato dele facilitar extremamente o cálculo, pois observe que, sem ele, não seria possível utilizar o produto notável (a+b)(a-b) = a² - b², tornando o...

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Última msg por guga47222
Seg 05 Abr, 2021 12:20
Problemas selecionados - 1495

Última msg por quevedo « Dom 04 Abr, 2021 17:52

por quevedo » Dom 04 Abr, 2021 17:52
Tópico criado há 13 dias

Os oitos últimos algarismos do número 27 1986 quando escritos na base 2 são:

a) 110011001
b) 11011101
c) 11111001
d) 11011011
e) 10011001

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Última msg por quevedo
Dom 04 Abr, 2021 17:52
IMO 1959-#5 - Quadrados e Círculos circunscritos

Última msg por Carlosft57 « Qua 31 Mar, 2021 16:24
Respostas: 1
por Carlosft57 » Qua 31 Mar, 2021 16:22
Tópico criado há 17 dias
First post

Um ponto arbitrário M é selecionado num segmento de reta AB.
Os quadrados AMCD e MBEF são construídos no mesmo lado de AB em que os segmentos AM e MB são as respetivas bases.
Os círculos...

Última msg

Alguns slides relativos à explicação em vídeo:
=====================================
Slide7.PNG
Slide8.PNG
Slide9.PNG
Slide10.PNG
Slide12.PNG
Slide19.PNG
Slide20.PNG
Slide22.PNG...

1 Respostas

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Última msg por Carlosft57
Qua 31 Mar, 2021 16:24
IMO 1959-#4 - Construção de um triângulo retângulo dada a hipotenusa e a respetiva mediana

Última msg por Carlosft57 « Seg 29 Mar, 2021 06:09
Respostas: 1
por Carlosft57 » Seg 29 Mar, 2021 06:07
Tópico criado há 20 dias
First post

Construir um triângulo retângulo de hipotenusa c e em que a mediana relativa à hipotenusa é igual à média geométrica dos catetos do triângulo.
Slide0.PNG

Construção de um triângulo retângulo dada...

Última msg

Alguns slides relativos à explicação em vídeo:
=======================================
Slide9.PNG
Slide10.PNG
Slide11.PNG
Slide12.PNG
Slide13.PNG
Slide14.PNG
Slide15.PNG
Slide16.PNG...

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Última msg por Carlosft57
Seg 29 Mar, 2021 06:09
Desigualdade triangular

Última msg por quevedo « Dom 28 Mar, 2021 08:00
Respostas: 1
por A13235378 » Sex 05 Fev, 2021 09:44
Tópico criado há 71 dias
First post

ABC é um triângulo de incentro I no qual AB>AC. Mostre que IB > IC.

Última msg

Não é muito dificil ver que o maior ângulo de um triângulo sempre está voltado para o maior lado deste. Esse fato, apenas, é necessário pra mostrar a questão. Veja:

Seja \alpha o ângulo oposto a AB...

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Última msg por quevedo
Dom 28 Mar, 2021 08:00
Geometria - Peru

Última msg por rhemo « Dom 28 Mar, 2021 07:45

por rhemo » Dom 28 Mar, 2021 07:45
Tópico criado há 20 dias

Geometria.jpg

Solicito ajuda nesta questão
Obrigado

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Última msg por rhemo
Dom 28 Mar, 2021 07:45
Sequencias

Última msg por null « Seg 15 Mar, 2021 21:30
Respostas: 2
por iammaribrg » Seg 15 Mar, 2021 17:13
Tópico criado há 33 dias
First post

Prove que, numa PG de razão 4, cujo primeiro termo é igual a 1, todos os termos são quadrados perfeitos.

Última msg

ideia para o caso geral em alguns valores específicos:
a_1=1=1^2
a_2=1^2\cdot4=1^2\cdot2^2=(1\cdot2)^2
a_3=2^2\cdot(1\cdot2)^2=(1\cdot2\cdot2)^2=4^2

base:
por definição a_1=1 mas 1 é quadrado...

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261 Exibições

Última msg por null
Seg 15 Mar, 2021 21:30
Geometria Olímpica ( Problema do pentágono )

Última msg por NigrumCibum « Seg 15 Mar, 2021 14:49
Respostas: 8
por careca » Sáb 13 Mar, 2021 15:12
Tópico criado há 35 dias
First post

Seja o pentágono regular abaixo, calcule o ângulo desconhecido:

olímpica.jpg

Não tenho gabarito ! :(

Última msg

Há uma solução interessante enviada pelo professor Ignacio Larrosa Cañestro no Twitter:
20210315_143310.jpg
Seja AH a altura traçada desde A até DC e seja I=AH∩DG. Como \angle IAF=\angle FGI=54° ,...

8 Respostas

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Última msg por NigrumCibum
Seg 15 Mar, 2021 14:49
Demonstração sequências

Última msg por jgcunha1 « Sex 12 Mar, 2021 18:35
Respostas: 2
por jgcunha1 » Sex 05 Mar, 2021 20:45
Tópico criado há 43 dias
First post

Prove que os números √2 √3 √5 não podem fazer parte de uma Pa (não necessariamente eles são consecutivos na pa)

Última msg

Obrigado pela ajuda :D

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Última msg por jgcunha1
Sex 12 Mar, 2021 18:35
quadrado perfeito

Última msg por samuel12 « Sex 12 Mar, 2021 12:09
Respostas: 3
por samuel12 » Qui 11 Mar, 2021 17:27
Tópico criado há 37 dias
First post

Se n e m são um números naturais prove que 2(n²+1)-n=m² não é um quadrado perfeito

Última msg

Exatamente é para provar que 2(n²+1)-n=m² não é um quadrado perfeito mas eu n estou entendo o raciocionio

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Última msg por samuel12
Sex 12 Mar, 2021 12:09
Geometria plana Incentro e quadrílateros

Última msg por golondrina « Qui 11 Mar, 2021 17:58

por golondrina » Qui 11 Mar, 2021 17:58
Tópico criado há 37 dias

Seja ABC um triangulo e \Gamma a circunferência circunscrita no triângulo, com I o incentro do triangulo. As retas AI,BI,CI cortam \Gamma novamente em D,E,F,respectivamente. As tangentes a \Gamma em...

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Última msg por golondrina
Qui 11 Mar, 2021 17:58
algarismos iguais a 1

Última msg por null « Dom 07 Mar, 2021 10:02
Respostas: 1
por rean » Qua 09 Jun, 2010 08:55
Tópico criado há 3965 dias
First post

Prove que existe um natural n tal que a expressão decimal de n^{1992}
comerça com 1992 algarismos iguais a 1 .

Última msg

,..............................up...............................

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Última msg por null
Dom 07 Mar, 2021 10:02
Desigualdade com reais positivos

Última msg por NigrumCibum « Sáb 06 Mar, 2021 22:54
Respostas: 5
por PrincesaAli » Sáb 16 Dez, 2017 06:06
Tópico criado há 1219 dias
First post

a,b,c são números reais positivos com abc=1 .
Demonstrar que

(a-1+\frac {1}{b})(b-1+\frac {1}{c})(c-1+\frac {1}{a})\leq 1

Última msg

undefinied3 , bem, como abc=1 então podemos dizer que a=\frac{x}{y} , b=\frac{y}{z} e c=\frac{z}{x} , então nós ficaremos com a seguinte desigualdade (x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)≦xyz.
Agora a gente faz uma...

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Última msg por NigrumCibum
Sáb 06 Mar, 2021 22:54
Analise Combinatória- Binomiais

Última msg por NigrumCibum « Qui 04 Mar, 2021 08:59
Respostas: 1
por iammaribrg » Qui 04 Mar, 2021 07:55
Tópico criado há 44 dias
First post

(EUA) Sabendo que o valor da soma
{1}{2! 17!} + {1}{3! 16!} +...{1}{9! 10!}

é representada da seguinte forma
2^{a} - b/c!
onde c! é o fatorial de c. Calcule o valor de a + b + c.

Última msg

Designando por S a soma pedida, temos: S=\frac{1}{2!17!}+\frac{1}{3!16!}+\dots+\frac{1}{9!10!}
Multiplicando a soma por 2 e por 19!, temos:...

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Última msg por NigrumCibum
Qui 04 Mar, 2021 08:59
ocm 1985

Última msg por NigrumCibum « Qua 03 Mar, 2021 13:29
Respostas: 3
por TheDerivator » Ter 02 Mar, 2021 10:23
Tópico criado há 46 dias
First post

(OCM 1985) Os pontos M,O,Q e L,N,P estão nesta ordem

sobre os lados AB e AC de um triângulo isósceles ABC de base BC

, marcados de B para A e de C para A . Determine, em graus,

o valor do ângulo...

Última msg

TheDerivator , os 20° acontecem nessa configuração. A pessoa que propôs a questão deve ter confundido os gabaritos.
20210303_132750.jpg

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361 Exibições

Última msg por NigrumCibum
Qua 03 Mar, 2021 13:29
Cone Sul 2020 - Teoria dos números

Última msg por Ittalo25 « Ter 02 Mar, 2021 16:27
Respostas: 1
por null » Ter 02 Mar, 2021 14:30
Tópico criado há 46 dias
First post

Para cada inteiro positivo n, defina
S_n = 1! + 2! + . . . + n!.
Prove que existe um inteiro positivo n tal que S_n possui um divisor primo maior que 10^{2020} .

Última msg

Aqui tem a resposta: has a prime divisor greater than .
mas não consegui entender muito bem.

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201 Exibições

Última msg por Ittalo25
Ter 02 Mar, 2021 16:27
Análise Combinatória

Última msg por FelipeMartin « Ter 02 Mar, 2021 14:36
Respostas: 7
por NigrumCibum » Ter 02 Mar, 2021 09:55
Tópico criado há 46 dias
First post

Para n∈ℕ , mostre que: \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)!}=⌊n!e⌋ , onde ⌊x⌋ representa o maior inteiro menor ou igual a x e e=2,718\dots .

Última msg

NigrumCibum , eu acho que esse argumento não basta, pois são somados infinitos termos.

7 Respostas

284 Exibições

Última msg por FelipeMartin
Ter 02 Mar, 2021 14:36
(OBMEP 2016 1ª Fase) Álgebra

Última msg por iammaribrg « Seg 01 Mar, 2021 21:52
Respostas: 1
por Amadinha » Seg 01 Mar, 2021 18:24
Tópico criado há 47 dias
First post

Juliana começou a escrever em ordem crescente uma lista dos números inteiros positivos cuja soma dos algarismos é divisível por 5 sua lista começou com 5, 14, 19, 23 e terminou quando ela encontrou...

Última msg

Amadinha

Nesse vídeo aí tem tudo explicadinho, passo a passo

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252 Exibições

Última msg por iammaribrg
Seg 01 Mar, 2021 21:52
Triângulo

Última msg por NigrumCibum « Sáb 27 Fev, 2021 10:17
Respostas: 6
por undefinied3 » Dom 31 Mai, 2020 01:12
Tópico criado há 322 dias
First post

É dado que AB=CD e \angle CAB=84 e \angle ABD=42 . Determine o valor de \angle ACB

triangulo.png

Última msg

rodBR , obrigado. Acho que pontuei algo óbvio na primeira solução (que G é um ponto externo).

6 Respostas

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Última msg por NigrumCibum
Sáb 27 Fev, 2021 10:17
Recomendação literárira

Última msg por KauanC « Sex 26 Fev, 2021 12:26

por KauanC » Sex 26 Fev, 2021 12:26
Tópico criado há 50 dias

Boa tarde à todos! Venho por meio desse pedir a opinião de vocês sobre a série de livros Tópicos de matemática elementar do professor Antônio Caminha Muniz Neto, penso em comprar, com o objetivo de...

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178 Exibições

Última msg por KauanC
Sex 26 Fev, 2021 12:26
Sequencias

Última msg por csmarcelo « Qui 25 Fev, 2021 13:22
Respostas: 1
por iammaribrg » Qui 25 Fev, 2021 10:43
Tópico criado há 51 dias
First post

Suponha que a_1=2 e a_{k+1}=3a_k+1 para todo k\geq1 .

Ache uma fórmula geral para a_1+a_2+...+a_n .

Última msg

a_1=2
a_{k+1}=3a_k+1

a_2=3a_1+1
a_3=3(3a_1+1)+1=3^2a_1+3+1
a_4=3(3^2a_1+3^1+1)+1=3^3a_1+3^2+3+1
a_5=3(3^3a_1+3^2+3^1+3^0)+1=3^4a_1+3^3+3^2+3+1

Mas 1=3^0 , logo,

a_2=3^1a_1+3^0...

1 Respostas

242 Exibições

Última msg por csmarcelo
Qui 25 Fev, 2021 13:22
Triângulo inscrito em uma circunferência

Última msg por petras « Qua 24 Fev, 2021 13:31
Respostas: 1
por CarlGauss95 » Qua 24 Fev, 2021 10:14
Tópico criado há 52 dias
First post

O triângulo ABC está inscrito em um círculo com diâmetro AD. Uma reta tangente ao círculo em D corta AB estendido em E e AC estendido em F. Se AB = 4, AC = 6 e BE = 8, qual o valor de BC?
Encontrei...

Última msg

CarlGauss95 ,

Não duplique questões. Você já postou esta questão...utilize a mesma para qualquer mensagem ou consideração

1 Respostas

215 Exibições

Última msg por petras
Qua 24 Fev, 2021 13:31

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