Para cada natural n , definimos d(n) a quantidade de divisores de n e \varphi (n) a quantidade de inteiros coprimos com n e menores do que ou iguais a n . Ache todos os inteiros positivos n , tais...

(Professor Isaac Luís) Sejam p um polinômio de grau ímpar com coeficientes reais e c um número real positivo. Sabe-se que, para todo x \in \mathbb{R} , p(x)+p(-x)=c e |p(x)|\leq p(|x|) . Mostre que p...

Ache todas as soluções em inteiros positivos x e y da equação diofantina 2x^2-y^6=1 .

Determine o valor dos lados de um triângulo ABC com área S e ∠BAC=x, de modo que o lado BC seja o menor possível.

Já tentei várias vezes mas não consegui chegar ao resultado, por favor , peço ajuda a meus amigos do fórum

(austrália-1993) Em um triângulo acutângulo ABC, sejam D, E e F os pés das alturas tiradas...

Uma circunferência é traçada passando pelos vértices B e C de um triângulo ABC, e esta circunferência encontra os lados AB e AC nos pontos D e E. Se o ponto médio de BC é M e de DE é N, demonstre que...

Encontre toda as soluções em inteiros positivos x,y , com x ímpar, da seguinte equação diofantina: 2y^2 = x ^4 + x .

Obs.: Desconfio que (x,y)=(1,1) é a única solução para x ímpar. Fazendo...

Temos quatro dados tetraédricos, perfeitamente equilibrados, com as faces numeradas com os algarismos: 2, 0, 1 e 7. Se jogarmos esses quatro dados, qual é a probabilidade de podermos compor o número...

Seja ABC um triângulo de circuncentro O e ortocentro H tal que ∠BAC = 60º e AB >AC . Sejam também BE , CF as alturas relativas aos lados CA , AB , respectivamente, e M , N pontos sobre os segmentos...

Clara tem uma tira retangular de papel com 12 cm de comprimento e 2 cm de largura. Ela faz uma dobra na tira a 45° com o lado maior, de modo que as duas partes da tira formem um ângulo reto, como...

Suponha n ≥ 4 e seja S um conjunto finito de pontos no espaço 3, de maneira que quaisquer quatro de seus pontos não sejam coplanares. Suponha que todos os pontos de S podem ser coloridos de vermelho...

Um número é dito lindo se é divisível por cada um dos seus dígitos não nulos. Qual é a maior quantidade de números lindos consecutivos que pode existir ?

Gente, não sei como resolver essa questão,...

Em Terra Brasilis existem n casas onde vivem n duendes, cada um em uma casa. Existem estradas de mão única de tal modo que:

cada estrada liga duas casas;
em cada casa começa exatamente uma...

Os números reais não negativos x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 e a satisfazem as seguintes relações:
\left\{\begin{matrix}1\times x_{1}+2\times x_{2}+3\times x_{3}+4\times x_{4}+5\times x_{5}=a
& & & &...

Sabendo que o sistema \left\{\begin{matrix}x+y+z=3
& & & \\x^3+y^3+z^3=15
& & & \\x^4+y^4+z^4=35
& & & \\
\end{matrix}\right. , possui uma solução x, y, z para a qual x^2+y^2+z^2...

(Leningrado) No quadrilátero ABCD , AB = CD . Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e CD , respectivamente e P o ponto de encontro das mediatrizes de BC e AD . Prove que P também está sobre a...

O problema da Torre de Hanói envolve um ambiente formado por uma base, contendo 3 pinos, onde, em um deles, há uma pilha de discos furados no meio e de diâmetros diferentes ordenados de forma que o...

Resolva
p^2(p^3-1)=q(q+1)
onde p e q são números primos.

Alguém pode me ajudar? Já tentei várias coisas, como divisibilidade e módulos, esse exercício está num livro sobre equações diofantinas do...

Sejam a, b e c números reais não nulos tais que a+b+c=0 e a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5 . Calcule o valor de a^2+b^2+c^2 .

Gabarito

Alguém poderia me ajudar, por favor?

Dado que a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}=c^{2}+d^{2}+(c+d)^{2} . Prove que
a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4} .

Alguém por gentileza, poderia me ajudar na resolução dessa questão?

Sejam a e b inteiros positivos. Prove que se 4ab-1 divide (4a^2-1)^2 , então a=b .

Calcule um número n de quatro algarismo que dividido entre a soma de seus algarismos nos dá como quaociente 207 e 13 de resto.
Qual é o produto dos algarismos de n ?

Todo relógio analógico tem pelo menos dois ponteiros: um para mostrar a hora e o outro mais comprido para mostrar o minuto. Joãozinho percebeu
que esses ponteiros às vezes ficam alinhados, opostos ou...

. Calcule o valor de
A = \frac{1001 · 1002 · 1003 · . . . · 2000}{1 · 3 · 5 · . . . · 1999}

(a) 2 2^{1000} 1000 (b) 2^{999} (c) 1000 (d) 999 (e) 2.

Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opções abaixo, a expressão que não pode representar o
número 24 é:
(a) a b^{3} (b) a^{2} b^{3} (c) a^{c} b^{c}
(d) a b^{2} c^{3} (e) a^{b} b^{c} c^{a}