Quantas são as soluções inteiras e não negativas da desigualdade x+y+z=<6?

Sejam p,q primos distintos, prove que {\bigg\lfloor\dfrac {p^q+q^p}{pq} \bigg\rfloor} é par se p,q>2 .

Segue abaixo o início da minha resolução (ainda incompleta):

A partir daqui, não consegui...

Na recomendação de um veterinário para o dono de um cachorro está que administre 30 gotas de uma medicação a cada 8 horas. Ao ler a bula do remédio está escrito que devem ser administradas 5 gotas a...

A professora Vera está preparando kits de balas para distribuir entre seus alunos. Há 36 balas de café, 42 balas de chocolate e 54 balas de menta. Ela quer separá-las em pratos de modo a ocupar a...

Um fazendeiro quer construir uma cerca em seu terreno aproveitando 5 árvores já existe no local. Para isso, ele mediu a distância entre as árvores, que estão representadas na figura abaixo (sem...

Sobre os lados 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 de um triângulo 𝐴𝐵𝐶, são tomados os pontos 𝑋 𝑒 𝑌,
respectivamente, tais que 𝐴𝐵̂𝑋 = 𝑌𝐴̂𝐶, 𝐴𝑌̂𝐵 = 𝐵𝑋̂𝐶 𝑒 𝑋𝐶 = 𝑌𝐵. Determine as
medidas dos ângulos internos do triângulo 𝑨𝑩𝑪.

No quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 que aparece na figura abaixo, 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 e as medidas dos
ângulos 𝐷𝐴𝐶,𝐷𝐵𝐶 𝑒 𝐵𝐶𝐷 são, respectivamente, 98°, 82° 𝑒 70°.
Encontre a medida do ângulo 𝑨𝑪𝑫.

Sobre os lados 𝐵𝐶 e 𝐶𝐷 de um retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, são marcados os seus respectivos
pontos médios 𝐸 𝑒 𝐹. Em seguida, liga-se o ponto 𝐹 aos pontos 𝐴 𝑒 𝐵 e o ponto 𝐸 aos
pontos 𝐴 𝑒 𝐷, determinando-se os...

Quando um raio de luz incide sobre um espelho plano, ele é refletido de modo a fazer
ângulos iguais com o espelho, conforme ilustrado na figura 1. A figura 2 mostra dois
espelhos que se encontram...

Na figura, os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐵𝐷𝐸 são congruentes e os ângulos 𝐵D𝐶 e 𝐵D𝐸 são retos.
Determine a medida do ângulo 𝐵F𝐸

Na figura abaixo, todos os quadradinhos do tabuleiro são iguais. Qual o valor do ângulo A\hat{E}F ? Justifique.

Em uma lousa encontra-se o seguinte texto:

A equação x^2-824x+\blacksquare143=0 possui duas soluções inteiras.

Onde \blacksquare representa alguma quantidade de algarismos de um número que está...

Sejam a e b inteiros positivos. Prove que se 4ab-1 divide (4a^2-1)^2 , então a=b .

Every pair of communities in a county are linked directly by exactly one mode of transportation: bus, train or automobile. All three modes of transportation are used in the county with no community...

Seja ABC um triângulo. Prolonguemos o lado BC, a partir de C, até um ponto D tal que CD = AC. Seja P o segundo ponto de interseção do circuncírculo de ACD com o círculo de diâmetro BC. Considere que...

OMpD-2020

Um tabuleiro de xadrez 8 × 8 será decomposto em retângulos que satisfazem simultaneamente às seguintes propriedades:

(1) Cada retângulo possui um número inteiro de casas;

(ii) Os...

Questão da OMpD- 2020

Para cada inteiro positivo n, seja S(n) a soma dos dígitos de n. Por exemplo, S(327) = 3 + 2 + 7 = 12 Determine o valor da soma alternada:

S(1) - S(2) + S(3) - S(4)...

Seja ABC um triângulo retângulo e isósceles, com ∠CAB = 90°. Seja P um ponto na reta BC, com B entre C e P, e Q um ponto na reta AB, com A entre B e Q, tais que BP=AQ. Seja R um ponto na reta AC, com...

Demonstre a seguinte identidade:

\sen\(\dfrac{\pi}{n}\)\sen\(\dfrac{2\pi}{n}\)\sen\(\dfrac{3\pi}{n}\)\ldots \sen\(\dfrac{(n-1)\pi}{n}\) = \dfrac{n}{2^{n-1}}

Um ponto (x, y) ∈ Z^2 é legal se mdc(x, y) = 1 . Prove ou disprove: Dado um inteiro positivo n , existe um ponto (a, b) ∈ Z^2 cuja distância a todo ponto legal é pelo menos n ?

Essa é mais uma...

Cristina tem um conjunto de doze fichas numeradas de 1 a 12. Ela colocou uma ficha em cada um dos oito vértices de um octógono, de tal forma que a soma dos números nas extremidades de qualquer lado...

Determine todas as triplas ordenadas de inteiros postivos (a,\ b,\ c) tais que 8^a + 17 = b^c

Sejam a e b inteiros positivos tais que, para qualquer n natural, a^ n+n \mid b^n+n . Prove que a = b .

Esse é um problema disponível em um dos materiais do POTI, porém que não entendi a solução em...

O menor inteiro N para o qual a soma 5^N + N^5 seja divisível por 13 é:

Laurinha brinca de desenhar triangulos unindo três vertices de um polígono convexo com mais de três lados.
a) quantos triângulos ela pode desenhar se o polígono possuir 5 lados ?
b) quantos...

Ao calcularmos as 2024 primeiras potências do número 3 obtemos os números: 3¹, 3², 3³... 3²⁰^2⁴
Ao escolhermos ao acaso uma dessas potências de 3, qual é a probabilidade de que o algarismo das...

A china tem um sério problema de controle de população. Várias políticas form propostas ( e algumas colocadas em efeito) visando proibir as famílias de terem mais de um filho. Algumas dessas...

Laura e telma retiraram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? O resultado é...