Olimpíadas

Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero

)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

Olimpíadas

Moderador: [ Moderadores TTB ]

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Aviso Global l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Última mensagem por leozitz « 03 Nov 2022, 11:16
Enviado em Maratonas de Matemática
Respostas: 82
por Ittalo25 » 24 Set 2020, 23:03 » em Maratonas de Matemática

Primeira Postagem

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...

Última mensagem

Solução do problema 81

sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)

a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...

82 Respostas

58405 Exibições

Última mensagem por leozitz
03 Nov 2022, 11:16
Aviso Global ENEM 2017 Matemática Resolvida

Última mensagem por Jigsaw « 17 Nov 2018, 22:42
Enviado em TutorBrasil no YouTube
Respostas: 7
por caju » 17 Mai 2018, 10:20 » em TutorBrasil no YouTube

Primeira Postagem

Olá a todos :)

Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .

Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...

Última mensagem

Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...

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Última mensagem por Jigsaw
17 Nov 2018, 22:42

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Polinômios

Última mensagem por Caduzin3445 « 24 Abr 2024, 15:47

por Caduzin3445 » 24 Abr 2024, 15:47

Considere o produtório P(n)= produtorio de k=0 até n(senk°+cosk°) e o polinômio f(x)= sum j=0 até 180 de p(j) × x^j. Qual é o grau de f(x)?

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Última mensagem por Caduzin3445
24 Abr 2024, 15:47
raciocínio lógico (probabilidade)

Última mensagem por petras « 19 Abr 2024, 09:21
Respostas: 1
por rean » 11 Jul 2010, 07:47

Primeira Postagem

Quantos dados devem ser lançados ao mesmo tempo para maximinizar a probabilidade de se obter exatamente um 2?

resp. 5 ou 6

Última mensagem

rean ,
Questão da XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)

Suponha que os dados estão numerados de 1 a n. A probabilidade de que somente o dado No. 1 resulte...

1 Respostas

708 Exibições

Última mensagem por petras
19 Abr 2024, 09:21
Problema do 1º Grau: Balas e Caixas

Última mensagem por petras « 18 Abr 2024, 19:47
Respostas: 1
por rean » 29 Abr 2008, 12:48

Primeira Postagem

Brenda tem um estoque de balas, as quais estão numa caixa cheia ou numa caixa cheia pela metade. Ela vende a metade da caixa que tinha e deu meia caixa a um garoto. No dia seguinte, ela vendeu...

Última mensagem

rean ,
x = n. caixas

No primeiro dia, Brenda vendeu metade do número inicial de caixas, ou seja,
\frac{𝑥}{2}
Ela também deu meia caixa a um garoto, o que significa \frac{1}{2} de caixa.

No...

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2316 Exibições

Última mensagem por petras
18 Abr 2024, 19:47
(OBM-2005) Expressão

Última mensagem por FelipeMartin « 07 Abr 2024, 20:43
Respostas: 5
por Vscarv » 10 Fev 2017, 22:17

Primeira Postagem

O número (2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4} é:

a) inteiro impar
b) inteiro par
c) racional não inteiro
d) irracional positivo
e) irracional negativo

Última mensagem

se você for um bom algebrista, talvez dê pra fazer provando que:

z \bar w = \bar{(\bar z w)}

para z = a + b \sqrt 2 com a e b inteiros.

Se z = a+b\sqrt2 e w = c + d \sqrt 2 , teremos \bar z = a...

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1718 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
07 Abr 2024, 20:43
Polônia 2011 — Aritmética

Última mensagem por FelipeMartin « 31 Mar 2024, 06:21
Respostas: 1
por Babi123 » 31 Mar 2024, 00:38

Primeira Postagem

Determine todos os inteiros não negativos x e y tais que 2^x+5^y é um quadrado perfeito.

Última mensagem

Se x for par, x = 2k :

n^2 = 2^{2k} + 5^y \implies (n - 2^{k})(n+2^k) = 5^y
\begin{cases}
n-2^{k}=5^a \\
n + 2^k=5^{y-a}
\end{cases}
2^{k+1} = 5^{y-a}-5^a
Se a \neq 0 , o lado direito é 0...

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126 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
31 Mar 2024, 06:21
Regra de três

Última mensagem por Papiro8814 « 30 Mar 2024, 20:12
Respostas: 3
por Papiro8814 » 30 Mar 2024, 17:31

Primeira Postagem

31) (OBM-98) Se ,x homens fazem x embrulhos em .x segundos, em quantos
segundos y homens farão y embrulhos?

Última mensagem

Tinha esquecido disso. Obrigado petras e papirador

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Última mensagem por Papiro8814
30 Mar 2024, 20:12
OBM-2018 Questão 3 N2

Última mensagem por FelipeMartin « 30 Mar 2024, 18:36
Respostas: 6
por GabrielOBM » 18 Nov 2018, 19:08

Primeira Postagem

3- Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O e ortocentro H. A circunferencia de centro Xa passa pelos pontos A e H e tangencia o circuncículo do triangulo ABC. Defina de maneira análoga os...

Última mensagem

problemadocapeta.png

é claro que Y_a = OH_a \cap BC .
Note que \angle A'AH_a = 90^{\circ} \implies AA' \parallel BC donde tiramos que A' é reflexo de A em relação à mediatriz de BC , donde...

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2254 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
30 Mar 2024, 18:36
Wisconsin 2002 ( Geo Plana)

Última mensagem por SBAN « 19 Mar 2024, 13:53

por SBAN » 19 Mar 2024, 13:53

Wisconsin 2002 Os pontos P, A, B, e C, São colineares, tal qual os pontos P, X, Y, e Z. Se AY E Bz são paralelos e se BX e CY são parelelas, Mostre que os segmentos AX e CZ também são paralelos

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138 Exibições

Última mensagem por SBAN
19 Mar 2024, 13:53
Geometria Plana, Torneio das cidades 2009

Última mensagem por petras « 16 Mar 2024, 12:19
Respostas: 1
por SBAN » 16 Mar 2024, 10:25

Primeira Postagem

Torneio das cidades 2009( Questão 118 do livro do rufino cap 1)

Uma reta paralela ao lado AC do triângulo ABC corta o lado AB em K e o lado BC em M. O é o ponto de interseção de AM e CK. Se AK=AO e...

Última mensagem

SBAN ,

\angle MCK = \theta\implies \angle CKM = \theta \implies \angle KCA = \theta\\
\therefore \angle C = 2\theta \cong \angle BMK\\
\angle AKC \cong \angle AOK = \alpha\\
\angle KAO = 180^o...

1 Respostas

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Última mensagem por petras
16 Mar 2024, 12:19
Divisibilidade

Última mensagem por Caduzin3445 « 15 Mar 2024, 10:30
Respostas: 4
por Caduzin3445 » 14 Mar 2024, 23:04

Primeira Postagem

(Bélgica-97) Sejam a, b, c ∈ N0. Dividindo a
por b encontramos o quociente q e o resto r, e
dividindo q por c encontramos o quociente q’ e o
resto r’. A divisão de a por bc possui o resto:
a) r b)...

Última mensagem

Acho q vi errado, perdão.

4 Respostas

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Última mensagem por Caduzin3445
15 Mar 2024, 10:30
Somatório

Última mensagem por Jpgonçalves « 13 Mar 2024, 17:50

por Jpgonçalves » 13 Mar 2024, 17:50

Calcule o valor da soma:

\sum_{k=1}^{4013} \frac{1}{2005^{k-2007}}

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Última mensagem por Jpgonçalves
13 Mar 2024, 17:50
Somatório

Última mensagem por Jpgonçalves « 13 Mar 2024, 17:47

por Jpgonçalves » 13 Mar 2024, 17:47

Calcule o valor da soma

\sum_{k=1}^{4013} \frac{1}{2005^{k-2007}}

0 Respostas

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Última mensagem por Jpgonçalves
13 Mar 2024, 17:47
MDC

Última mensagem por Caduzin3445 « 11 Mar 2024, 19:47
Respostas: 4
por Caduzin3445 » 11 Mar 2024, 18:24

Primeira Postagem

O gabarito é apenas sim, eu não achei mais nada em relação a isso. Se alguém puder ajudar, eu agradeço.

Última mensagem

(IMO-83 banco) Sejam a e b números
inteiros. É possível encontrar inteiros p e q tais
que os inteiros p + na e q + nb são primos entre
si para todo n?

Gab: sim

4 Respostas

130 Exibições

Última mensagem por Caduzin3445
11 Mar 2024, 19:47
Análise combinatória

Última mensagem por Caduzin3445 « 11 Mar 2024, 17:52

por Caduzin3445 » 11 Mar 2024, 17:52

(Áustria/Polônia-99) Sejam n um inteiro
positivo e M = {1, 2, ..., n}. Determine o número
de maneiras de formar seis subconjuntos A1, A2,
A3, A4, A5 e A6 (não necessariamente disjuntos)
de M, de...

0 Respostas

100 Exibições

Última mensagem por Caduzin3445
11 Mar 2024, 17:52
Polinômios

Última mensagem por FelipeMartin « 09 Mar 2024, 23:47
Respostas: 1
por Caduzin3445 » 09 Mar 2024, 21:55

Primeira Postagem

(AIME)Encontre todos os reais a e b tais que X²-X-1 divide aX¹⁷+bX¹⁶+1

Como posso fazer essa questão?

Obs: não possuo gab, perdão.

Última mensagem

x^2 - x - 1 \equiv 0 \mod (x^2-x-1) \implies x^2 \equiv x+1 \mod (x^2-x-1)

x^3 \equiv x^2 + x \mod (x^2-x-1) \equiv 2x+1 \mod (x^2-x-1)
x^4 \equiv 2x^2+x \equiv 3x+2 \mod (x^2-x-1)
x^{16} =...

1 Respostas

189 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
09 Mar 2024, 23:47
Recorrência

Última mensagem por leozitz « 25 Fev 2024, 17:54
Respostas: 3
por Babi123 » 19 Fev 2019, 17:12

Primeira Postagem

Seja a recorrência definida por a_1=1 \ ,a_2=5 e para n>0
a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n .

a) Determinar o termo geral da recorrência;
b) Quantos múltiplos de 7 há no conjunto \{a_n|1\leq n\leq 2018, \ n...

Última mensagem

posta o termo geral, deve dar pra usar no outro item

3 Respostas

1200 Exibições

Última mensagem por leozitz
25 Fev 2024, 17:54
IMO-79 (Fatoração)

Última mensagem por FelipeMartin « 24 Fev 2024, 15:56
Respostas: 1
por EstudiosoEN » 23 Fev 2024, 01:07

Primeira Postagem

Os números reais não negativos x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} , x_{5} e \alpha satisfazem as seguintes relações:

\begin{cases}
1.x_{1} + 2.x_{2} + 3.x_{3} + 4.x_{4} + 5.x_{5}=\alpha \\
1^{3}.x_{1}...

Última mensagem

A questão da IMO pede para encontrar os possíveis valores de \alpha .
Multiplique a primeira equação por \alpha^2 , retire 2\alpha vezes a segunda e adicione a terceira equação. O lado direito será...

1 Respostas

276 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
24 Fev 2024, 15:56
POTI Combinatória

Última mensagem por Kakashi « 20 Fev 2024, 12:53
Respostas: 1
por renatinho14 » 25 Jan 2024, 19:49

Primeira Postagem

Quarenta estudantes participaram de uma olimp´ıada de matem´atica. A
prova consistia de cinco problemas ao todo. Sabe-se que cada problema foi resolvido corretamente
por pelo menos 23 participantes....

Última mensagem

Há estudantes com 3 ou mais problemas resolvidos

Suponha por absurdo que ninguém escreveu mais de 2 soluções na prova, logo há 40\cdot 2=80 ou menos problemas resolvidos corretamente na Olimpíada....

1 Respostas

361 Exibições

Última mensagem por Kakashi
20 Fev 2024, 12:53
Pares ordenados que são soluções da equação (acho que seria teoria dos números)

Última mensagem por Kakashi « 20 Fev 2024, 12:07
Respostas: 1
por Pdalindão » 08 Out 2023, 18:11

Primeira Postagem

A quantidade de pares ordenados (x,y), que são solução da equação \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{pq} , onde p e q são números primos, é:

Última mensagem

Não seriam 9 soluções?

A equação é equivalente a

xy-pqx-pqy=0\Rightarrow

(x-pq)(y-pq)=(pq)^2

Dessa forma os possíveis pares (x-pq,~y-pq) são (p^2q^2,~1),~(p^2q, q),~ (pq^2,~p),~(pq,~pq) e...

1 Respostas

465 Exibições

Última mensagem por Kakashi
20 Fev 2024, 12:07
Fatoração e quadrados perfeitos

Última mensagem por Kakashi « 20 Fev 2024, 10:45
Respostas: 3
por DudaS » 20 Ago 2023, 15:42

Primeira Postagem

Sejam K = {p1, p2, …, p2022} um conjunto de 2022 números primos distintos e S o conjunto dos números naturais que admitem apenas esses primos em sua fatoração. Qual a maior quantidade de elemento que...

Última mensagem

Sim, conta como paridade par.

3 Respostas

692 Exibições

Última mensagem por Kakashi
20 Fev 2024, 10:45
(Cone Sul/TST-2016)Equação

Última mensagem por Kakashi « 20 Fev 2024, 10:38
Respostas: 1
por AngelitaB » 24 Mai 2023, 08:24

Primeira Postagem

Considere os 15 trinômios do segundo grau x²-pix+qi onde (p1,p2,...p15,q1q2,...,,q15) é uma permutação de (1,2,....,30).Uma raiz desse trinômio é dita favorável se esta raiz é maior que 20. Se M o...

Última mensagem

Cada trinômio possui no máximo uma raíz favorável

Suponha por absurdo que x_1 e x_2 sejam duas raízes favoráveis de um trinômio, logo

40>x_1+x_2=p_i

Contudo p_i\leq 30 .

M é menor ou igual a...

1 Respostas

668 Exibições

Última mensagem por Kakashi
20 Fev 2024, 10:38
Olimpiada Portuguesa 2010 (OPM) Geometria Plana

Última mensagem por petras « 09 Fev 2024, 16:39
Respostas: 2
por SBAN » 09 Fev 2024, 16:08

Primeira Postagem

(Olimpíada Portugesa-2010) Mostre que qualquer triângulo tem dois lados a e b tais que

\frac{\sqrt{5}-1}{2}<\frac{A}{B}<\frac{\sqrt{5}+1}{2}

Última mensagem

SBAN ,

Segue solução por:(Carlos A. Gomes)

2 Respostas

400 Exibições

Última mensagem por petras
09 Fev 2024, 16:39
(TML) caminhaa-funções compostas (IMO)

Última mensagem por leozitz « 08 Fev 2024, 17:02
Respostas: 1
por golondrina » 06 Fev 2024, 15:21

Primeira Postagem

seja G um conjunto nao-vazio de funções afim possuindo as seguintes propriedades:
(a) Se f,g \in G, fog \in G
(b) se f \in G, f^{-1} \in G
(c) Para todo f \in G, existe x_{f} \in R tal que f( x_{f}...

Última mensagem

ele pede pra provar que tem um, não que é único
na verdade G = {x} satisfaz tudo que o enunciado diz e f(x) = x para todo x, ou seja, não é só um x.
acho que vc já resolveu o problema então pelo que...

1 Respostas

236 Exibições

Última mensagem por leozitz
08 Fev 2024, 17:02
(TML)-caminha-(frança)-funções compostas

Última mensagem por leozitz « 08 Fev 2024, 16:58
Respostas: 1
por golondrina » 06 Fev 2024, 15:23

Primeira Postagem

seja f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} uma bijeção. prove que existem naturais a
Última mensagem

f(x) = f(y) \iff x = y
dado y existe \alpha tal que f(\alpha) = y
fixado um par (a, b) f(c) = 2f(b)-f(a) , a gente sabe que existe um valor c que satisfaz isso, o problema é que não é garantido que...

1 Respostas

247 Exibições

Última mensagem por leozitz
08 Fev 2024, 16:58
OBMEP

Última mensagem por παθμ « 18 Jan 2024, 14:49
Respostas: 1
por Stanbech » 18 Jan 2024, 09:18

Primeira Postagem

Quantos são os números naturais n tais que (5n-12)÷(n-8)
é também um número natural?
Podem responder com soluções diferentes das do site da obmep

Última mensagem

Stanbech ,

\frac{5n-12}{n-8}=k \iff 5n-12=nk-8k \iff 5n+8k-nk=12.

Veja, além disso, que (n-8)(k-5)=nk-5n-8k+40 \iff -nk+5n+8k=40-(n-8)(k-5), e inserindo isso na nossa equação:

40-(n-8)(k-5)=12...

1 Respostas

272 Exibições

Última mensagem por παθμ
18 Jan 2024, 14:49
(Ompara) Trigonometria

Última mensagem por παθμ « 26 Out 2023, 21:11
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 28 Mai 2021, 11:55

Primeira Postagem

Na figura, o comprimento da diagonal BD no retângulo ABCD é d e E é o pé da perpendicular de BD em relação à A. Se a distância de E à reta BC é igual a 1 e a distância de E à reta CD é igual a n,...

Última mensagem

Seja \theta=\angle EBG = \angle EAB = \angle EDA. Seja também x=BE, \; y=BG, \; a=AB, \; b=AD.

No triângulo BEG: x=\frac{1}{\sin(\theta)}, y=\frac{1}{\tan(\theta)}.

No triângulo ABE:...

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947 Exibições

Última mensagem por παθμ
26 Out 2023, 21:11
(Peru) Trigonometria

Última mensagem por παθμ « 26 Out 2023, 19:05
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 29 Mai 2021, 22:39

Primeira Postagem

Dada a figura:

62.png

Sabendo que BP = a e BQ = b. Então, o valor de BE em função de a e b vale:

a) (2ab)/(a+b)
b) (ab)/(a+b)
c) 2a + b
d) a+b
e) a+2b

Última mensagem

AB=\frac{a}{\cos(\theta)}, BC=\frac{b}{\cos(\theta)}. Seja x=AE e y=EC.

Teorema da bissetriz interna no triângulo ABC: x=\frac{ay}{b}. (Eq. 1)

Lei dos cossenos no triângulo ABC:...

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Última mensagem por παθμ
26 Out 2023, 19:05
(Argentina) Propriedades da divisibilidade

Última mensagem por παθμ « 20 Out 2023, 11:44
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 19 Ago 2020, 23:26

Primeira Postagem

Um número a de três cifras é raro se existe um número b de duas cifras tal que ao dividir a por b, o resto é igual ao cubo do quociente. Por exemplo, 100 é raro porque ao dividi-lo por 46, o...

Última mensagem

a=bq+q^3 \Longrightarrow a=q(b+q^2).

Precisamos analisar os valores de q caso a caso. Note que sempre devemos ter b>q^3.

Caso q=1: a=b+1.

Nesse caso, o único valor permitido de b é 99 , já que...

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Última mensagem por παθμ
20 Out 2023, 11:44
(Goiás) Congruência

Última mensagem por παθμ « 19 Out 2023, 22:54
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 02 Set 2020, 11:58

Primeira Postagem

a) Estude o comportamento do resto da divisão por 7 de 2^x-x^2 sendo x um número inteiro positivo menor ou igual a 10000.
b) Quantos são os inteiros positivos x\leq 10000 tais que a diferença 2^x-x^2...

Última mensagem

Restos de 2^x: 2^1 \equiv2, \; 2^2 \equiv 4, \; 2^3 \equiv 1, depois disso cicla.

Restos de x^2: 1^2 \equiv 1, \; 2^2 \equiv 4, \; 3^2 \equiv 2, \; 4^2 \equiv 2, \; 5^2 \equiv 4, \; 6^2 \equiv 1, \;...

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1052 Exibições

Última mensagem por παθμ
19 Out 2023, 22:54
(OCM) Geometria Espacial: Cones

Última mensagem por παθμ « 15 Out 2023, 15:55
Respostas: 1
por Deleted User 23699 » 21 Jul 2021, 18:16

Primeira Postagem

Considere um cone circular reto cuja geratriz mede 3cm e cujo raio da base mede 1cm.

a) Seja P um ponto fixo da circunferência da base e C a curva, de menor comprimento, na superfície do cone que...

Última mensagem

a) g=3, r=1 .

Se a superfície do cone for planificada, obtemos um setor circular de raio g=3 e com abertura \theta tal que:

2\pi g \times \frac{\theta}{2\pi}=2\pi r \Longrightarrow...

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Última mensagem por παθμ
15 Out 2023, 15:55

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