O pai de Severino, quando chama os nomes dos seus quatro filhos, fica trocando-os, por serem nomes
iniciado com a letra “S”. O mais velho, com 30 anos, chama-se Severo; o mais novo tem 20 e chama-se...

Muitas pessoas gostam de passatempos. Um muito interessante é o SUDOKU. A seguir temos um
SUDOKU 4 × 4, ou seja, tem 4 linhas e 4 colunas. A regra é, usando os números 1, 2, 3 e 4, preencher os 16...

Seja “a” um inteiro positivo tal que
1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/25 = a/25! .
Encontre o resto de “a” na divisão por 13.

a) 1
b) 2
c) 3
d) 7
e) 12

(Rioplatense 1999) E possível cobrir um tabuleiro 1999×1999 com quadrados de lados inteiros maiores que 35 e menores que 1999?
PS: Os quadrados podem ser de tamanhos distintos.

Considere um conjunto de 2023 pontos no plano com a propriedade de que dentre quaisquer cinco desses pontos existam dois cuja distância é menor do que 1. Mostre que existe um círculo de raio 1 que...

Resolva
p^2(p^3-1)=q(q+1)
onde p e q são números primos.

Alguém pode me ajudar? Já tentei várias coisas, como divisibilidade e módulos, esse exercício está num livro sobre equações diofantinas do...

Provar que \sum_{n=0}^{n} n^5 = \frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12} .

Bauss deseja somar os números que, quando escritos na base b, variam de 1 a 100. Determine todos os valores de b \in {2,3,...,10} para os quais a soma seja um quadrado perfeito.

Determine as soluções inteiras (n, m) da equação 2^{2n+1}+2^{n}\cdot3^{(n-2)^{2}}

O problema da Torre de Hanói envolve um ambiente formado por uma base, contendo 3 pinos, onde, em um deles, há uma pilha de discos furados no meio e de diâmetros diferentes ordenados de forma que o...

Bárbara e Catarina compraram uma moldura quadrada e colocaram no seu centro um aquarela, também quadrada, como se indica na figura, como se indica na figura. Sabendo que a área de cada triângulo...

Determine o valor de \sum_{k=1}^nk\cdot k!

Determine o valor de \sum_{k=1}^n k\cdot 2^k

Os números reais a, b, r e s são tais que as raízes da equação x²-ax+b=0 são \frac{1}{r} e \frac{1}{s} e as raízes da equação x²-rx+s=0 são a e b. Sabendo que a>0, encontre seu valor.

Generalize o Teorema de Chasles para n pontos distintos numa reta orientada, ou seja:
\overline{x_{1}.x_{2}} + \overline{x_{2}.x_{3}} + \overline{x_{3}.x_{4}} + ... + \overline{x_{n-2}.x_{n-1}} +...

Ache todos os n \in \mathbb{N} tais que o produto dos algarismos da representação decimal de n seja igual a n^2-10n-22

Não possuo o gabarito.

É dado no plano um segmento AB e um ponto P sobre ele. De um mesmo lado da reta AB, construímos os triângulos retângulos isósceles APQ e BPR, de hipotenusas AP e BP, respectivamente. Em seguida,...

Encontre todos os a, b \in \mathbb{N} tais que:

\lfloor{\frac{a^2}{b}}\rfloor+\lfloor{\frac{b^2}{a}}\rfloor+1=\lfloor{\frac{a^2+b^2}{ab}}\rfloor+ab

São dados um natural n e um circulo \Gamma de raio 1. Se AB é um diametro de \Gamma , prove que existem pontos C_{1} , C_{2} ,..., C_{n} \in \Gamma tais que \overline{AC_{i}} , \overline{BC_{i}} \in...

Os pontos E e F são dados lados BC de um quadrilátero ABCD (com E mais perto de B do que F). Sabe-se que BAE=CDF e EAF=FDE. Prove que FAC=EDB.

Se m e n são inteiros positivos ímpares, o resto da divisão do número
1^m + 2^m + .........+(n - 1)^m por n é igual a .

a)\,\,0\\
b)\,\,1 \\
c)\,\,2 \\
d)\,\,n-2\\
e)\,\,n - 1

Seja n o menor inteiro positivo cuja raiz cúbica e da forma n+r onde n é um inteiro e r é um número real positivo menor do que \frac{1}{1000} . O valor de n é igual a.

a)\,\,11\\
b)\,\,13 \\...

(OBM-Adaptado) A sequência de algarismos 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, … é construída da seguinte maneira: cada elemento, a partir do quinto, é igual ao último algarismo da soma dos quatro...

Considere todos os produtos por 2, 4, 6, .......... 2.000 dos elementos do conjunto A= {\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},......\frac{1}{2000}, \frac{ 1}{2001}}. Encontre a soma de todos esses...

Se x, y e z são números complexos que satisfazem o sistema de equações:

\begin{cases}
x+y+z=2 \\
x^2+y^2+z^2=3 \\
xyz=4
\end{cases}
Então o valor numérico de...

Uma sequência (p_1,p_2,...,p_n) de números primos satisfaz à seguinte condição para n ≥ 3, p_n é o maior divisor primo de p_{n-1}+p_{n-2}+2000 . Mostre que a sequência (p_n) é limitada.

Na figurn abaixo os 10 pentágonos são regulares. O círculo interno é tangente a exatamente um lado de cada pentágono e o circulo externo passa exatamente pelos vértices opostos a esses lados....