Olimpíadas

Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero

)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

Moderador: [ Moderadores TTB ]

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Aviso Global l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Última mensagem por leozitz « 03 Nov 2022, 11:16
Enviado em Maratonas de Matemática
Respostas: 82
por Ittalo25 » 24 Set 2020, 23:03 » em Maratonas de Matemática

Primeira Postagem

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...

Última mensagem

Solução do problema 81

sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)

a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...

82 Respostas

61066 Exibições

Última mensagem por leozitz
03 Nov 2022, 11:16
Aviso Global ENEM 2017 Matemática Resolvida

Última mensagem por Jigsaw « 17 Nov 2018, 22:42
Enviado em TutorBrasil no YouTube
Respostas: 7
por caju » 17 Mai 2018, 10:20 » em TutorBrasil no YouTube

Primeira Postagem

Olá a todos :)

Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .

Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...

Última mensagem

Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...

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30793 Exibições

Última mensagem por Jigsaw
17 Nov 2018, 22:42

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(OBM - 2007) Demonstração: Geometria Plana | Triângulos

Última mensagem por Auto Excluído (ID:276) « 03 Jun 2008, 21:05
Respostas: 2
por Auto Excluído (ID:276) » 05 Nov 2007, 21:00

Primeira Postagem

Seja ABC um triângulo retângulo isósceles. K e M são pontos sobre hipotenusa AB, com K entre A e M, e o ângulo \angle KCM = 45^\circ . Prove que AK^2 + MB^2 = KM^2

Última mensagem

q q isso acima...

como \angle CAM = \angle KCM , os triângulos \triangle CAM e \triangle CKM são semelhantes.

\frac{KM}{CM} = \frac{CK}{AC} \Rightarrow KM . AC = CM . CK

CM^2 + CK^2 - CM.CK...

2 Respostas

1754 Exibições

Última mensagem por Auto Excluído (ID:276)
03 Jun 2008, 21:05
(OBM - 1998) Calculadoras e Seqüências

Última mensagem por Auto Excluído (ID:276) « 03 Jun 2008, 20:14
Respostas: 1
por marcalledo » 19 Jun 2007, 14:35

Primeira Postagem

Em uma calculadora, a tecla A transforma o número x, que está no visor em \frac{1}{x} e a tecla B multiplica por 2 o número que está no visor. Se o número 2 está no visor e digitamos a seqüência...

Última mensagem

se a cada digitação escrevessemos os algarismos vistos no visor , formariamos a sequência 2 , \frac{1}{2} , 1 , 1 , 2 , \frac{1}{2} ....

que tem ciclo de 4 números. como 998 é múltiplo de 4, letra...

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1574 Exibições

Última mensagem por Auto Excluído (ID:276)
03 Jun 2008, 20:14
Soluções Racionais de uma Equação

Última mensagem por Eusouumbolinhodebatata « 01 Jun 2008, 13:42
Respostas: 1
por triplebig » 26 Mai 2008, 21:31

Primeira Postagem

Sempre queria saber quando criança se existem outros números x e y além de \{2,2\} e \{3, 1,5\} tais que:

xy\,=\,x+y
Existem, no conjunto dos números racionais?

Última mensagem

Escolhendo um x qualquer e reescrevendo a equação como

xy-y=x

y=\frac{x}{x-1}
Temos assim uma fábrica de pares com a propriedade que você quer.

Infelizmente fica difícil achar empiricamente já...

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1344 Exibições

Última mensagem por Eusouumbolinhodebatata
01 Jun 2008, 13:42
Conjuntos Numéricos: Frações e Livros na Estante

Última mensagem por olgario « 30 Mai 2008, 17:48

por olgario » 30 Mai 2008, 17:48

AB30.png
Os volumes que estão arrumados na estante colocados nas duas prateleiras, e dispostos pela ordem numérica que estão, tal como se vê na imagem, formam a fração \frac{6729}{13 458} que...

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1052 Exibições

Última mensagem por olgario
30 Mai 2008, 17:48
(OBM - 2003) Demonstração: Funções

Última mensagem por Karl Weierstrass « 24 Mai 2008, 23:37
Respostas: 3
por Auto Excluído (ID:276) » 24 Mai 2008, 20:13

Primeira Postagem

Suponha que f : ( 0 , + \infty ) \rightarrow R satisfaz:

i) x \lt y \Longrightarrow f(x) \lt f(y)

ii) f\Large{(} \frac{2xy}{x+y}\Large{)} \geq \frac{f(x) + f(y)}{2} , para todo x,y \in ( 0 , +...

Última mensagem

Pedro,

zero não pertence ao domínio de f.

De (i) creio que é possível deduzir que f é crescente. Quanto à segunda pergunta, vou arriscar o seguinte: Se f(x)\,=\,-k e f(y)\,=\,k, então...

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1392 Exibições

Última mensagem por Karl Weierstrass
24 Mai 2008, 23:37
Equação do 2º grau

Última mensagem por Karl Weierstrass « 10 Mai 2008, 11:28
Respostas: 5
por Auto Excluído (ID:276) » 09 Mai 2008, 00:08

Primeira Postagem

Problema Selecionados de Mat - ex nº 1949 . Para cada inteiro positivo n , a parábola y = (n^2 + n)x^2 - (2n+1)x + 1 corta o eixo dos x nos pontos A_n e B_n . O valor de \sum_{n=1}^{2005}A_nB_n é...

Última mensagem

Princípio da Indução Finita

Teorema 1 Seja \mathbb{W} um subconjunto do conjunto \mathbb{N}^{\ast} dos naturais não-nulos (\mathbb{W}\,\subset\,\mathbb{N}^{\ast}) que satisfaz as condições...

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1458 Exibições

Última mensagem por Karl Weierstrass
10 Mai 2008, 11:28
Radiciação e Fatoração

Última mensagem por Karl Weierstrass « 02 Mai 2008, 11:59
Respostas: 3
por splinter.br » 08 Jun 2007, 18:29

Primeira Postagem

Calcule sqrt {10^{6}(10^{6} + 1)(10^{6} + 2)(10^{6} + 3) + 1} .

Última mensagem

A resposta é (10^6\,+\,2)(10^6\,+\,1)\,-\,1.

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1704 Exibições

Última mensagem por Karl Weierstrass
02 Mai 2008, 11:59
(OBM - 2002) Sistemas Não-Lineares

Última mensagem por eusebio C.N 2008 « 24 Abr 2008, 21:47
Respostas: 2
por eusebio C.N 2008 » 23 Abr 2008, 20:56

Primeira Postagem

Os valores de x, y e z que satisfazem às equações x\, +\, \frac{1}{y} \,= \,5; y \,+\, \frac{1}{z} \,=\, 1 e z \,+\, \frac{1}{x}\, =\, 2, são tais que x\, + \,3y\, +\, 2z é igual a:

a) 5
b) 6
c) 7...

Última mensagem

Valeu eu estava errando no sinal.
Brigadão.

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1368 Exibições

Última mensagem por eusebio C.N 2008
24 Abr 2008, 21:47
Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal

Última mensagem por Karl Weierstrass « 24 Abr 2008, 10:10
Respostas: 1
por Filipe » 15 Dez 2006, 18:44

Primeira Postagem

Quando expandida sob forma decimal, a fração \frac{1}{97} possui um período com 96 algarismos. Se os três últimos algarismos são A67 , determine o valor de A.

Última mensagem

Seja p o período.

\Large\frac {1}{97}\large\,\cdot\,10^{96} \,-\, p\, =\, \Large\frac {1}{97}\large\,\Longleftrightarrow \,p\, =\, \Large\frac {10^{96}\, -\, 1}{97}\large

Definamos x\, = \,U(x) o...

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1644 Exibições

Última mensagem por Karl Weierstrass
24 Abr 2008, 10:10
(AIME - 1999) Quadrado Perfeito

Última mensagem por Karl Weierstrass « 17 Abr 2008, 07:32
Respostas: 1
por paulo testoni » 11 Mar 2008, 09:47

Primeira Postagem

A soma de todos os valores positivos de n para os quais n^2 - 19n + 99 é um quadrado perfeito é:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
e) 38

Última mensagem

Seja n^2 - 19n + 99 = r^2 \,\Longrightarrow\, n^2 - 19n + (99 - r^2) = 0.

As raízes dessa equação são dadas por:

n = \Large\frac {19 \pm \sqrt {19^2\, +\, 4(r^2\, -\, 99)}}{2}\large.

Como n é...

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1276 Exibições

Última mensagem por Karl Weierstrass
17 Abr 2008, 07:32
Sistema Não-Linear e o Ponto de Fermat

Última mensagem por triplebig « 15 Abr 2008, 13:26
Respostas: 2
por Karl Weierstrass » 13 Abr 2008, 06:09

Primeira Postagem

Se

\left\{\begin{array}{lllllllll}x^2 & + & xy & + & y^2 & = & 9 \\
y^2 & + & yz & + & z^2 & = & 16 \\
z^2\, & + & \, zx & + & x^2 & = & 25\end{array}\right

encontre xy\, + \,yz\, + \,zx.

Última mensagem

Será que existe uma solução algébrica?

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1758 Exibições

Última mensagem por triplebig
15 Abr 2008, 13:26
(BMO - 2000) Radicais

Última mensagem por eusebio C.N 2008 « 09 Abr 2008, 18:43
Respostas: 2
por Thadeu » 01 Mar 2008, 13:05

Primeira Postagem

( BMO - 2000) Quais os inteiros positivos a e b tais que (\sqrt {a}\,+\,\sqrt {b}\,-\,1)^2\,=\,49\,+\,20\,\sqrt {6} ?

Última mensagem

se a resposta for 240 eu postarei minha soluçao

2 Respostas

1566 Exibições

Última mensagem por eusebio C.N 2008
09 Abr 2008, 18:43
Equação Exponencial

Última mensagem por Karl Weierstrass « 06 Abr 2008, 01:40
Respostas: 1
por rean » 24 Jan 2008, 10:07

Primeira Postagem

Encontre todas as soluções reais da equação:

2^x + 5^x =3^x + 4^x

Última mensagem

Claramente x=0 e x =1 são soluções.

Reescrevendo a equação sob a forma:

2^x(2^x-1)= 5^x -3^x ,
sejam f(x)=2^x(2^x-1) e g(x)=5^x -\, 3^x . Analisando os gráficos de f e g, concluímos que para...

1 Respostas

1331 Exibições

Última mensagem por Karl Weierstrass
06 Abr 2008, 01:40
Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias

Última mensagem por Karl Weierstrass « 04 Abr 2008, 21:59
Respostas: 3
por italoemanuell » 22 Ago 2007, 10:33

Primeira Postagem

Olá a todos!

Dada a função

\hspace{70}...

Última mensagem

Pois não.

Sejam x e y números reais positivos.

É óbvio que

(\sqrt x -\sqrt y)^2\,\geq\,0
Daí,

x \,-\,2\sqrt {xy}\,+\,y\,\geq\,0\,\Longrightarrow\,x\,+\,y\,\geq\, 2\sqrt {xy} .

c.q.d.

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2760 Exibições

Última mensagem por Karl Weierstrass
04 Abr 2008, 21:59
Sistemas Não-Lineares

Última mensagem por Karl Weierstrass « 25 Mar 2008, 22:31
Respostas: 2
por vicente487 » 21 Mar 2008, 07:07

Primeira Postagem

Se o pai tivesse menos 8 anos de idade do que tem hoje e o filho mais 13 anos de idade do que tem, a diferença dos quadrados das idades dos dois mais o triplo da idade do filho há 7 anos atrás seria...

Última mensagem

Considere a tabela abaixo.

\begin{array}{cccccc}
\,&\text{7 anos}& \text{hoje}& \text{12 anos}\\
\text{pai}&x-7&x&x+12\\
\text{filho}&y-7&y&y+12
\end{array}
Do enunciado segue que...

2 Respostas

1649 Exibições

Última mensagem por Karl Weierstrass
25 Mar 2008, 22:31
Teoria dos Números: Algoritmo da Divisão

Última mensagem por fraga.ime « 16 Mar 2008, 14:16
Respostas: 1
por rean » 15 Fev 2008, 11:34

Primeira Postagem

Qual é o maior inteiro positivo n para o qual n + 10 divide n^3 + 100 ?

a) 290
b) 1996
c) 440
d) 890
e) 80

Última mensagem

Olá Rean !

Utilizando o algoritmo de Euclides sabemos que a divisão \frac{n^{3} + 1}{n + 1} resulta em n^{2} -10n + 100 -\frac{900}{n + 10}
Logo, o maior valor de n para que o resto seja nulo será...

1 Respostas

1703 Exibições

Última mensagem por fraga.ime
16 Mar 2008, 14:16
(OBM - 2001) Equação Exponencial

Última mensagem por Auto Excluído (ID:276) « 08 Mar 2008, 23:35
Respostas: 1
por Thadeu » 01 Mar 2008, 13:09

Primeira Postagem

O número de soluções inteiras distintas da equação (-6x^2\,+\,12x\,-\,2)^{x^2-2x+2}\,=\,4 é:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Última mensagem

Fiz da seguinte forma.

4 \Rightarrow 2^2 = (-2)^2 = 4^1
Se o expoente for 1, x=1. Se o expoente for 2, x=0 ou x=2.

Se a base for 4, temos {-} 6x^2 + 12x - 2 = 4\Right x = 1 1º

Se a base for...

1 Respostas

1544 Exibições

Última mensagem por Auto Excluído (ID:276)
08 Mar 2008, 23:35
Soluções Inteiras de uma Equação

Última mensagem por rean « 27 Fev 2008, 09:58

por rean » 27 Fev 2008, 09:58

Encontre todas as soluções inteiras (x,y) da equação x^{2006} y + 1 = y^{2007} + x.

0 Respostas

1192 Exibições

Última mensagem por rean
27 Fev 2008, 09:58
Conjuntos Numéricos: Período de uma Representação Decimal

Última mensagem por rean « 26 Fev 2008, 05:26

por rean » 26 Fev 2008, 05:26

Encontre o período na representação decimal de \frac{1}{3^{2002}}.

0 Respostas

1106 Exibições

Última mensagem por rean
26 Fev 2008, 05:26
Soluções Racionais de uma Equação

Última mensagem por rean « 26 Fev 2008, 05:17

por rean » 26 Fev 2008, 05:17

Ache todas as soluções racionais da equação \{x^2\} + \{x\} = \frac{99}{100}, onde \{x\} é o menor real positivo tal que x - \{x\} seja um inteiro.

0 Respostas

1122 Exibições

Última mensagem por rean
26 Fev 2008, 05:17
Equação Exponencial a Duas Variáveis

Última mensagem por triplebig « 17 Fev 2008, 00:13
Respostas: 1
por rean » 15 Fev 2008, 11:25

Primeira Postagem

Encontre n e x inteiros satisfazendo x^{2}+ 615 =2^{n} .

Última mensagem

Fala rean!

Bom eu resolvi este dum meio meio grosseiro, creio que há um jeito menos trabalhoso.

Potencias de 2 terminam em 2, 4, 8 ou 6. Para x^2 + 615 terminar em um desses valores, x poderá ser...

1 Respostas

2043 Exibições

Última mensagem por triplebig
17 Fev 2008, 00:13
(AIME - 1989) Radiciação e Fatoração

Última mensagem por DiegoNunes « 15 Fev 2008, 22:48
Respostas: 7
por edu_vrb » 07 Jan 2007, 22:37

Primeira Postagem

Calcule \sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}.

Última mensagem

Viva o módulo. Obrigado pela correção.

7 Respostas

4850 Exibições

Última mensagem por DiegoNunes
15 Fev 2008, 22:48
(AIME - 1989) Dízima Periódica

Última mensagem por Rogério Moraes « 15 Fev 2008, 20:50
Respostas: 1
por Thadeu » 14 Fev 2008, 14:09

Primeira Postagem

Suponha que n é um inteiro positivo e d é um dígito na base 10. Calcule n se

\frac{n}{810}\,=\,0,d25d25d25\ldots

Última mensagem

Pelo enunciado:

n \in \mathbb{Z}^{*}_{+} e d \in \{0, 1, 2, 3, \ldots, 9\}

\frac{n}{810} = 0,d25d25d25\ldots
Logo:

\frac{n}{810} = 0,d25 + 0,000d25 + 0,000000d25 + \ldots

\frac{n}{810} =...

1 Respostas

1603 Exibições

Última mensagem por Rogério Moraes
15 Fev 2008, 20:50
Progressão Aritmética

Última mensagem por Rogério Moraes « 15 Fev 2008, 18:31
Respostas: 1
por rean » 15 Fev 2008, 11:44

Primeira Postagem

Ache a soma de todas as frações positivas, irredutíveis, menores do que 1 e da forma \frac{n}{2005}, onde n é um inteiro.

Última mensagem

As frações devem ser positivas e menores que 1, logo:

0 < \frac{n}{2005} < 1
Multiplicando, membro a membro, por 2005, tem-se:

0 < n < 2005 (i)
A fração \frac{n}{2005} é irredutível se, e...

1 Respostas

1470 Exibições

Última mensagem por Rogério Moraes
15 Fev 2008, 18:31
Sistema de Numeração Decimal

Última mensagem por DiegoNunes « 14 Fev 2008, 23:08
Respostas: 1
por rean » 30 Dez 2007, 09:10

Primeira Postagem

Determinar o menor inteiro n tal que 9n se escreve com os mesmos algarismos de n, na ordem inversa.

Última mensagem

Olá Rean, vamos resolver o exercício.

Suponhamos primeiro que o número tenha dois algarismos. O número pode ser escrito da seguinte forma:

\left.\begin{array}{l}
n = 10A + B \\
9n = 10B + A \\...

1 Respostas

1288 Exibições

Última mensagem por DiegoNunes
14 Fev 2008, 23:08
Sistemas Não-Lineares

Última mensagem por Rogério Moraes « 11 Fev 2008, 23:34
Respostas: 5
por rean » 12 Dez 2007, 10:06

Primeira Postagem

Resolva o sistema:

\begin{cases}(x^2 + 1)(y^2+ 1) = 10\\

(x + y)(xy -1) = 3\end{cases}

Última mensagem

Olá Bruno,

A sua resolução é bem interessante e criativa. Seguem algumas sugestões para os participantes do fórum concluírem esta resolução proposta de um modo simples.

Uma maneira simples para...

5 Respostas

2154 Exibições

Última mensagem por Rogério Moraes
11 Fev 2008, 23:34
Divisibilidade e Fatoriais

Última mensagem por Eusouumbolinhodebatata « 01 Jan 2008, 09:19
Respostas: 3
por rean » 30 Dez 2007, 09:28

Primeira Postagem

Determinar todos os primos que dividem 50!

Última mensagem

50! = 1\times 2\times 3\times 4\times 5\ldots \times 44\times 45\times 46\times 47\times 48\times 49\times 50

O número já está fatoradinho para nós.

Se escolhermos o próximo primo (53) ele não se...

3 Respostas

1686 Exibições

Última mensagem por Eusouumbolinhodebatata
01 Jan 2008, 09:19
Divisibilidade e Fatoriais

Última mensagem por Eusouumbolinhodebatata « 30 Dez 2007, 18:49
Respostas: 1
por rean » 30 Dez 2007, 09:25

Primeira Postagem

Determinar a maior potência de 14 que divide 100!

Última mensagem

Até 100! temos os seguintes números que tem 14 como fator:

14 = 2\times 7\\
14 = 14\times 1\\
28 = 2\times 14\\
42 = 3\times 14\\
56 = 4\times 14\\
70 = 5\times 14\\
84 = 6\times 14\\
98 = 7\times...

1 Respostas

1272 Exibições

Última mensagem por Eusouumbolinhodebatata
30 Dez 2007, 18:49
Múltiplos e Sistema de Numeração Decimal

Última mensagem por Eusouumbolinhodebatata « 30 Dez 2007, 18:28
Respostas: 1
por rean » 30 Dez 2007, 09:34

Primeira Postagem

Expressar o número 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo, por 11.

Última mensagem

Evidentemente ambos tem de ter 2 algarismos.

Como os múltiplos de 11 são da forma aa, o múltiplo de 7 deve ser da forma (b-1)b, tal que a+b=10.

Rapidamente pode-se notar que aquele número que...

1 Respostas

1534 Exibições

Última mensagem por Eusouumbolinhodebatata
30 Dez 2007, 18:28
Sistema de Numeração Decimal e Cheques

Última mensagem por rean « 30 Dez 2007, 10:04

por rean » 30 Dez 2007, 10:04

Certo senhor, ao descontar um cheque em seu banco, recebeu, sem notar, o número de reais trocados pelo número de centavos e vice-versa. Em seguida, gastou 68 centavos e observou, supreso, que tinha o...

0 Respostas

1367 Exibições

Última mensagem por rean
30 Dez 2007, 10:04

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