Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do problema 81
sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)
a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
Quando você entra em um restaurante para comer pizza espera pagar uma quantia proporcional àquantidade de pizza pedida. Se uma pizza com 20 cm de diâmetro custa R$ 3,60,quanto você espera pagar por...
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Você paga pela área/superfície da pizza.
Uma pizza de 20 cm de diâmetro possui uma área de 100\pi\ cm^2 .
Uma pizza de 30 cm de diâmetro possui uma área de 225\pi\ cm^2 .
Um saco de balas foi distribuído entre André, Bruno e Carlos na proporção 5:4:3. Eles notaram que se a mesma quantidade de balas fosse distribuída na proporção 7:6:5, um deles receberia 40 balas a...
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Realmente a resposta está errada.
Proporção: 5:4:3
André recebe 5/12
Bruno recebe 4/12=1/3
Carlos recebe 3/12
Nova Proporção: 7:6:5
André receberia 7/18
Bruno receberia 6/18 = 1/3
Carlos receberia...
Considere que AD seja uma mediana do triângulo ABC e E seja ponto de AD tal que AE=AD/3. A reta CE intersecta AB no ponto F. Se AF=1,2 cm, determine o comprimento de AB.
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traçando a reta DG imagirnaria paralela a CF
prop_triang.png
temos que BFC é semelhante à BGD, como BD é a metade de BC então
BG=\frac{BF}{2}
também temos que o triangulo AFE é semelhante ao...
Se mdc(k, m) = d, então ka ≡ kb (mod m) ⇔ a ≡ b (mod m/d)
Alguém sabe demonstrar esse teorema? Tentei postar esse problema na seção Demonstrações , mas estava fechada.
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Demonstração: Como o mdc(k,m) = d por definição , temos
k =dk^{'} , m =dm^{'} e mdc(k^{'},m^{'}) =1.
ka ≡kb(mod m) , pela definição de congruência , temos
m|kb-ka \rightarrow m|k(b-a)
Isso...
Bruno tem 5 figurinhas idênticas com a bandeira da Alemanha, 6 com a bandeira do Brasil e 4 com a da Colômbia. Ele quer fazer um pacote com pelo menos 3 dessas figurinhas. De quantas maneiras ele...
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na composição do pacote para as figurinhas da Alemanha há 6 possibilidades
João tem cinco saquinhos de balas. Escolhendo-se, de todos os modos possíveis, quatro desses saquinhos e contando o total de suas balas, obtêm-se apenas quatro resultados: 23, 24, 26 ou 29. Qual é o...
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sendo as quantidades a, b, c, d, e
como são 4 combinações apenas temos que dois sacos tem quantias iguais, mas não sabemos qual é essa quantia repetida
Quantos são os números naturais n tais que \frac{5n-12}{n-8} é também um número natural?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
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\frac{5n-12}{n-8} = 5+ \frac{28}{n-8} (verifique);
n = 1 (possível, I = 1);
n = 2 (impossível);
n = 3 (impossível);
n = 4 (impossível, I = -2);
n = 5 (impossível);
n = 6 (impossível);
n = 7...
Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada,...
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Oi, blz?
Eu resolvi isto de outro jeito.
São 90% AMARELOS e 10% VERMELHOS. Morreram amarelos e passaram a ser 75% AMARELOS.
Chamei os NOVOS AMARELOS de x. E o total AMARELOS+VERMELHOS=X+10%.
Temos...
Encontre o menor n tal que qualquer conjunto de n pontos do plano cartesiano, todos com coordenadas inteiras, contem dois cujo quadrado da distância é um múltiplo de 2016.
Se ABCD é um retângulo com AB=10, CB=4 e AE=EB, qual a área do triângulo OCM?
vfgzsj.jpg
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O retângulo tem área 40, enquanto o triângulo ACB tem área 20.
Ainda no triângulo ACB, note que OB e CE são medianas, logo M é o baricentro.
Como medianas dividem um triângulo em outros 2 de mesma...
supondo x>4 e fazendo mod 5 vemos que
y^2 \equiv 1!+2!+3!+4! \mod 5 = 33 \mod 5 \equiv 3 \mod 5 \equiv -2 \mod 5
porém os módulos 5 de um quadrado perfeito são apenas \pm 1 e 0
0->0
1->1
2->-1...
Prove que existe um número que pode ser representado de pelo menos 2015 maneiras diferentes como soma de quadrados de números naturais não nulos, não necessariamente todos distintos. Considera-se que...
Um inteiro positivo n é chamado perfeito se a soma de todos os seus divisores excluindo n, é igual a n. Prove que um número perfeito maior do que 28 é divisível por 7 então ele é divisível por 49.
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suponha
n = 7*p_2^{x_1}*...*p_k^{x_{k-1}} > 28
\frac n7 = p_2^{x_1}*...*p_k^{x_{k-1}} > 4
então
2n = \frac{48}{6}\frac{(p_2^{x_1+1}-1)...(p_k^{x_{k-1}+1}-1)}{(p_2-1)...(p_k-1)}
n =...
Prove que existe um número que pode ser representado de pelo menos 2015 maneiras diferentes como soma
de quadrados de números naturais não nulos, não necessariamente todos distintos. Considera-se que...
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Vamos ver de quantas formas diferentes podemos escrever 2^n pra n\geq 1 como a soma de quadrados descrita
Sabendo que a,b e c são números reais positivos, resolva o sistema no conjunto dos números reais positivos:
\begin{cases}
\sqrt{xy}+\sqrt{xz}-x=a \\
\sqrt{yz}+\sqrt{yx}-y=b \\...
(OBM) As diagonais de um quadrilátero inscritível ABCD se intersectam em O. Os círculos circunscritos aos triângulos AOB e COD intersectam as retas BC e AD, pela segunda vez, nos pontos M, N, O e Q....
Seja D um disco unitário fechado, e sejam Z_{1},\ Z_{2} ,..., Z_{n} pontos fixados em D . Prove que existe um ponto z em D tal que a soma das distancias desde z a cada um dos n pontos é maior ou...
Seja ABCD um quadrado de lado 4. O conjunto S de pontos no interior de ABCD tem a seguinte propriedade: todo círculo de raio 1 contido totalmente em ABCD contém, em sua borda ou...
Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo de centro O. As diagonais AC
e BD intersectam-se em P. Os círculos circunscritos aos triângulos ABP e CDP
intersectam-se novamente em Q. Se O, P e...
(BAMO) Seja k um círculo no plano xy com centro sobre o eixo y e passando pelos
pontos A(0, a) e B(0, b) com 0 < a < b. Seja P um ponto qualquer do círculo, diferente
de A e B. Seja Q a intersecção...
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Vlw cara, eu tinha conseguido resolver o exercício, só que de maneira não válida. :)
