IME / ITA

Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero

)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

Moderador: [ Moderadores TTB ]

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Última mensagem

Aviso Global l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Última mensagem por leozitz « 03 Nov 2022, 11:16
Enviado em Maratonas de Matemática
Respostas: 82
por Ittalo25 » 24 Set 2020, 23:03 » em Maratonas de Matemática

Primeira Postagem

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...

Última mensagem

Solução do problema 81

sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)

a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...

82 Respostas

62167 Exibições

Última mensagem por leozitz
03 Nov 2022, 11:16
Aviso Global ENEM 2017 Matemática Resolvida

Última mensagem por Jigsaw « 17 Nov 2018, 22:42
Enviado em TutorBrasil no YouTube
Respostas: 7
por caju » 17 Mai 2018, 10:20 » em TutorBrasil no YouTube

Primeira Postagem

Olá a todos :)

Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .

Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...

Última mensagem

Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...

7 Respostas

31213 Exibições

Última mensagem por Jigsaw
17 Nov 2018, 22:42

Tópicos

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Última mensagem

(ITA-1960) Geometria Plana V

Última mensagem por petras « 12 Out 2023, 16:21
Respostas: 1
por Jigsaw » 04 Out 2023, 19:39

Primeira Postagem

7 – Deduzir a fórmula que dá a área de um triângulo em função dos três lados e aplicá-la para o caso em que os três lados são 3m, 5m e 6m respectivamente.

Última mensagem

Jigsaw ,

è a fórmula de Heron:

\mathsf{S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\
\begin{align} a^2 &= m^2+h^2(I) \\ c^2 &= n^2+h^2(II) \\ b &= m+n(III) \end{align}\\
(II)-(I): a^2-c^2=m^2-n^2=(m-n)(m+n)\\...

1 Respostas

223 Exibições

Última mensagem por petras
12 Out 2023, 16:21
(ITA-1961) Raízes da equação IV

Última mensagem por LostWalker « 11 Out 2023, 09:39
Respostas: 1
por Jigsaw » 05 Out 2023, 10:56

Primeira Postagem

6 – Determinar a e b de modo que
6x^4-ax^3+62x^2-35x+b-a=0
seja recíproca de 1ª classe e, em seguida, achar as raízes da equação, para esses valores de a e b .

Última mensagem

Definindo os Coeficientes

Numa equação recíproca de primeira espécie, podemos vulgarmente falar que os termos equidistantes, quando organizados em ordem crescente das potências da variável, são...

1 Respostas

258 Exibições

Última mensagem por LostWalker
11 Out 2023, 09:39
(IME-1983) Função Quadrática

Última mensagem por Jpgonçalves « 09 Out 2023, 21:36
Respostas: 2
por Jpgonçalves » 09 Out 2023, 20:20

Primeira Postagem

Dada a equação: 2mx² - 2x - 3m -2 = 0 , onde m ∈ R :

a) Determine m, tal que uma raiz seja nula, calcule a outra raiz.
b) Mostre que a equação dada tem sempre duas raízes distintas.
c) Determine m...

Última mensagem

Muito obrigado, petras ! :)

2 Respostas

274 Exibições

Última mensagem por Jpgonçalves
09 Out 2023, 21:36
(ITA-1961) Deduzir a relação de Stifel

Última mensagem por παθμ « 05 Out 2023, 17:06
Respostas: 1
por Jigsaw » 05 Out 2023, 10:53

Primeira Postagem

5 – Deduzir a relação de Stifel
\begin{pmatrix}
n \\
k-1 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
n \\
k \\
\end{pmatrix} = ...

Última mensagem

\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=n!\left(\frac{1}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{1}{k!(n-k)!}\right).

Multiplicando a primeira fração em cima e embaixo por k , e, na...

1 Respostas

299 Exibições

Última mensagem por παθμ
05 Out 2023, 17:06
(ITA-1961) Cone equilátero circunscrito

Última mensagem por petras « 05 Out 2023, 11:55
Respostas: 1
por Jigsaw » 05 Out 2023, 10:48

Primeira Postagem

3 – Deduzir a fórmula do volume de um cone equilátero circunscrito a uma esfera, em função do raio da esfera.

Última mensagem

Jigsaw ,

f02.jpg
g = 2R\\
BO = r = \frac{1}{3}AB \implies AO = \frac{2}{3}AB = 2r \therefore AB = h = 3r\\
\triangle ABC: (2R)^2 =(3r)^2+R^2 \implies \underline{R = r\sqrt3}\\...

1 Respostas

276 Exibições

Última mensagem por petras
05 Out 2023, 11:55
(ITA-1960) Equação trigonométrica III

Última mensagem por LostWalker « 04 Out 2023, 20:41
Respostas: 1
por Jigsaw » 04 Out 2023, 19:10

Primeira Postagem

4 – Determinar o(s) erro(s) na “dedução” abaixo.
Seja 0 cos\ x(sen\ x-tg\ x)
Última mensagem

Erro na Desigualdade

Esses erros costumam atestar de algum erro de dedução em valores negativos, os quais inverteriam o sinal. Nesse caso, vamos começar avaliando a proposição inicial:

\cos(x)...

1 Respostas

257 Exibições

Última mensagem por LostWalker
04 Out 2023, 20:41
(ITA-1960) Raízes da equação III

Última mensagem por LostWalker « 04 Out 2023, 20:26
Respostas: 1
por Jigsaw » 04 Out 2023, 19:36

Primeira Postagem

6 – Demonstrar que se a equação x^3+ax+b=0 , a\neq0 , b\neq0 , a e b reais, tiver duas raízes iguais a será sempre positivo.

Última mensagem

Segundo as Relações de Girard

Vamos primeiro, arbitrariamente definir x_1,x_2 , sendo que x_2 é de multiplicidade 2 nessa equação.

Pelas Relações de Girard:

2x_2+x_1=0...

1 Respostas

200 Exibições

Última mensagem por LostWalker
04 Out 2023, 20:26
(ITA-1960) Geometria Espacial IV

Última mensagem por Jigsaw « 04 Out 2023, 20:11

por Jigsaw » 04 Out 2023, 20:11

10 – Chamemos alturas de um tetraedro às perpendiculares baixadas dos vértices sobre os planos das faces opostas. Prove que se duas alturas de um tetraedro se encontram, as outras duas alturas também...

0 Respostas

163 Exibições

Última mensagem por Jigsaw
04 Out 2023, 20:11
(ITA-1960) Equação de 2º grau

Última mensagem por Fibonacci13 « 04 Out 2023, 20:10
Respostas: 1
por Jigsaw » 04 Out 2023, 18:37

Primeira Postagem

2 – Afirmo que \frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{(x-1)} : isso é verdadeiro ou falso?

Última mensagem

Jigsaw ,

Minha tentantiva:

\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1).(x+1)}=\frac{n}{x-1}+\frac{N}{x+1}

n(x+1) + N(x-1) = 1 --> x(n+N)+(n-N)=1

I) n + N = 0

II) n - N = 1

n = 1/2

N = -1/2...

1 Respostas

246 Exibições

Última mensagem por Fibonacci13
04 Out 2023, 20:10
(ITA-1960) Raízes da equação II

Última mensagem por LostWalker « 04 Out 2023, 20:07
Respostas: 1
por Jigsaw » 04 Out 2023, 19:20

Primeira Postagem

5 – Determinar a , b e c de modo que a identidade abaixo seja verificada. a , b e c não são simultaneamente iguais a zero.
a(x-2y+z)+b(x-3y+5z)+c(5x-11y+9z)=0

Última mensagem

Se Você Estiver Com o Olhômetro Afiado...

Note que, tornando a=4k , b=k e c=-k , teremos:

a(x-2y+z)+b(x-3y+5z)+c(5x-11y+9z)=0

4k\cdot(x-2y+z)+k\cdot(x-3y+5z)+(-k)\cdot(5x-11y+9z)=0

E...

1 Respostas

215 Exibições

Última mensagem por LostWalker
04 Out 2023, 20:07
(ITA-1958) Geometria Espacial III

Última mensagem por παθμ « 01 Out 2023, 19:16
Respostas: 1
por Jigsaw » 29 Set 2023, 18:59

Primeira Postagem

9 – Dá-se a superfície e a diagonal de um paralelepípedo retângulo. Calcular as dimensões sabendo que estão em progressão geométrica.

Última mensagem

Sejam a=\frac{b}{r} , b e c=rb as dimensões do paralelepípedo, e vamos definir a b > c . A solução que faz com que a < b < c deve ser a maior, logo r=r_1=\frac{2d^2+S +\sqrt{(2d^2-S)(2d^2+3S)}}{2S}....

1 Respostas

270 Exibições

Última mensagem por παθμ
01 Out 2023, 19:16
(ITA-1954) Para que valores de m a equação

Última mensagem por Deleted User 23699 « 30 Set 2023, 15:13
Respostas: 1
por Jigsaw » 14 Set 2023, 10:35

Primeira Postagem

3ª Parte

1 – Para que valores de m a equação x^2+2\sqrt{3}x-log\ m=0 admite raízes reais? Quais os sinais das raízes da equação, para esses valores de m ?

2 – Mostrar que...

Última mensagem

Oi
1.
\Delta = 12+4log(m)=4(3+log(m))\\3+log(m)>0\rightarrow m>10^{-3}

Para que tenha duas raízes reais, m > 0,001
Para uma raiz real de multiplicidade 2, m = 0,001.
Substituindo na eq,...

1 Respostas

207 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
30 Set 2023, 15:13
(ITA-1958) Trigonometria III

Última mensagem por petras « 29 Set 2023, 20:38
Respostas: 1
por Jigsaw » 29 Set 2023, 18:17

Primeira Postagem

2 – Calcular o seno de um arco de (2\pi -\frac{2\pi }{3}) radianos.

Última mensagem

Jigsaw ,
Gabarito errado

sen(2\pi -\frac{2\pi }{3})=sen(\frac{4\pi}{3})=-sen(\frac{\pi}{3})=\boxed{-\frac{\sqrt3}{2}}

1 Respostas

232 Exibições

Última mensagem por petras
29 Set 2023, 20:38
(ITA-1958) Determinante II

Última mensagem por petras « 29 Set 2023, 20:26
Respostas: 1
por Jigsaw » 29 Set 2023, 18:22

Primeira Postagem

3 – Mostrar que o determinante
D= \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
1 & 4 & 3 \\
1 & 6 & 5 \\
\end{vmatrix}
É divisível por 11, sabendo que os números 121, 143 e 165 também o são.

Última mensagem

Jigsaw ,

(Solução:net)

1 Respostas

190 Exibições

Última mensagem por petras
29 Set 2023, 20:26
(ITA-1958) Geometria Plana III

Última mensagem por petras « 29 Set 2023, 20:19
Respostas: 1
por Jigsaw » 29 Set 2023, 18:27

Primeira Postagem

4 – Demonstrar que se A, B, C são ângulos de um triângulo não retângulo, então

tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC .

É verdadeira essa fórmula no caso de um triângulo retângulo?
Justifique a resposta.

Última mensagem

Jigsaw ,

Soluçao(AdautoMatins)

1 Respostas

260 Exibições

Última mensagem por petras
29 Set 2023, 20:19
(ITA-1958) Progressão Aritmética

Última mensagem por petras « 29 Set 2023, 20:10
Respostas: 1
por Jigsaw » 29 Set 2023, 18:38

Primeira Postagem

6 – Demonstrar que se uma progressão aritmética é tal que a soma dos n primeiros termos é igual a n+1 vezes a metade do termo de ordem n , então a razão é igual ao primeiro termo.

Última mensagem

Jigsaw ,

Outra solução:
(Prof.MarceloMendes)

1 Respostas

199 Exibições

Última mensagem por petras
29 Set 2023, 20:10
(ITA-1958) Geometria Espacial II

Última mensagem por petras « 29 Set 2023, 20:02
Respostas: 1
por Jigsaw » 29 Set 2023, 18:33

Primeira Postagem

5 – Um tronco de cone reto tem bases circulares de raios R e r . Qual a altura para que a superfície lateral seja igual a soma das superfícies das bases?

Última mensagem

Jigsaw ,

1 Respostas

221 Exibições

Última mensagem por petras
29 Set 2023, 20:02
(ITA-1958) Geometria Plana IV

Última mensagem por petras « 29 Set 2023, 19:50
Respostas: 1
por Jigsaw » 29 Set 2023, 18:53

Primeira Postagem

8 – São dados 10 pontos num plano dos quais 8 sobre uma mesma reta r , os outros 2 não alinhados com qualquer um dos 8 na reta r . Quantos triângulos podem ser formados usando os pontos dados como...

Última mensagem

Jigsaw ,

Escolhendo um dos dois pontos avulsos, basta selecionarmos 2 dentre os 8 alinhados para formarmos um triângulo: 2.C(8,2)

Escolhendo ambos os pontos avulsos, basta escolhermos um dentre os...

1 Respostas

182 Exibições

Última mensagem por petras
29 Set 2023, 19:50
(ITA-1958) Inequação de 2.º grau II

Última mensagem por petras « 29 Set 2023, 19:33
Respostas: 1
por Jigsaw » 29 Set 2023, 18:42

Primeira Postagem

7 – Resolver a seguinte inequação:

log_2(x^2-1)-log_2(x^2+1)+7<5+log_2(x+1) .

Última mensagem

Jigsaw ,

log_2(x^2-1)-log_2(x^2+1)+7 0(II)\\
(I): \frac{x-x^2-2}{4(x^2+1)} 1\\
(I)\wedge (II) \boxed{x > 1}

1 Respostas

139 Exibições

Última mensagem por petras
29 Set 2023, 19:33
(ITA-1958) Calcular o seguinte limite:

Última mensagem por Deleted User 23699 « 29 Set 2023, 18:46
Respostas: 1
por Jigsaw » 29 Set 2023, 18:13

Primeira Postagem

1 – Calcular o seguinte limite:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2-3n+1}{4n^2+1}

Última mensagem

Por L'Hopital

lim\frac{2n-3}{8n}=lim\frac{2}{8}=1/4

1 Respostas

164 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
29 Set 2023, 18:46
(ITA-1957) Sistemas de Equações II

Última mensagem por Deleted User 23699 « 26 Set 2023, 08:42
Respostas: 1
por Jigsaw » 18 Set 2023, 18:21

Primeira Postagem

2ª parte

5 – Se abcd\neq0 , determine p e q no sistema de equações:
ax + by = c
px + qy = d
de modo que o sistema seja indeterminado.
6 – É possível encontrar uma equação do tipo x^3+ax^2+bx-5=0...

Última mensagem

5. Basta fazer os determinantes. Todos tem que ser igual a zero.

det da matriz dos coeficientes = aq - pb = 0

det da 1a matriz substituida = dq - bc = 0

det da 2a matriz substituida = ad - pc = 0...

1 Respostas

252 Exibições

Última mensagem por Deleted User 23699
26 Set 2023, 08:42
(IME/CG - 2007) Polinômios

Última mensagem por Jpgonçalves « 19 Set 2023, 20:09
Respostas: 4
por Jpgonçalves » 19 Set 2023, 12:20

Primeira Postagem

Sejam a, b e c as raízes da equação 4x³ + 12x² + 7x + 5 = 0. Determine o valor de a³ + b³ + c³.

Última mensagem

Muito obrigado, Zhadnyy ! :)

4 Respostas

309 Exibições

Última mensagem por Jpgonçalves
19 Set 2023, 20:09
(IME/CG - 2013) Polinômios

Última mensagem por Jpgonçalves « 19 Set 2023, 14:47
Respostas: 2
por Jpgonçalves » 19 Set 2023, 13:08

Primeira Postagem

Determine todas as raízes do polinômio p(x)= x^{6}– 2x^{5} – x + 2.

Última mensagem

Muito obrigado, petras ! :D

2 Respostas

212 Exibições

Última mensagem por Jpgonçalves
19 Set 2023, 14:47
(ITA-1955) Determinar a área de um fuso esférico de 30 graus

Última mensagem por petras « 15 Set 2023, 12:46
Respostas: 1
por Jigsaw » 15 Set 2023, 09:22

Primeira Postagem

I parte.

1.1 – Resolver a equação (2x+3)^2(x^2-1)=0 .
1.2 – Determinar o 5º termo do desenvolvimento, ordenando segundo as potências decrescentes de x , de (1+2x)^{10} .
1.3 – Definir progressão...

Última mensagem

Jigsaw ,

1.1) ( (2x+3)^2 = 0(I) \vee (x^2-1) = 0(II)\\
(I): 2x=-3 \implies x= -\frac{3}{2}\\
(II) x=\pm\sqrt1 \therefore \boxed{x= \pm1}

1,2) (1+2x)^{10}=(2x+1)^{10}\\T_{k+1} =...

1 Respostas

245 Exibições

Última mensagem por petras
15 Set 2023, 12:46
(ITA-1955) Num cilindro de 8 cm de altura e 2 cm de raio

Última mensagem por petras « 15 Set 2023, 10:34
Respostas: 1
por Jigsaw » 15 Set 2023, 09:34

Primeira Postagem

II parte.

2.1 – Resolver a equação 6x^3+11x^2-3x-2=0 , sabendo-se que ela admite uma raiz inteira.
2.2 – Demonstrar que se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a um dos planos é...

Última mensagem

Jigsaw ,

2.1) Usando o T. raizes racionais:
Divisores de -2(p): 1,2,-1,-2
Divisores de 6(q), 6,2,3,1, -1,-2,-3,-6
Possíveis raízes inteiras: \pm 1, \pm2,
Testando encontraremos como raiz...

1 Respostas

186 Exibições

Última mensagem por petras
15 Set 2023, 10:34
(ITA-1954) Resolver o sistema de inequações

Última mensagem por petras « 14 Set 2023, 14:43
Respostas: 1
por Jigsaw » 14 Set 2023, 10:24

Primeira Postagem

2ª Parte

11 – Demonstrar que o resto da divisão de um polinômio P(x) , racional inteiro em x , por x-a é P(a) , isto é, o valor que assume P(x) , quando se faz x=a .

12 – Resolver o sistema de...

Última mensagem

Jigsaw ,
Grau do resto é inferior ao grau do divisor portanto no nosso caso terá grau 0 e assim será uma cosntante
1) \frac{P(x)}{(x-a)}=q(x)+r \implies P(x) = (x-a).q(x)+r\\
\therefore P(a) =...

1 Respostas

196 Exibições

Última mensagem por petras
14 Set 2023, 14:43
(ITA-1954) Definir superfícies cônica, cilíndrica e de revolução

Última mensagem por Jigsaw « 14 Set 2023, 10:13

por Jigsaw » 14 Set 2023, 10:13

1ª Parte

1 – Dizer quando uma fração ordinária é igual, maior ou menor que outra.
2 – Definir os conceitos de quociente e resto na divisão de polinômios racionais inteiros.
3 – Provar que a função...

0 Respostas

198 Exibições

Última mensagem por Jigsaw
14 Set 2023, 10:13
(ITA-1953) Sistemas de Equações

Última mensagem por petras « 13 Set 2023, 10:57
Respostas: 1
por Jigsaw » 13 Set 2023, 09:56

Primeira Postagem

TERCEIRA PARTE

1 – Discutir o sistema:

mx+y-z=4
x+my+z=0
x-y=2

2a – Qual é a soma da série: 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+... ?
2b – Partindo de um quadrado Q_1 , cujo lado mede a...

Última mensagem

Jigsaw ,

1)
Aplique o Teorema de Rouché-Frobenius para calcular o número de soluções.
m^2-1≠0\\

posto \begin{bmatrix}
m &1 &-1 &4 \\
1 &m &1 &0 \\
1 &-1 & 0 &2 \\
\end{bmatrix}=3\\

posto...

1 Respostas

201 Exibições

Última mensagem por petras
13 Set 2023, 10:57
(ITA-1952) Definir círculo máximo de uma esfera

Última mensagem por FelipeMartin « 12 Set 2023, 21:57
Respostas: 2
por Jigsaw » 12 Set 2023, 09:42

Primeira Postagem

1.ª Parte

1 - Definir números primos entre si.
2 - Definir resto da divisão de números inteiros
3 - Definir sucessão divergente a mais infinito.
4 - Desenvolver (x^2+1)^4 pela fórmula do binômio de...

Última mensagem

1. números tais que o \mdc entre eles seja 1 .

2. Sejam p e d dois números inteiros, o número r \in \mathbb N tal que p = qd + r com 0 \leq r 0, existe um N(m) \in \mathbb N tal que x_n > M para...

2 Respostas

285 Exibições

Última mensagem por FelipeMartin
12 Set 2023, 21:57
(ITA-1951) Volume de uma pirâmide regular de base quadrática

Última mensagem por petras « 12 Set 2023, 14:08
Respostas: 1
por Jigsaw » 11 Set 2023, 12:13

Primeira Postagem

1- Passar o n.º 1203 escrito no sistema de numeração de base 5 para o sistema de numeração de base 10.
2 - Resolver a inequação (x-2)(x+3) 1

OBS = Também mantive os quatro itens indicados na...

Última mensagem

Jigsaw ,

No item 3. o correto é ...aresta lateral mede 2.5m

1) 1203_{10}=1000+200+0+3 \implies 1203=1\cdot10^3+2\cdot10^2+0\cdot10^1+3\cdot10^0

Logo, para determinar esse número na base 5,...

1 Respostas

258 Exibições

Última mensagem por petras
12 Set 2023, 14:08

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