\mathsf{

\angle HAB \cong \angle ABH = 90^o =\beta\\
\angle NBC \cong \angle NCB = 90^o -\theta\\
\angle ABC = 180^o-(90-\beta+90-\theta) = 180 -180^o +100^o \\
\therefore \boxed{\angle ABC = 100^o}...

\mathsf{

\angle CMQ = \theta(alt.int.)\\
\angle CAN = 180 - 2\beta \implies \angle AMC = 180^o - (180^o -2\beta+\beta) - \theta = \beta -\theta\\
\therefore \angle AMQ = \beta-\theta+\theta = \beta...

\mathsf{
d(P,C) ≤ d(P,A)+d(A,C)\\
d(P,C)≤ d(P,B)+d(B,C)\\
\therefore2d(P,C)≤d(P,A)+d(A,C)+d(P,B)+d(B,C)=14+6+5=25⟹d(P,C)≤12,5
}
Portanto o maior inteiro \boxed{12}
(Solução:Anipascual)

\mathsf{
2\theta_{(ang.ext.)} = 30^o +2\alpha \implies \underbrace{\theta - \alpha = 15^o} \\
\triangle ADE: \angle DEA = 180^o -90^o -\alpha = 90^ -\alpha\\
\triangle AGE: \angle AGE = 180^o -...

\mathsf{\angle BDA +\angle ADC =180^o -3\alpha+180^o -4\alpha = 360^o -7\alpha\\
\therefore \angle CDB = 7\alpha \implies \triangle CDB_{(isosc.)} } \implies BC = CD\\
\therefore \triangle ABC...

Seja ABC triângulo e BP a bissetriz do ângulo B e P a interseção com o lado AC.
Pela proporção ∠BPA=9x∧∠BPC=11x e eles são suplementares; 9x+11x=180⇒x=9⇒∠BPA=81∧∠BPC=99.
A soma dos ângulos internos...

\mathsf{

\angle CAB = 180^o -2\eta \\
\angle BCA = 180^o -2\phi \\
\triangle ABC: 80^o +180^o -2\eta+180^o -2\phi = 180^o \implies \underbrace{\eta + \phi = 130^o} \\
\angle MWA = 180^o -2\theta -...

POr propriedade x = a+4 - a = \boxed{4}

Traçar bissetriz AP(y)

\mathsf{AP=PC \implies \triangle APC_{(isosc)}\\

\triangle PBA \cong \triangle ABC\\
\frac{2}{x} = \frac{x-y}{2} \implies \underbrace{x^2-xy}=4\\
\frac{2}{CD+1} =...

\mathsf{

\triangle AEC: 2\alpha+2\theta +130^o =180^o \implies \underbrace{\alpha +\theta = 25^o} \\
DGBH: \angle BGH =360^o - x - 180^o =180^o -x\\
^*ABCE:130^o = \underbrace{\alpha+\theta}+180^o...

\mathsf{

\triangle CDB_{(isosc.)} \implies\angle CDB = 180^o -2(62^o) = 56^o \\
\therefore \angle BDA = 180^o -56^o =124^o \\
\triangle DEC: 2\theta = 180^o - 90^o -56^o = 34^o \implies \theta =17^o...

Prolongar BM até encontrar P em uma paralela a AE por C

\mathsf{
\triangle AEM \cong \triangle EPM \implies CP = AE = x\\
\triangle PBC: sen \angle MBC = \frac{CP}{BC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\\...

\mathsf{^*\angle CMA =90^o +\frac{90^o}{2} = 135^o \\
\triangle CMA\\
T.coss: AC^2 =(4\sqrt2)^2+6^2-2.4\sqrt2.6cos135^o =68+48\\
\therefore \boxed{AC = \sqrt{116} =2\sqrt{29}}

}

*

\mathsf{BF \perp AC (F \in AC)\\
\triangle BFC: BC^2 = 9l^2+13l^2 = 250l^2 \therefore BC = 5\sqrt{10}l
\therefore 5\sqrt{10}l = 10 \implies l = \frac{\sqrt{10}}{5}\\
BF = 9l = \frac{9\sqrt{10}}{5}\\...

Para mim o problema é inconsistente pois mantendo-se o ângulo C e altura BH o valor A poderá tomar infinitos valores sem alterar as condições iniciais (A, A'....).

\mathsf{\angle ABF \cong \angle FBG = \theta\\
T.Bissetriz: \frac{AF}{3}=\frac{CF}{6} \implies CF = 2AF(i)\\
T.Coss- \triangle ABF:AF^2= 3^2+2^2-2.2.3.cos\theta \implies cos \theta =...

\mathsf{
AA' \perp BQ (A' \in BC) \implies \triangle ABQ \cong \triangle A'BQ(A.L.A.)\\
\therefore BA' = 6A'C = 3\\
AQ = AQ' \implies \triangle APQ \cong \triangle A'PQ \implies AP = A'P (I)\\...

Duas bissetrizes do ângulo externo e uma bissetriz do ângulo interno são concorrentes.
portanto AF é bissetriz interna \angle BAC do \triangle BAE
\mathsf{
\angle EBC = 180^o -115^o= 65^o \implies...

1. Prolongue BC para F de modo que DCF seja isósceles, e prolongue BD
para G de modo que ∡BCG=60∘
2. Como ∡DFC=40∘, e ∡DGC=20∘, Gfica no círculo centrado em F
e passando por D e C, o que torna CFG um...

Sejam a,b e c \in \mathbb{Z}_+ raízes da equação

a+b>c
a+c>b
b+c>a

Pelo teorema de Viete:

\mathsf{a+b+c=4+2n⟹n=\frac{a+b+c−4}{2}\\
ab+bc+ca=n^2+8n\\
abc=4n^2⟹n=\frac{\sqrt{abc}}{2}\\
\sqrt{a.b.c}...

Construir triângulo ARQ equilátero.
\mathsf{
\therefore ARB_{(sosceles)} \implies ∡ARB=∡ABR=60^∘+2α\\
∡ABC=120^∘−2α \therefore ∡RBC=180^∘\\
\therefore R, B, e~C \text{ estão alinhados}\\...

\mathsf{
AB = c :AC = b: BC = a\\
AB+AC >BC \implies 4,6+b > 10,4 \therefore b > 5,8\\
AB +BC > AC \implies 4,6+10,4 > b \therefore b AB \implies b+10,4 > 4,6 \therefore b >- 5,8\\
\therefore 5,8 BM...

\mathsf{\angle BCP=90^o−2α\\
\angle CPB=180^o−(\angle BCP+3α)=90^o−α\\
Marcar~Q\in CA : (AB=AQ) \\
\angle ABQ \cong \angle BQA=\frac{180^o−2α}{2}=90^o−α\\
△PBQ_{(isosc.)} \implies...

Usando as propriedades das desigualdades triangulares.

\mathsf{6,2 + 12,2 > c \implies c 12,2 \implies c > 6 \\
12,2 + c > 6,2 \implies c > -6,2 \\
\therefore 6 < c < 18,4\\
c: 7, 8, 9, 10, 11,...

\mathsf{
\triangle AEC_{(isosc)}:\angle ACE = \theta \implies AEC =\theta\\
\angle CAE = 180 -2\theta \implies \angle EAB = 3\alpha -180^o \cong \angle B( \triangle AEB _{(isosc)}) \\
\text{Mas }...

\mathsf{\angle BCA = \theta\\

\triangle APC_{(isosc)} \implies AP = PC = AB\\
\therefore \triangle PAB_{(isosc)} \implies \angle AB = 2\theta\cong \angle ABP\\
\therefore 2\theta +2\theta +28^o =...

O maior inteiro(7) está nesta questão:

##Menor inteiro
\mathsf{

AB = c :AC = b: BC = a\\
AB+AC >BC \implies 4,6+b > 10,4 \therefore b > 5,8\\
AB +BC > AC \implies 4,6+10,4 > b \therefore b AB...

\mathsf{180^o -\angle CBA+ 180^o - \angle ACB=300^o \implies \angle CBA + \angle ACB = 60^o\\
\therefore \angle CBA = \angle ACB = 30^ o\\
PF \perp AB: P G \perp AC \implies PFAG_{(cíclico)}\\...

Prolongando BM e traçando uma paralela a AE por C que se encontram em D teremos:
\mathsf{\triangle CDM \cong \triangle AEM \implies AE =CD = k\\
\therefore \triangle CDB: sen \angle MBC =...