\mathsf{}

AB^2 = AM.(AM+2R) \implies 36 = 3(3+2R) \therefore R = \frac{9}{2}\\
RQ^2 = RO.(AR) = \frac{9}{2}(9+3) =54\\
\therefore RQ = \sqrt{54}

\mathsf{
AB.AD = AE^2 \implies 28 = AE^2 \therefore AE = 4\\
EL = AE-AL = 4-1 = \boxed{3}

}

Aplicando potência de ponto com relação aos segmentos \overline{PM} e \overline{ME} , temos que
\overline{PM} 2 = \overline{MN} . \overline{ME} \therefore 4.9= \overline{PM} 2
Agora observando os...

\mathsf{a.(a+b) = x(x+y+z) \implies 17a = x^2+xy+xz \therefore 17a = x^2+xy+72 \\
a^2 =x(x+y) \implies a^2 = x^2+xy\\
\therefore a^2 = x^2+17a-x^2-72\\
a^2-17a+72 = 0 \implies a = \frac{17\pm1}{2}...

UNir os 2 centros com o ponto de tangência P

∠COP=120^o \implies ∠PCO=∠OPC=∠PQO2=30^o\\

∠PQB=30^o+90^o=120^o,\\
△AQB_{( isósc.)} \implies∠QBO=30^o\\
\therefore PB_{(diametro)} \implies...

\mathsf{Prolongar~PB~até ~Q\\
|PC|=e,|PD|=f,|PB|=g,|PA|=h,|QB|=i,|QC|=j,|QA|=k,|QD|=m(I)\\
Potência~de~Ponto: ef=gh=16,ij=km=9(II)\\
ABCD_{(cíclico)}: \\
\angle QCP=α = \angle PAD\implies \\
QCP=α\\...

*Não existe alternativa correta
\mathsf{BH⋅(2h+BH)=AH⋅HC⟹4h+4=HC (1)\\

HC^2+4=36⟹HC^2=32⟹HC=\sqrt{32} = 4\sqrt2\\

De (1):4h+4=4\sqrt{2}⟹\boxed{h=\sqrt2−1 \approx0,41}}
(Solução:Pie)

\mathsf{

AF^2 = FC(FC+CD)(I)\\
BF^2 = FC(FC+CD)
\therefore AF = BF\\
AB^2 = BC(BC+ED) = 2(2+16) \implies AB = 6 = CD\\
\therefore AF = FB = 3\\
De(I): 3^2 = FC^2+6FC \implies FC^2 +6FC - 9=0\\...

\mathsf{Pot(I): R^2 - IO^2 = AI.ID(I)
\\\angle DIB =\angle DAB+\angle ABI=\angle IBC(I)\\
\angle CBD = \angle CAD = \angle DAB (II)\\
\therefore \angle IBD = \angle IBC +\angle CBD = \angle IBC +...

\mathsf{

BM^2 = 6.(6+4) \implies BM^2=60(I)\\
CM^2 =CF.(CF+AF) \\
CM = BM \implies BM^2=3^2+3AF\\
\therefore \boxed{AF = \frac{51}{3} = 17}

}

MBH são colineares.
Prova: Deixe M′ ser a outra tangente de D referente a circunferência.
Claramente, MM' é perpendicular a EF, então se mostrarmos que MM′ passa por AF∩CE, terminamos,
pois isso...

\mathsf{
\angle GHC = 90^o \\
\triangle EBC \sim \triangle GHC\\
\angle CFH =180^o -\angle HGC\\
\angle AE H +\angle HFA = 180^o \implies AEHF_{inscr.}\\
BT^2 = BH.BF = BE.BA = 36 \therefore\boxed{...

Unir FD

\mathsf{
ABFD_{(trap.isosc.)} \implies OH = \frac{6}{2} = 3 \\
\triangle ABF: 4^2 = (R-3)(R+3)= R^2 -9 \therefore R = 5\\
BC = 2R = 10 \implies CF = 4\\
CT^2 = CF.(CF+FB) = 4.10=40\\...

Há uma falha no enunciado.Deveria ser informado que AE é paralelo a DF por que senão \sqrt{ab} não seria constante em função dos diferentes valores de DF.

\mathsf{

\triangle AOR \cong \triangle...

\mathsf{

\angle BTD=\frac{1}{2} \overset{\LARGE{\frown}}{NT}=\frac{1}{2}( \overset{\LARGE{\frown}}{NT}+ \overset{\LARGE{\frown}}{TC})=\angle TBD\\
\therefore \triangle BTD_{(isosc,)} \implies...

\mathsf{
\angle CEF=\frac{\overset{\LARGE{\frown}}{AC}}{2}\\
\angle ECD=\frac{\overset{\LARGE{\frown}}{DE}}{2}=\frac{\overset{\LARGE{\frown}}{AC}}{2} =\angle CEF\\
\triangle FEN \sim \triangle CDN...

\mathsf{\triangle ABC_{(isosc)} \implies CE = EB = x\\
AE_{(mediatriz)}BC ~e~ bissetriz \angle A, \implies \triangle AEB \cong \triangle AEC \sim \sim \triangle CEM.\\
\therefore...

FelipeMartin ,

Corrigido,,,,grato pelo alerta

Traçando-se um segmento \overline{PH} , com o ponto H pertencendo à \overline{BC} , é possível criar dois triângulos semelhantes: \bigtriangleup PEI e \bigtriangleup IJH . Logo, valem as relações:...

\mathsf{
CFED_{(inscr.)}\\
\angle E =180^o-\angle A \implies \angle DCF = \angle A \cong \angle PCB\\
\therefore ABCD_{(inscr.)} \implies PC.PD = PB.PA = PT^2\\
\therefore PT^2= 25.36 = 900 \implies...

\mathsf{

(R-3).(R-4) = (R-5).R\\
R^2-7R+12 = R^2-5R\\
2R=12 \therefore \boxed{R=6}
}

OQ = R=l\sqrt2\implies l = \frac{R\sqrt2}{2}\\
AP^2 =OP^2+R^2 \implies36^2 = (\frac{R\sqrt2}{2})^2+R^2\\
\therefore R= 12\sqrt6 \implies l = 12\sqrt3 \\
(R-l).(R+l) = AP.PB \implies R^2-l^2 =36PB\\...

P é a intereseção da reta AB com as circunferências
\mathsf{

BN^2 = BP.AB\\
AM^2 = AP.AB\\
AM^2+BN^2 = AB(AP+PB) = AB(AB)=AB^2\\
\therefore 100 = AB^2 \therefore \boxed{AB=10}

}

\mathsf{
T.cossenos: △ABC:6^2 = 8^2+7^2-2.8.7.cos \angle ACB \implies 36=64+49−112cos∠ACB\\
\therefore cos∠ACB=\frac{11}{16}\\
△AQC: AQ^2=8^2+(QB+7)^2−2.8.(QB+7)cos \angle ACB \implies \\
AQ^2 =...

Traçando a tangente comum a ambas as circunferencias sendo G a interseção com CA:
\mathsf{

\angle GBD = \frac{\angle BOD}{2} \cong \angle BCD \implies \triangle GBD \sim \triangle GCB\\...

Prolongar BT até N (interseção com a maior circunferencia)
\triangle NOB_{(isosc)}\implies OT_{(mediatriz)}
BN\\
\therefore BT=NT \implies Potência(T):BT.BN = TF.AT \implies BT^2 = 6TF (I)\\...

\mathsf{
(8*18) = MT2 \implies MT = 12\\
12(12+2R) = 18^2 \implies 144+24R = 324\\
\boxed{R = \frac{180}{24} = 7,5}

}

\mathsf{

MR^2+MN^2 = AM^2+BM^2 = (2r-4)^2+ 4^2 =4r^2-16r+16+16\\
\therefore MR^2 +MN^2 = 4r^2-16r+32(I) \\
\triangle MRN: 5^2 = MR^2+MN^2 = 25(II)\\
De(I): 4r^2-16r+32 = 25 \implies 4r^2-16r+7=0\\...

\mathsf
{x= QM\\

OQ = OR =1\\
PO'.O'T = O'S.O'M\implies2⋅(1+x)=1⋅3 \therefore x = \frac{1}{2}\\
Potência(R) :BR(4−BR)=1⋅(2+\frac{1}{2})⟹BR=\frac{4−\sqrt6}{2}.\\
Potência( B): BN^2=2⋅BR = 4-\sqrt6\\...

\mathsf{
BMCD_{(inscr.)} \implies \angle BMC = 135^o \\
T.coss:\triangle MBC\\
(BC=AB)^2 = (\sqrt2)^2+3^2-2(\sqrt2.3.cos 135^o ) = 11+6\\
\therefore \boxed{AB = \sqrt{17}}

}