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por triplebig
Ter 17 Fev, 2009 09:08
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Re: (Harvard) Série

Então ok, vou assumir que seja assim a série: \frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+2}+\frac{1}{5^2+3}+\frac{1}{6^2+4}+\cdots . O que estamos querendo encontrar é \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^2+n-2}=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-1)(n+2)} Quero escrever o número \frac{1}{(n-1)(n+2)} como \frac{A}{n-1}+\frac...
por FilipeCaceres
Ter 04 Out, 2011 23:22
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Demonstração - Soma Trigonométrica

Para quem vai fazer a prova do IME/ITA. :D Seja um número real r\neq 0 e x_{k+1}=x_k+r , k\in\mathbb N^* Então, C\equiv\sum_{k=1}^{n}\cos x_{k}=\frac{\cos\frac{x_{1}+x_{n}}{2}\sen\frac{nr}{2}}{\sen\frac{r}{2}} S\equiv\sum_{k=1}^{n}\sen x_{k}=\frac{\sen\frac{x_{1}+x_{n}}{2}\sen\frac{nr}{2}}{\sen\frac...
por Cássio
Seg 12 Dez, 2011 18:17
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Re: obm

Seja ABCD388 o número que procuramos. Podemos reescrevê-lo assim: ABCD388 = ABCD\cdot 10^3+388 Note que 388\mid ABCD\cdot10^3+388, \ \ 388\mid388\Longrightarrow \ 388\mid ABCD\cdot10^3 \ Como ABCD\cdot10^3 = 4\cdot(250 \cdot ABCD) e 388 = 4\cdot 97 Logo, basta que (250\cdot ABCD) seja múltiplo de 97...
por Cássio
Ter 13 Dez, 2011 04:29
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Re: TEORIA DOS NUMEROS ( fração)

A fração só pode ser simplificada, se o numerador e o denominador tiverem fatores em comum. Vamos calcular o mdc entre o numerador e denominador: mdc(15n+2,14n+3) = (15n+2-(14n+3),14n+3) = (n-1,14n+3) = (n-1,14n+3-(n-1)\cdot14) = (n-1,17) =17 17 \ se \ n\equiv 1 mod{17} Logo, n é da forma 17k+1, k\i...
por FilipeCaceres
Qui 15 Dez, 2011 21:57
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Re: Espanha 2008

Olá Cássio, Veja que, 2222\equiv3\pmod7 Como você já disse, se a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m , para todo n\in \mathbb{N} . Assim temos, 2222^{5555}\equiv3^{5555}\pmod7 Por Euler 3^6\equiv 1\pmod 7 Logo, 3^{5555}\equiv 3^{6.925+5}\equiv 3^5\equiv 5\pmod7 Analogamente, 5555\equ...
por Cássio
Sáb 17 Dez, 2011 18:14
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Re: Conjuntos Numéricos: Múltiplos de um Inteiro

Pelo teorema de Euler: 2^{16}\equiv 1 \pmod{17}\Longrightarrow (2^{16})^6\equiv 1^{6}\pmod{17}\Longrightarrow 2^{96}\equiv1\pmod {17}\Longrightarrow 2^{100}\equiv 16\pmod{17} ---------------------------------------------- 3^{16}\equiv 1 \pmod{17}\Longrightarrow 3^{96}\equiv 1 \pmod{17}\Longrightarro...
por FilipeCaceres
Qui 22 Dez, 2011 20:54
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Re: Binômio de Newton

Olá theblackmamba , Podemos escrever este somatório da seguinte forma, \sum_{i=i}^{2000}\sqrt{1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(1+i)^2}} Mas veja que, \sqrt{1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(1+i)^2}}=\sqrt{\frac{i^4+2i^3+3i^2+2i+1}{i^2(i+1)^2}}=\sqrt{\frac{(i^2+i+1)^2}{i^2(i+1)^2}}=\frac{i^2+i+1}{i(i+1)}=1+\frac{1}...
por FilipeCaceres
Qua 28 Dez, 2011 20:10
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Re: IME (1982) - Trigonometria

Olá theblackmamba,

Seja x=e^{i\theta}

Assim temos,
x+\frac{1}{x}=e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta, que é justamento um dado do enunciado.

Logo,
x^m+\frac{1}{x^m}=e^{i\theta m}+e^{-i\theta m}=2cos(m\theta).

Abraço.
por FilipeCaceres
Qui 29 Dez, 2011 00:35
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Re: Eslovênia (1999) Funções

Olá theblackmamba, Vamos escrever para um caso geral inicialmente, f\(\frac{i}{k}\)=\frac{\(\frac{i}{k}\)^2}{1+\(\frac{i}{k}\)^2}=\frac{i^2}{k^2+i^2} Analogamente, f\(\frac{k}{i}\)=\frac{k^2}{i^2+k^2} Veja que f\(\frac{i}{k}\)+f\(\frac{k}{i}\)=\frac{i^2}{k^2+i^2}+\frac{k^2}{i^2+k^2}=1 Assim temos, S...
por FilipeCaceres
Qui 29 Dez, 2011 21:07
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Re: IME (1982) - Trigonometria

Olá theblackmamba, É uma forma alternativa para escrever os números complexos, e^{i\theta}=cis\theta=cos\theta +isen\theta Podemos escrever estas duas relações cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\ sen\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} ,\,\forall \theta \in \mathbb{R} Eu utilizei a ...