Banco de Questões - Trigonometria

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Em um triângulo ABC, $formdata=\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{C}{2}\right)$ é igual a:

(A) $formdata=\frac{p}{R}$

(B) $formdata=\frac{2p}{R}$

(C) $formdata=\frac{p}{2R}$

(D) $formdata=\frac{p}{4R}$

(E) NRA

p = semiperímetro R = raio do círculo circunscrito

Sendo um triângulo temos: A+B+C=180°. Dividindo por 2 podemos ter:

$formdata=\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^{\circ}$

Isolando $formdata=\frac{C}{2}$

$formdata=\frac{C}{2}=90^{\circ}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)$

Assim podemos dizer que $formdata=\cos\left(\frac{C}{2}\right)=\sin\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)$ .

Substituindo este valor na equação do enunciado e desenvolvendo um pouquinho:

$formdata=\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)$

$formdata=\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\left[\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)+\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)\right]$

$formdata=\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{B}{2}\right)+\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$

Agora vamos multiplicar e dividir a expressão por $formdata=\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)$ :

$formdata=\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\frac{\left(\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{B}{2}\right)+\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{A}{2}\right)\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)}$

Efetuando as divisões pertinentes no qüociente acima:

$formdata=\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cdot\left[\cot\left(\frac{B}{2}\right)+\cot\left(\frac{A}{2}\right)\right]$

Agora devemos utilizar as fórmulas que relacionam os arcos metades aos arcos inteiros, que são:

$formdata=\frac{\sin(X)}{2}=\sin\left(\frac{X}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{X}{2}\right)\\\cot\left(\frac{X}{2}\right)=\frac{1+\cos(X)}{\sin(X)}$

Substituindo estas fórmulas na expressão encontrada:

$formdata=\frac{\sin(A)}{2}\cdot\frac{\sin(B)}{2}\cdot\left(\frac{1+\cos(B)}{\sin(B)}+\frac{1+\cos(B)}{\sin(A)}\right)$

Efetuando a soma de frações e a multiplicação, ficamos com:

$formdata=\frac{\sin(A)+\overbrace{\sin(A)\cdot\cos(B)}+\sin(B)+\overbrace{\sin(B)\cdot\cos(A)}}{4}$

Os termos grifados acima são exatamente as parcelas do desenvolvimento de sen(A+B). Mas, por ser um triângulo A+B=180°-C e, assim, sen(A+B)=sen(180°-C)=sen(C). Substituindo:

$formdata=\frac{\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)}{4}$

Agora, utilizando a Lei-dos-Senos podemos substituir os senos por:

$formdata=\sin(A)=\frac{a}{2R}$

$formdata=\sin(B)=\frac{b}{2R}$

$formdata=\sin(C)=\frac{c}{2R}$

Onde a, b e c são os lados do triângulo e R é o raio do círculo circunscrito. Substituindo estes valores na última expressão encontrada:

$formdata=\frac{\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}}{4}$

$formdata=\frac{\frac{a+b+c}{2}}{4R}$

$formdata=\frac{p}{4R}$

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