Banco de Questões - Polinômios - Raiz Comum

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(MACKENZIE-80) As equações $formdata=kx^3-x^2-x-(k+1)=0$ e $formdata=kx^2-x-(k+1)=0$ $formdata=(k\in\R+\textrm{+++e+++}+k\neq+0)$ possuem uma raiz comum:

(A) somente se k = -1
(B) somente se k = 3
(C) somente se k = 4
(D) qualquer que seja k ≠ 0
(E) n.d.a.

Iniciaremos calculando as raízes do polinômio do segundo grau $formdata=kx^2-x-(k+1)=0$ , através da fórmula de Bhaskara.

Os coeficientes, para utilizar Bhaskara, são:

a = k
b = -1
c = - (k + 1)

Vamos começar calculando o valor do discriminante (Δ).

$formdata=\Delta=b^2-4\cdot+a\cdot+c\\\Delta=(-1)^2-4\cdot+k\cdot[-(k+1)]\\\Delta=1-4\cdot+k+\cdot(-k-1)\\\Delta=1+4k^2+4k$

Ou, arrumando as parcelas:

$formdata=\Delta=4k^2+4k+1$

Note, que podemos escrever este valor de Δ como um produto notável:

$formdata=\Delta=(2k+1)^2$

Agora, aplicando Bhaskara para descobrir as raízes do polinômio do segundo grau:

$formdata=x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\\x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(2k+1)^2}}{2k}$

Podemos cortar a raiz quadrada com o expoente 2:

$formdata=x=\frac{1\pm(2k+1)}{2k}$

Calculando as raízes separadamente:

$formdata=x'=\frac{1+(2k+1)}{2k}\\x'=\frac{2+2k}{2k}\\x'=\frac{1+k}{k}$

$formdata=x''=\frac{1-(2k+1)}{2k}\\x''=\frac{1-2k-1}{2k}\\x''=\frac{-2k}{2k}\\x''=-1$

Portanto, estas são as raízes do polinômio do segundo grau.

Lembrando que, raiz é o valor de x, que, quando substituido no polinômio, resulta ZERO.

Então, se o exercício diz que os dois polinômios têm uma raiz comum, um destes dois valores, quando substituidos no polinômio do terceiro grau, resultará ZERO.

Vamos substituir x' no polinômio do terceiro grau.

$formdata=kx^3-x^2-x-(k+1)=0$

$formdata=k\cdot\left(\frac{1+k}{k}\right)^3-\left(\frac{1+k}{k}\right)^2-\left(\frac{1+k}{k}\right)-(k+1)=0$

Vamos passar o termo (k+1) para o outro lado da igualdade

$formdata=k\cdot\left(\frac{1+k}{k}\right)^3-\left(\frac{1+k}{k}\right)^2-\left(\frac{1+k}{k}\right)=(k+1)$

Vamos elevar os termos que possuem expoentes.

$formdata=k\cdot\frac{(1+k)^3}{k^3}-\frac{(1+k)^2}{k^2}-\left(\frac{1+k}{k}\right)=(k+1)$

Podemos cortar o fator "k" que está na primeira fração à esquerda:

$formdata=\frac{(1+k)^3}{k^2}-\frac{(1+k)^2}{k^2}-\left(\frac{1+k}{k}\right)=(k+1)$

Tirando o MMC, que vale k²:

$formdata=\frac{(1+k)^3-(1+k)^2-k(1+k)=k^2\cdot(k+1)}{k^2}$

Cortando o MMC:

$formdata=(1+k)^3-(1+k)^2-k(1+k)=k^2\cdot(k+1)$

Note que podemos colocar o termo (1+k) em evidência no lado esquerdo da igualdade:

$formdata=(1+k)\cdot\left[(1+k)^2-(1+k)-k\right]=k^2\cdot(k+1)$

E agora podemos cortá-lo junto com o (k+1) do lado direito (pois 1 + k = k + 1).

$formdata=(1+k)^2-(1+k)-k=k^2$

$formdata=1+2k+k^2-1-k-k=k^2$

$formdata=1-1+2k-2k=k^2-k^2$

$formdata=0=0$

Note, que chegamos em uma verdade matemática, ou seja, não interessa qual o valor de "k", os dois polinômios já têm uma raiz comum, que vale:

$formdata=\frac{1+k}{k}$

Obs.: Na resposta não precisamos indicar "qualquer que seja k ≠ 0", pois k ≠ 0 já foi dito no enunciado. Sendo assim, a resposta "D" está correta, mas não precisava ser assim, poderia ser "qualquer que seja k".

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