Sendo Z pertencente ao conjunto dos números Complexos, tal que , quais valores Z pode assumir?

Para responder esta questão, devemos lembrar que um número complexo sempre pode ser representado por sua forma trigonométrica:

onde é o módulo do número complexo Z e é o argumento do mesmo.

E também, uma potência de um número complexo é dado pela fórmula de Moivre:

E, por último, é o conjugado do complexo Z. Ou seja, se teremos .

Portanto, a igualdade dada no enunciado pode ser rescrita como:

Através desta igualdade, concluímos que só será igual a

(1)     
e
(2)    

Da igualdade (1) concluímos que o módulo de Z só poderá ser 0 ou 1.

Já a igualdade (2) (que iremos descobrir o argumento de Z), não é tão direto de se achar o resultado. Devemos efetuar alguns cálculos.

Note que temos uma igualdade de dois números complexos. Para eles serem iguais, a parte real de um deve ser igual à parte real de outro e a parte imaginária de um deve ser igual à parte imaginária do outro. Sendo assim, temos:

(3)    
(4)    

Lembrando que , vamos resolver a equação (3):

Passando o termo da direita para a esquerda:

Através da equivalência fundamental da trigonometria:

EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL

Podemos substituir o valor de :

Efetuando algumas continhas:

Colocando o termo em evidência:

Esta equação só irá resultar zero quando um dos fatores for ZERO, ou seja:

ou

E, lembrando da fórmula , podemos resolver a equação (4).

Substituindo o termo pela equivalência fundamental da trigonometria:

Efetuando os cálculos:

Colocando o termo em evidência, temos:

Ou seja, esta equação só ira resultar ZERO, quando um dos fatores for ZERO. Veja o cálculo:

Depois de todos estes cálculos a primeira conclusão foi: o módulo será 0 ou 1. O único número que possui módulo igual a 0 é o próprio 0. Esta é a nossa primeira resposta. Já o módulo 1 não nos diz nada.

Quando o módulo for 1, o argumento deve ser algum dos achados nos cálculos acima:

ou ou ou

Vamos visualizar tais números no plano complexo.

Portanto, as respostas que o exercício quer são:

Z = 0 ou
Z = 1 ou
Z = -1 ou
Z = i ou
Z = -i