Uma Soma Diferente

Quanto vale a soma [tex3]\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+\frac{4}{81}+\frac{5}{243}+\frac{6}{729}+…[/tex3] ?


Note que há um fato bem curioso. Nos numeradores (parte de cima da fração) temos uma Progressão Aritmética de razão 1. Nos denominadores temos uma Progressão Geométrica de razão 3.

Como temos as duas Progressões em um só problema, não podemos usar nenhuma das fórmulas conhecidas, devemos desenvolver um método que possa matar esta charada.

O método é o seguinte: note que podemos representar o segundo termo como se fosse [tex3]\frac{1}{9}+\frac{1}{9}[/tex3], e o terceiro [tex3]\frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}[/tex3] e assim por diante:

[tex3]\frac{4}{81}=\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+\frac{1}{81}[/tex3]

[tex3]\frac{5}{243}=\frac{1}{243}+\frac{1}{243}+\frac{1}{243}+\frac{1}{243}+\frac{1}{243}[/tex3]

[tex3]\frac{6}{729}=\frac{1}{729}+\frac{1}{729}+\frac{1}{729}+\frac{1}{729}+\frac{1}{729}+\frac{1}{729}[/tex3]

E assim irá, sempre aumentando uma parcela em cada soma. Sabendo isso podemos formar um triângulo com as parcela desta soma:

somadif5.gif (2340 bytes)

Se nós somarmos todas partes deste triângulos teremos a soma procurada. Note que cada COLUNA segue como uma PG de razão [tex3]\frac{1}{3}[/tex3], sendo que a diferença para cada coluna é o primeiro termo:

somadif6.gif (4229 bytes)

Vamos calcular a soma de cada uma destas PGs utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita [tex3]S_n=\frac{a_1}{1-q}[/tex3]:

coluna vermelha: [tex3]S_n=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]S_n=\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{6}[/tex3]
[tex3]S_n=\frac{\frac{1}{27}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{18}[/tex3]

E assim sucessivamente.

Note que conseguimos transformar a soma inicial do enunciado em uma nova soma (a soma das colunas):

[tex3]\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+…[/tex3]

Agora esta soma é só uma PG infinita, com primeiro termo [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e razão [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]. Vamos calculá-la utilizando a mesma fórmula anterior:

[tex3]S_n=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}[/tex3]

Pronto! O resultado que procurávamos é [tex3]\frac{3}{4}[/tex3].