Soma dos Quadrados dos Naturais

Este tópico é só uma curiosidade! É a soma dos quadrados dos números naturais.

Vamos demonstrar a fórmula da soma dos quadrados dos [tex3]n[/tex3] primeiros números naturais não nulos (não se preocupe, isso não é cobrado na maioria dos vestibulares):

[tex3]{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + \ldots + n^2}[/tex3]


Para entender esta demonstração, devemos saber algumas coisas antes: Quanto vale [tex3](a+b)^3[/tex3]?

Vamos ver:

[tex3](a + b)^3 = (a + b) \cdot (a + b)\cdot (a + b)[/tex3]

[tex3](a + b)^3 = (a + b)^2 \cdot (a + b)[/tex3]

[tex3](a + b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)\cdot (a + b)[/tex3]

[tex3](a + b)^3 = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3[/tex3]

[tex3]\boxed{(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}[/tex3]

Sabendo esta fórmula, vamos aplicá-la em [tex3](p + 1)^3[/tex3].

[tex3](p + 1)^3 = p^3 + 3p^2 \cdot 1 + 3p\cdot 1^2 + 1^3[/tex3]

[tex3](p + 1)^3 = p^3 + 3\cdot p^2 + 3\cdot p + 1[/tex3]

Agora vamos substituir, nesta fórmula, o valor de [tex3]p[/tex3] pelos números naturais, a partir de 0 até um valor [tex3]n[/tex3].

[tex3]\begin{eqnarray}&\boxed{p=0}\Rightarrow (0+1)^3&=\bbox[red]{\boxed{\color{white}0^3}}&+\bbox[green]{\boxed{\color{white}3\cdot 0^2}}&+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}3\cdot 0}}&+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}1}}&=\bbox[purple]{{\color{white}\boxed{\boxed{1^3}}}}\\&\boxed{p=1}\Rightarrow (1+1)^3&=\bbox[red]{\boxed{\color{white}1^3}}&+\bbox[green]{\boxed{\color{white}3\cdot 1^2}}&+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}3\cdot 1}}&+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}1}}&=\bbox[purple]{{\color{white}\boxed{\boxed{2^3}}}}\\&\boxed{p=2}\Rightarrow (2+1)^3&=\bbox[red]{\boxed{\color{white}2^3}}&+\bbox[green]{\boxed{\color{white}3\cdot 2^2}}&+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}3\cdot 2}}&+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}1}}&=\bbox[purple]{{\color{white}\boxed{\boxed{3^3}}}}\\&\boxed{p=3}\Rightarrow (3+1)^3&=\bbox[red]{\boxed{\color{white}3^3}}&+\bbox[green]{\boxed{\color{white}3\cdot 3^2}}&+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}3\cdot 3}}&+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}1}}&=\bbox[purple]{{\color{white}\boxed{\boxed{4^3}}}}\\\\&\ldots\\\\&\boxed{p=n}\Rightarrow (n+1)^3&=\bbox[red]{\boxed{\color{white}n^3}}&+\bbox[green]{\boxed{\color{white}3\cdot n^2}}&+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}3\cdot n}}&+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}1}}&=\bbox[purple]{{\color{white}\boxed{\boxed{(n+1)^3}}}}\end{eqnarray}[/tex3]

Agora vamos trabalhar em cima das colunas coloridas.

Veja que separamos cada grupo de parcelas semelhantes das equações com blocos de cores diferentes. Vamos somar todas as equações. Como a soma é comutativa, ou seja, não importa a ordem das parcelas que a soma é a mesma, vamos somar primeiro os termos semelhantes do grupo vermelho, depois do verde e assim sucessivamente:

Grupo vermelho: [tex3]0^3+1^3+2^3+3^3+…+n^3[/tex3]

O zero ao cubo é zero, portanto não conta

[tex3]\bbox[red]{\boxed{\color{white}{1^3+2^3+3^3+…+n^3}}}[/tex3]

Grupo verde: [tex3]3\cdot 0^2+3\cdot 1^2+3\cdot 2^2+3\cdot 3^2+…+3\cdot n^2[/tex3]

Colocando o 3 em evidência e tirando o ZERO (pois ZERO não conta)

[tex3]\bbox[green]{\boxed{\color{white}{3\cdot (1^2+2^2+3^2+…+n^2)}}}[/tex3]

Olha a soma dos quadrados aí dentro do grupo verde!!

Grupo azul: [tex3]3\cdot 0+3\cdot 1+3\cdot 2+…+3\cdot n[/tex3]

Colocando o 3 em evidência e tirando o zero:

[tex3]\bbox[blue]{\boxed{\color{white}{3\cdot (1+2+3+…+n)}}}[/tex3]

Grupo amarelo: [tex3]1+1+1+…+1[/tex3]

O algarismo 1 aparece (n+1) vezes, portanto esta soma vale:

[tex3]\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}{(n+1)}}}[/tex3]

Grupo roxo:

[tex3]\bbox[purple]{\boxed{\color{white}{1^3+2^3+3^3+…+n^3+(n+1)^3}}}[/tex3]

Agora que sabemos quanto vale cada bloco, vamos colocá-los na mesma ordem de onde tiramos. A ordem é esta:

somaqua2.gif (1252 bytes)

Portanto, substituindo as cores pelos seus valores, temos:

[tex3]\bbox[red]{\boxed{\color{white}{1^3+2^3+…+n^3}}}+\bbox[green]{\boxed{\color{white}{3\cdot (1^2+2^2+…+n^2)}}}+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}{3\cdot (1+2+…+n)}}}+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}{(n+1)}}}=\bbox[purple]{\boxed{\color{white}{1^3+…+n^3+(n+1)^3}}}[/tex3]

O que estamos procurando é a soma dos quadrados (e ela já está na equação acima, no bloco verde) portanto, vamos chamá-la de “S” (para economizar tempo).

[tex3]\bbox[red]{\boxed{\color{white}{1^3+2^3+…+n^3}}}+\bbox[green]{\boxed{\color{white}{3\cdot S}}}+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}{3\cdot (1+2+…+n)}}}+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}{(n+1)}}}=\bbox[purple]{\boxed{\color{white}{1^3+…+n^3+(n+1)^3}}}[/tex3]

Todos os termos ao cubo do bloco vermelho irão se cancelar com os termos ao cubo do bloco roxo (pois um está de um lado da equação e outro do outro lado), irá sobrar apenas um termo [tex3](n+1)^3[/tex3] do lado direito. Portanto, no momento temos:

[tex3]\bbox[red]{\boxed{\color{white}{\cancel{1^3+2^3+…+n^3}}}}+\bbox[green]{\boxed{\color{white}{3\cdot S}}}+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}{3\cdot (1+2+…+n)}}}+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}{(n+1)}}}=\bbox[purple]{\boxed{\color{white}{\cancel{1^3+…+n^3}+(n+1)^3}}}[/tex3]

[tex3]\bbox[green]{\boxed{\color{white}{3\cdot S}}}+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}{3\cdot (1+2+…+n)}}}+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}{(n+1)}}}=\bbox[purple]{\boxed{\color{white}{(n+1)^3}}}[/tex3]

No bloco azul temos, dentro dos parênteses, a soma dos “n” primeiros número naturais, que seguem como uma PA de razão r=1, primeiro termo a1=1 e último termo an=n e o número de termos é o próprio “n”.

Utilizando a fórmula da soma “n” primeiros termos de uma PA, temos:

[tex3]S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,S_n=\frac{(1+n)n}{2}[/tex3]

Agora podemos substituir, no bloco azul, o valor de dentro do parênteses pelo valor da fórmula acima:

[tex3]\bbox[green]{\boxed{\color{white}{3\cdot S}}}+\bbox[blue]{\boxed{\color{white}{3\cdot\frac{(1+n)n}{2}}}}+\bbox[yellow]{\boxed{\color{black}{(n+1)}}}=\bbox[purple]{\boxed{\color{white}{(n+1)^3}}}[/tex3]

Não precisamos mais dos blocos:

[tex3]3S+\frac{3(1+n)n}{2}+(n+1)=(n+1)^3[/tex3]

Vamos multiplicar os dois lados da equação por 2 (para tirar a fração que está ali enchendo o saco):

[tex3]6S+3(1+n)n+2(n+1)=2(n+1)^3[/tex3]

Como é o “S” que queremos, vamos isolá-lo:

[tex3]6S=-3(n+1)n-2(n+1)+2(n+1)^3[/tex3]

Podemos colocar o (n+1) em evidência no lado direito da equação

[tex3]6S=(n+1)\cdot [-3n-2+2(n+1)^2][/tex3]

Vamos desenvolver o quadrado do lado direito e efetuar alguns cálculos:

[tex3]6S=(n+1)\cdot [-3n-2+2(n^2+2n+1)][/tex3]

[tex3]6S=(n+1)\cdot (-3n-2+2n^2+4n+2)[/tex3]

[tex3]6S=(n+1)\cdot (2n^2+n)[/tex3]

[tex3]6S=(n+1)\cdot n(2n+1)[/tex3]

Agora podemos “passar” o 6 para o outro lado e isolar nosso “S” .

[tex3]\boxed{\boxed{S=\frac{(n+1)\cdot n\cdot (2n+1)}{6}}}[/tex3]

Esta é a fórmula da soma dos quadrados dos “n” primeiros números naturais não nulos. Ou seja, a soma dos quadrados dos números naturais 🙂


Exemplo:

Qual a soma dos quadrados dos 16 primeiros números naturais não nulos?

[tex3]S=\frac{(16+1)\cdot 16\cdot (2\cdot 16+1)}{6}[/tex3]

[tex3]S=\frac{17\cdot 16\cdot 33}{6}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{S=1496}}[/tex3]