Trigonometria

(IME) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a equação

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Para tal demonstração, devemos restruturar a equação. Veja a seguir:

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Veja que não houve modificação numérica, apenas uma mudança estética para podermos utilizar algumas ferramentas. O co-seno ao cubo foi separado em uma multiplicação de um linear por um quadrado e multiplicamos os dois lados da igualdade, duas vezes, por 2. Vamos nos atentar para os fatores grifados abaixo:

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Aplicando a fórmula de prostaférese nos fatores grifados acima, teremos:

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PROSTAFÉRESE I

sen(X + Y) + sen(X – Y)   =   2 . sen(X) . cos(Y)

A demonstração é simples. Aplique a fórmula do seno da soma de arcos e verifique a expressão 🙂

Agora vamos aplicar a fórmula do co-seno do arco duplo nos dois co-senos ao quadrado que sobraram e trocar o trig_IME_08.gif (1194 bytes) :

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CO-SENO DO ARCO DUPLO

cos(2X)   =  cos2(X) – sen2(X)
Podemos substituir o sen2(X) por (1-cos2(X))
cos(2X)  =  cos2(X) – (1 – cos2(X))

cos(2X)  =  2cos2(X) – 1

2cos2(X) = cos(2X) + 1

Efetuando as multiplicações:

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Dá para cortar a parcela sen[(A+B)/2] e colocar em evidência os fatores que possuem sen[(A+B)/2] e sen[(A-B)/2].

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Podemos aplicar, novamente, as fórmulas de prostaférese na soma e na subtração de co-senos acima.

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PROSTAFÉRESE II

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Podemos cortar os fatores 2 que estão multiplicando todas as parcelas. Mas devemos ter uma atenção redobrada neste momento. Note que há também um fator sen[(A-B)/2] que também está presente em todas as parcelas. Mas este nós não podemos cortar, pois poderíamos estar cometendo o erro de dividir por ZERO, que é algo que não existe. Portanto, vamos apenas colocar este fatore em evidência.

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Esta é a equação que vai finalizar o problema. Veja que temos uma multiplicação de dois fatores resultando ZERO. Isto só irá ocorrer quando, necessariamente, um dos fatores for ZERO. Vamos igualar o primeiro a ZERO.

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Como queríamos demonstrar. Já que o exercício não pede para provar a unicidade desta solução, podemos dar como terminada a resolução. Se você quiser, iguale também o segundo fator a zero e veja o que acontece.